第一章空間向量與立體幾何1.1空間向量及其運算1.1．1空間向量及其線性運算例1如圖1.1-9，已知平行四邊形，過平面外一點O作射線，，，，在四條射線上分別取點E，F，G，H，使．求證：E，F，G，H四點共面．圖11-9分析：欲證E，F，G，H四點共面，只需證明，，共面．而由已知，，共面，可以利用向量運算由，，共面的表達式推得，，共面的表達式．證明：因為．所以，，，．因為四邊形是平行四邊形，所以．因此由向量共面的充要條件可知，，，共面，又，，過同一點E，從而E，F，G，H四點共面．練習1.舉出一些表示三個不同在一個平面內的向量的實例．【答案】實例見解析；【解析】【分析】在空間幾何體中，從一點出發的不同面的向量即可.【詳解】在三棱錐中，，，不同在一個平面內；長方體中，從一個頂點A引出的三個向量，，不同在一個平面內.2.如圖，E，F分別是長方體的棱AB，CD的中點、化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】【分析】根據空間向量加減運算的運算法則計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.3.在圖中，用，，表示，及．【答案】；；.【解析】【分析】根據空間向量的加減運算法則可轉化.【詳解】，，.4.如圖，已知四面體ABCD，E，F分別是BC，CD的中點，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量；（1）；（2）；（3）．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】根據空間向量的線性運算法則計算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）.5.如圖，已知正方體，E，F分別是上底面和側面的中心，求下列各式中x，y的值：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）化簡即得解；（2）化簡即得解；（3）化簡即得解.【詳解】（1），所以；（2），所以；（3）,所以.1.1.2空間向量的數量積運算例2如圖1.1-12，在平行六面體中，，，，，．求：圖1.1-12（1）；（2）的長（精確到0.1）．解：（1），；（2），所以．例3如圖1.1-13，m，n是平面內的兩條相交直線．如果，，求證：．圖11-13分析：要證明，就是要證明l垂直于內的任意一條直線g（直線與平面垂直的定義）．如果我們能在g和m，n之間建立某種聯系，并由，，得到，那么就能解決此問題．證明：在平面內作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量，，，．因為直線m與n相交，所以向量，不平行．由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序實數對，使．將上式兩邊分別與向量作數量積運算，得．因為，（為什么？），所以．所以．這就證明了直線l垂直于平面內的任意一條直線，所以．練習6.如圖，在正三棱柱中，若，則與所成角的大小為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取向量為空間向量的一組基底向量，表示出與，再借助空間向量運算即可計算作答.【詳解】在正三棱柱中，向量不共面，，，令，則，而，，于是得，因此，，所以與所成角的大小為.故選：B7.如圖，正方體的棱長為1，設，，，求：（1）；（2）；（3）．【答案】（1）0；（2）1；（3）1【解析】【分析】在正方體中，根據線線關系，結合空間向量運算法則對每個小題進行運算即可.【詳解】（1）在正方體中，，故（2）由（1）知，（3）由（1）及知，8.如圖，在平行六面體中，，，，，．求：（1）；（2）的長；（3）的長．【答案】（1）10；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據數量積的定義即可計算；（2）由平方即可求解；（3）由即可求解.【詳解】（1）；（2），，，即的長為；（3），，，即的長為.9.如圖，線段AB，BD在平面內，，，且，，．求C，D兩點間的距離．【答案】【解析】【分析】連接，可得，根據可求.【詳解】連接，，，，，，，，即C，D兩點間的距離為.習題1.1復習鞏固10.如圖，在長方體中，E、F分別為棱、AB的中點．（1）寫出與向量相等的向量；（2）寫出與向量相反的向量；（3）寫出與向量平行的向量．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）由相等向量的定義可判斷；（2）由相反向量的定義可判斷；（3）由平行向量的定義可判斷.【詳解】（1）由相等向量的定義知，大小相等，方向相同的兩個向量為相等向量，所以與向量相等的向量為；（2）由相反向量的定義知，大小相等，方向相反的兩個向量為相反向量，所以與向量相反的向量為；（3）由平行向量的定義知，方向相同或相反的兩個向量為平行向量，所以與向量平行的向量為.11.如圖，已知平行六面體，化簡下列表達式，并在圖中標出化簡結果的向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1），向量如圖所示；（2），向量如圖所示；（3），向量如圖所示；（4），向量如圖所示；【解析】【分析】根據平行六面體基本性質及空間向量基本運算化簡每個小題即可.【詳解】（1），向量如圖所示；（2）在平行六面體中，有，，故，向量如圖所示；（3）由知，取的中點為E，，向量如圖所示；（4）由（2）知，取的三等分點F點，，向量如圖所示；12.證明：如果向量，共線，那么向量與共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】由向量共線定理可證明.【詳解】如果向量，共線，則存在唯一實數，使得，則，所以向量與共線.13.如圖，已知四面體ABCD的所有棱長都等于a，E，F，G分別是棱AB，AD，DC的中點．求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【解析】【分析】根據空間向量數量積的定義計算即可.【詳解】四面體ABCD的所有棱長都等于a，任意兩條棱所在直線的夾角為，E，F，G分別是棱AB，AD，DC的中點，，（1）；（2）；（3）；（4），則直線BD與直線BC所成角就是直線EF與直線BC所成角，又，；（5），則直線AC與直線AB所成角就是直線FG與直線BA所成角，；（6）取BD中點M，連接AM，CM，則，，平面ACM，又平面ACM，，，，又，，，可知，.綜合運用14.如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點為M.設，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據代入計算化簡即可.【詳解】故選：B.15.已知E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，用向量法證明：E，F，G，H四點共面.【答案】證明見解析【解析】【分析】根據給定條件利用空間向量的線性運算，結合空間向量共面定理即可得解..【詳解】如圖，E，F，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點，，于是得：，即共面，它們有公共點E，所以E，F，G，H四點共面.16.如圖，正方體（1）求和的夾角；（2）求證．【答案】（1）；（2）證明見解析；【解析】【分析】（1）聯結，，則，和的夾角即和的夾角，由知，是等邊三角形，故和的夾角為.（2）聯結，則，又平面，，從而有平面，從而證得.【詳解】（1）聯結，，則，和的夾角即和的夾角，在正方體中，設棱長為a，則，則是等邊三角形，即故和的夾角為（2）聯結，則，又平面，平面，則，又故平面，又平面，所以17.用向量方法證明：在平面內的一條直線，如果與這個平面的一條斜線在這個平面上的射影垂直，那么它也與這條直線垂直（三垂線）【答案】證明見解析；【解析】【分析】根據向量運算法則，數量積為0即可證得垂直.【詳解】如圖所示，在平面內，是在面內的投影向量，則，由題知，，則，故，所以，即證得結論.拓廣探索18.如圖，空間四邊形中，.求證：.【答案】證明見解析【解析】【詳解】試題分析：利用三個不共面的向量作為基底，利用空間向量的數量積為0，證明向量垂直，即線線垂直.試題解析：∵，∴.∵，∴.∴（1）同理:由得（2）由（1）－（2）得∴，∴，∴，∴.19.如圖，在四面體OABC中，，，E，F，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點．求證：四邊形EFGH是矩形．【答案】證明見解析；【解析】【分析】取的中點D，聯結OD，CD，證得平面，，從而有；又E，F，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點．從而有，結合，證得四邊形EFGH是矩形．【詳解】取的中點D，聯結OD，CD，由，知，，，又，故平面，又平面，因此又E，F，G，H分別是OA，OB，BC，CA的中點．則，，故，四邊形EFGH是平行四邊形同理，且，又所以，四邊形EFGH是矩形第一章空間向量與立體幾何1.2空間向量基本定理例1如圖1.2-2，M是四面體的棱的中點，點N在線段上，點P在線段上，且，，用向量，，表示．圖1.2-2分析：，，是三個不共面的向量，它們構成空間的一個基底{，，}，可以用基底{，，}表示出來．解：．練習1.已知向量是空間的一個基底，從，，中選哪一個向量，一定可以與向量，構成空間的另一個基底？【答案】【解析】【分析】易得，再根據是否與共面判斷.【詳解】因為，，所以，所以與共面，與共面，所以與不可以構成空間的一個基底，與不可以構成空間的一個基底，而與不共面，所以與可以構成空間的一個基底.故答案為：.2.已知O，A，B，C為空間的四個點，且向量，，不構成空間的一個基底，那么點O，A，B，C是否共面？【答案】O，A，B，C四點共面.【解析】【分析】根據基底的定義，即可判斷.【詳解】因為向量，，不構成空間的一個基底，所以向量，，共面，由向量，，有公共點O，所以O，A，B，C四點共面.3.如圖，已知平行六面體，點G是側面的中心，且，，．（1）是否構成空間的一個基底？（2）如果構成空間的一個基底，那么用它表示下列向量：，，，．【答案】（1）能；（2）；；；【解析】【分析】（1）根據向量不在同一平面內可判斷；（2）根據空間向量加減運算轉化可求得.【詳解】（1），，不在同一平面內，且不為零向量，能構成空間的一個基底；（2），，，.例2如圖1.2-3，在平行六面體中，，，，，，，M，N分別為，的中點．求證．圖1.2-3分析：要證，只需證明．由已知，{，，}可構成空間的一個基底．把和分別用基底表示，然后計算即可．證明：設，，，這三個向量不共面，{，，}構成空間一個基底，我們用它們表示，，則，，所以所以．例3如圖1.2-4，正方體的棱長為1，E，F，G分別為，，的中點．圖1.2-4（1）求證：．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）要證明，只需證明與共線．設，，，則｛，，｝構成空間的一個單位正交基底，把和分別用基向量表示，作相應的運算證明它們共線即可．（2）要求與所成角的余弦值，只需求，所成角的余弦值即可．（1）證明：設，，，則｛，，｝構成空間的一個單位正交基底．所以．所以．所以．（2）解：因，，所以．所以與所成角的余弦值為．練習4.已知四面體OABC，，．求證：．【答案】證明見解析.【解析】【分析】利用向量的運算，計算出，從而證明【詳解】因為,所以,因為，，所以，所以，即.5.如圖，在平行六面體中，，，，．求與所成角的余弦值．【答案】0【解析】【分析】第一步選好基底，第二步將向量與分別用基底表示出來，再用夾角公式即可.【詳解】取基底，,,所以.設與的夾角為，則，所以與所成角的余弦值為0.6.如圖，已知正方體，和相交于點O，連接AO，求證．【答案】證明見解析.【解析】【分析】建立空間直角坐標系，由空間向量即可得證.【詳解】在正方體，可建立如圖所示空間直角坐標系，

設正方體棱長為2，則,所以，，所以即.習題1.2復習鞏固7.如果向量，與任何向量都不能構成空間的一個基底，那么，間應有什么關系？【答案】共線.【解析】【分析】直接利用基底的定義判斷即可.【詳解】因為向量，與任何向量都不能構成空間的一個基底，所以，一定共線.8.若構成空間的一個基底，則下列向量共面的是（）A.，， B.，， C.，， D.，，【答案】ABD【解析】【分析】逐項判斷各選項的向量是否不共面，從而可得正確的選項.【詳解】對于A，因為，故，，共面；對于B，因為，故，，共面；對于D，因為，故，，共面；對于C，若，，共面，則存在實數，使得：，，故共面，這與構成空間的一個基底矛盾，故選：ABD9.在空間四邊形中，已知點、分別是、的中點，且，，，試用向量、、表示向量．【答案】【解析】【分析】根據空間向量的線性運算及空間向量基本定理結合圖象即可得出答案.【詳解】解：如下圖所示：，所以，MN=10.如圖，在三棱柱中，已知，，，點M，N分別是，的中點，試用基底表示向量，.【答案】，.【解析】【分析】連接，根據空間向量線性運算法則計算可得；【詳解】解：連接所以綜合運用11.如圖，在長方體中，M是AC與BD的交點．若，，，求的長．【答案】【解析】【分析】以D1為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】以D1為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，則所以，所以即的長為.12.如圖，平行六面體的底面是菱形，且，，求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用空間向量的數量積計算得出，可得出，同理可得出，結合線面垂直的判定定理可證得結論成立.【詳解】設，，，由于四邊形為菱形，則，即，所以，，同理可得，由題意可得，，所以，，所以，，同理可證，因為，因此，平面.拓廣探索13.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F分別為，BD的中點，點G在CD上，且．（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，直接利用向量法證明；（2）直接利用向量法求EF與CG所成角的余弦值【詳解】（1）建立以D點為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，則，，所以，即，所以.（2）由（1）知，，，則，因為EF與CG所成角的范圍為，所以其夾角余弦值為.14.已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，求證：這個四面體相對的棱兩兩垂直.【答案】證明見解析.【解析】【分析】根據題目寫出已知和求證，設，，，由可得，從而，即.所以，即，同理可證，.【詳解】已知：四面體中，、、、、、分別是對應各棱的中點，且.求證：，，.證明：設，，，則，，由可得，則，所以，由此可得，所以，即.所以，即，同理可證，.故若四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等，則這個四面體相對的棱兩兩垂直.第一章空間向量與立體幾何1.3空間向量及其運算的坐標表示1.3.1空間直角坐標系例1如圖1.3-6，在長方體中，，，，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．圖1.3-6（1）寫出，C，，四點的坐標；（2）寫出向量，，，坐標．解：（1）點在z軸上，且，所以．所以點的坐標是．同理，點C的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，0，2，所以點的坐標是．點在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，，它們在坐標軸上的坐標分別為3，4，2，所以點的坐標是．（2）；；；．練習1.在空間直角坐標系中標出下列各點：，，，．【答案】答案見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標，然后標注點即可.【詳解】建立如下圖如示的空間直角坐標系，根據每一個點的特點標注如下圖.2.在空間直角坐標系Oxyz中，（1）哪個坐標平面與x軸垂直？哪個坐標平面與y軸垂直？哪個坐標平面與z軸垂直？（2）寫出點在三個坐標平面內的射影的坐標．（3）寫出點關于原點成中心對稱的點的坐標．【答案】（1）平面與x軸垂直,平面與y軸垂直,平面與z軸垂直；（2）點在平面的射影的坐標,點在平面的射影的坐標；點在平面的射影的坐標；（3）點關于原點對稱點的坐標是．【解析】【分析】（1）利用空間直角坐標系求解；（2）利用點的射影的定義求解；（3）利用點關于原點對稱的求法求解.【詳解】（1）平面與x軸垂直,平面與y軸垂直,平面與z軸垂直；（2）點在平面的射影的坐標．點在平面的射影的坐標．點在平面的射影的坐標．（3）點關于原點成中心對稱的點的坐標是．3.在長方體中．，，，與相交于點P，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz．（1）寫出點C，，P的坐標；（2）寫出向量，的坐標．【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根據條件可直接寫出答案；（2）根據坐標算出答案即可.【詳解】（1）因為，，，所以（2）因為，，4.已知點B是點在坐標平面Oxy內的射影，求．【答案】5【解析】【分析】先求得點在坐標平面Oxy內的射影，再利用兩點間的距離求解.【詳解】因為點在坐標平面Oxy內的射影是，所以.1.3.2空間向量運算的坐標表示例2如圖1.3-8，在正方體中，E，F分別是，的中點．求證：．圖1.3-8分析：要證明，只要證明，即證．我們只要用坐標表示，，并進行數量積運算即可．證明：不妨設正方體的棱長為1，建立如圖1.3-8所示的空間直角坐標系，則，，所以．又，，所以．所以．所以，即．例3如圖1.3-9，在棱長為1的正方體中，M為的中點，，分別在棱，上，，．圖1.3-9（1）求長．（2）求與所成角的余弦值．分析：（1）利用條件建立適當的空間直角坐標系，寫出點A，M的坐標，利用空間兩點間的距離公式求出的長．（2）與所成的角就是，所成的角或它的補角．因此，可以通過，的坐標運算得到結果．解：（1）建立如圖1.3-9所示的空間直角坐標系，則點A的坐標為，點M的坐標為．于是．（2）由已知，得，，，，所以，，，．所以．所以所以，與所成角的余弦值是．練習5.已知，，求：（1）；（2）；（3）；（4），【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】根據空間向量的坐標運算算出答案即可.【詳解】因為，（1）所以，（2）（3）（4）6.已知，，且，求x的值．【答案】【解析】【分析】解方程即得解.【詳解】因為，所以，所以，所以.7.在z軸上求一點M，使點M到點與點的距離相等．【答案】【解析】【分析】設出點M的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解即可【詳解】解：設點，因為M到點與點的距離相等，所以，解得，所以點M的坐標為8.如圖，正方體的棱長為a、點N，M分別在AC，上，，，求MN的長．【答案】【解析】【分析】先寫出點的坐標，然后算出答案即可.【詳解】因為正方體的棱長為a、點N，M分別在AC，上，，，所以，所以.9.如圖，在正方體中，M是AB的中點，求與CM所成角的余弦值．

【答案】【解析】【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法即可得到答案.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，如圖，設正方體的棱長為，則，，，，，，設直線與直線所成角為，則，所以直線與直線所成角的余弦值為.習題1.3復習鞏固10.在空間直角坐標系Oxyz中，三個非零向量，，分別平行于x軸、y軸、z軸，它們的坐標各有什么特點？【答案】答案見解析.【解析】【分析】直接利用向量與坐標軸的關系，寫出結果即可．【詳解】向量，，分別平行于軸，軸，軸，所以向量的橫坐標不為0，縱坐標為0，豎坐標為0；向量的橫坐標為0，縱坐標不為0，豎坐標為0；向量的橫坐標為0，縱坐標為0，豎坐標不為0；11.是空間直角坐標系Oxyz中的一點，寫出滿足下列條件的點的坐標；（1）與點M關于軸對稱的點；（2）與點M關于y軸對稱的點；（3）與點M關于z軸對稱的點；（4）與點M關于原點對稱的點．【答案】（1），（2），（3），（4）.【解析】【分析】（1）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；（2）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；（3）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；（4）根據空間直角坐標系的知識直接寫出答案即可；【詳解】若是空間直角坐標系Oxyz中的一點，則（1）與點M關于軸對稱的點為（2）與點M關于y軸對稱的點為（3）與點M關于z軸對稱的點為（4）與點M關于原點對稱的點為12.如圖，正方體的棱長為a，E，F，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點，寫出正六邊形EFGHIJ各頂點的坐標．【答案】，，，，，.【解析】【分析】根據圖形寫出各點的坐標即可.【詳解】因為正方體的棱長為a，E，F，G，H，I，J分別是棱，，，AB，BC，的中點所以，，，，，13.先在空間直角坐標系中標出A，B兩點，再求它們之間的距離：（1），；（2），．【答案】（1），作圖見解析；（2），作圖見解析.【解析】【分析】（1）先在空間直角坐標系內畫出兩點，再利用空間兩點間距離公式直接求解即可；（2）先在空間直角坐標系內畫出兩點，再利用空間兩點間距離公式直接求解即可.【小問1詳解】兩點在空間直角坐標系內位置如圖所示：由空間兩點間距離公式可得：；【小問2詳解】兩點在空間直角坐標系內位置如圖所示：由空間兩點間距離公式可得：.14.已知，，．求：（1）；（2）．【答案】（1）9，（2）【解析】【分析】（1）先求出，再利用數量積運算性質求解即可；（2）直接利用向量坐標的加減法運算性質求解【詳解】解：（1）因為，，所以，因為，所以，（2）因為，，，所以綜合運用15.求證：以A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3）為頂點的三角形是等腰直角三角形．【答案】見證明【解析】【分析】利用空間間兩點的距離公式分別求AB,AC，BC，進而可得三角形的形狀.【詳解】A（4，1，9），B（10，–1，6），C（2，4，3），AB==7，AC==7，BC==7，∴AB2+AC2=BC2，AB=AC，∴△ABC為等腰直角三角形．【點睛】本題主要考查了空間中兩點距離的求解，利用三角形的長度關系判斷三角形的形狀，屬于基礎題.16.已知，，求，，線段AB的中點坐標及線段AB的長．【答案】，，線段AB的中點坐標為，線段AB的長為.【解析】【分析】根據點的坐標求出答案即可.【詳解】因為，，所以，線段AB的中點坐標為，線段AB的長為17.如圖，在正方體中，M，N分別為棱和的中點，求CM和所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】以D為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，利用向量法求解.【詳解】以D為原點，為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標系，不妨設正方體邊長為2，則所以,設CM和所成角為，則,所以CM和所成角的余弦值為.18.是空間的一個單位正交基底，向量，是空間的另一個基底，用基底表示向量．【答案】【解析】【分析】設，然后整理解方程組即可.【詳解】設，即有，因為是空間的一個單位正交基底，所以有，所以.第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關系例1如圖1.4-7在長方體中，，，，M是的中點．以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．圖1.4-7（1）求平面當的法向量；（2）求平面的法向量．分析：（1）平面與y軸垂直，其法向量可以直接寫出；（2）平面可以看成由，，中的兩個向量所確定，運用法向量與它們的垂直關系，可轉化為數量積運算求得法向量．解：（1）因為y軸垂直于平面，所以是平面的一個法向量．（2）因為，，，M是的中點，所以M，C，的坐標分別為，，．因此，．設是平面的法向量，則，．所以所以取，則，．于是是平面的一個法向量．練習1．空間中點、直線和平面的向量表示1.判斷下列命題是否正確，正確的在括號內打“√”，錯誤的打“×”（1）零向量不能作為直線的方向向量和平面的法向量；（）（2）若是直線l的方向向量，則也是直線l的方向向量；（）（3）在空間直角坐標系中，是坐標平面Oxy的一個法向量．（）【答案】①.√②.×③.√【解析】【分析】根據零向量的方向不確定可判斷（1），由可判斷（2），由平面Oxy可判斷（3）.【詳解】（1）零向量的方向不確定，所以不能作為直線的方向向量和平面的法向量，正確；（2）當時，，所以不一定是直線l的方向向量，不正確；（3）在空間直角坐標系中，，平面Oxy，所以是坐標平面Oxy的一個法向量，正確．2.在平行六面體中，，，，O是與的交點．以為空間的一個基底，求直線OA的一個方向向量．【答案】【解析】【分析】依題意就是用表示，根據空間向量的線性運算法則計算可得；【詳解】解：因為，，，如圖因為，，所以所以直線的一個方向向量為3.在長方體中，，，．以D為原點，以為空間的一個單位正交基底，建立空間直角坐標系Oxyz，求平面的一個法向量．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】求得坐標，設出法向量，根據即可求解.【詳解】由題可得，則，設平面的一個法向量為，則，令，得，則平面的一個法向量為.2．空間中直線、平面的平行例2證明“平面與平面平行的判定定理”：同一個平面內有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行．已知：如圖1.4-11，，，，，．求證：．分析：設平面的法向量為，直線a，b的方向向量分別為，，則由已知條件可得，由此可以證明與平面內的任意一個向量垂直，即也是的法向量．證明：如圖1.4-11，取平面的法向量，直線a，b的方向向量，．因為，，所以，．因為，，，所以對任意點，存在x，，使得．從而．所以，向量也是平面的法向量．故．倒3如圖1.4-12，在長方體中，，，．線段上是否存在點P，使得平面？圖1.4-12分析：根據條件建立適當的空間直角坐標系，那么問題中涉及的點、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐標表示，如果點P存在，那么就有，由此通過向量的坐標運算可得結果．解：以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-12所示的空間直角坐標系．因為A，C，的坐標分別為，，，所以，．設是平面的法向量，則，，即所以取，則，．所以，是平面的一個法向量．由，C，的坐標分別為，，，得，．設點P滿足，則，所以．令，得，解得，這樣的點P存在．所以，當，即P為的中點時，平面．練習4.用向量方法證明“直線與平面平行的判定定理”：若平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行．【答案】證明見解析【解析】【分析】先寫出已知求證，再利用向量的數量積運算以及線面平行的定義即可證出．【詳解】已知：直線，平面，，．求證：．證明：設直線的方向向量分別為，平面的一個法向量為，因為，所以，由于，所以，即有，亦即．因為，所以．5.如圖，在四面體ABCD中，E是的中點．直線AD上是否存在點F，使得？【答案】不存在，證明見解析.【解析】【分析】把向量和都用同一組基底來表示，然后根據向量平行的條件來證明不存在.【詳解】假設直線AD上存在點F使，設，，因為E是的中點，所以，，若，則，即，所以，即，所以，此時顯然不成立，所以不存在點F，使得.6.如圖，在正方體中，E，F分別是面，面的中心．求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，利用向量關系即可證明.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設正方體棱長為2，則，則，設平面的一個法向量為，則，即，令，則可得，，，平面，平面.3．空間中直線、平面的垂直例4如圖1.4-14，在平行六面體中，，，求證：直線平面．圖1.4-14分析：根據條件，可以{，，}為基底，并用基向量表示和平面，再通過向量運算證明是平面的法向量即可．證明：設，，，則{，，}為空間的一個基底，且，，．因為，，所以，．在平面上，取，為基向量，則對于平面上任意一點P，存在唯一的有序實數對，使得．所以，．所以是平面的法向量．所以平面．例5證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．圖1.4-15已知：如圖1.4-15，，，求證：．證明：取直線l的方向向量，平面的法向量．因為，所以是平面的法向量．因為，而是平面的法向量，所以．所以．練習7.已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．（1）若，求a，b的關系式；（2）若，求a，b的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由得，所以，進而可得結果；（2）由得，所以，進而解得.【詳解】（1）由得，所以，即，整理得；（2）由得，所以，解得，.8.已知正方體的棱長為1，以D為原點，為單位正交基底建立空間直角坐標系．求證：．【答案】證明見解析【解析】【分析】用基底表示出向量，證明.【詳解】由題意，,,所以所以.9.如圖，在長方體中，，，E是CD的中點，F是BC的中點．求證：平面平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求出點的坐標與平面的法向量，利用空間向量法證明即可；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，，設面的法向量為，則，即，令，則，所以；設面的法向量為，則，即，令，則，所以；因為，所以所以平面平面．1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題例6如圖1.4-18在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．圖1.4-18（1）求點B到直線的距離；（2）求直線到平面的距離．分析：根據條件建立空間直角坐標系，用坐標表示相關的點、直線的方向向量和平面的法向量，再利用有關公式，通過坐標運算得出相應的距離．解：以為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-18所示的空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，，，．（1），，則，．所以，點B到直線的距離為．（2）因為，所以，所以平面．所以點F到平面的距離即為直線到平面的距離．設平面的法向量為，則所以所以取，則，，所以，是平面的一個法向量．又因為，所以點F到平面的距離為．即直線到平面的距離為．練習10.在棱長為1的正方體中，點A到平面的距離等于__________；直線DC到平面的距離等于_________；平面到平面的距離等于__________．【答案】①.②.③.【解析】【分析】根據點面距、線面距、面面距的定義及正方體的性質計算可得；【詳解】解：在棱長為的正方體中，面，所以即為點A到平面的距離，故點A到平面的距離為，因為，面，面，所以面，所以即為直線DC到平面的距離，故直線DC到平面的距離為，又平面平面，所以平面到平面的距離為故答案為：，，11.如圖，在棱長為1的正方體中，E為線段的中點，F為線段的中點．（1）求點到直線的距離；（2）求直線到直線的距離；（3）求點到平面的距離；（4）求直線到平面的距離．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】（1）建立坐標系，求出向量在單位向量上的投影，結合勾股定理可得點到直線的距離；（2）先證明再轉化為點到直線的距離求解；（3）求解平面的法向量，利用點到平面的距離公式進行求解；（4）把直線到平面的距離轉化為到平面的距離，利用法向量進行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則（1）因為，所以.所以點到直線的距離為.（2）因為所以，即所以點到直線的距離即為直線到直線的距離.所以直線到直線的距離為（3）設平面的一個法向量為，.由令，則，即.設點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.（4）因為所以平面，所以直線到平面的距離等于到平面的距離.，由（3）得平面的一個法向量為，所以到平面的距離為，所以直線到平面的距離為.12.如圖，在棱長為1的正方體中，求平面與平面的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，計算平面的法向量為，再由可得解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，所以，所以平面與平面間的距離例7如圖1.4-19，在校長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，M，N分別為，的中點，求直線和夾角的余弦值．圖1.4-19分析：求直線和夾角的余弦值，可以轉化同量與的余弦值．為此需要把向量，用適當的基底表示出來，進而求得向量，夾角的余弦值．解：化為向量問題如圖1.4-19，以{，，}作為基底．則，．設向量與夾角為，則直線和夾角的余弦值等于．進行向量運算．又和均為等邊三角形，所以．．回到圓形問題所以直線和夾角余弦值為．例8圖1.4-22，在直三棱柱中，，，，P為的中點，點Q，R分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．圖1.4-22分析：因為平面與平面的夾角可以轉化為平面與平面的法向量的夾角，所以只需要求出這兩個平面的法向量的夾角即可．解：化為向量問題以為原點，，，所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-22所示的空間直角坐標系．設平面的法向量為，平面的法向量為，則平面與平面的夾角就是與的夾角或其補角．進行向量運算因為平面，所以平面的一個法向量為．根據所建立的空間直角坐標系，可知，，．所以，．設，則所以取，則．回到圖形問題設平面與平面的夾角為，則．即平面與平面的夾角的余弦值為．練習13.在直三棱柱A1B1C1-ABC中，∠BCA=90°，D1，F1分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，設BC=CA=CC1=1，則A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F1，∴=，=，∴|cos<>|===.故選：A.14.PA，PB，PC是從點P出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線PC與平面PAB所成角的余弦值是（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過PC上一點D作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．能證明點O在∠APB的平分線上，通過解直角三角形PED、DOP，求出直線PC與平面PAB所成角的余弦值．【詳解】解：在PC上任取一點D并作DO⊥平面APB，則∠DPO就是直線PC與平面PAB所成的角．過點O作OE⊥PA，OF⊥PB，因為DO⊥平面APB，則DE⊥PA，DF⊥PB．△DEP≌△DFP，∴EP＝FP，∴△OEP≌△OFP，因為∠APC＝∠BPC＝60°，所以點O在∠APB的平分線上，即∠OPE＝30°．設PE＝1，∵∠OPE＝30°∴OP在直角△PED中，∠DPE＝60°，PE＝1，則PD＝2．在直角△DOP中，OP，PD＝2．則cos∠DPO．即直線PC與平面PAB所成角的余弦值是．故選：C15.如圖，正三棱柱的所有棱長都為2，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，求解平面與平面的法向量，利用法向量求解夾角的余弦值．【詳解】因為正三棱柱的所有棱長均為2，取BC的中點O，則所以平面.取的中點H，所以AO,BO,OH兩兩垂直，以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.則,所以,.設平面的一個法向量為，則令得.同理可得平面的一個法向量為.設平面與平面夾角為，易知為銳角，則，即平面與平面夾角的余弦值為.16.如圖，和所在平面垂直，且，．求：（1）直線AD與直線BC所成角的大小；（2）直線AD與平面BCD所成角的大小；（3）平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．【答案】（1）90°（2）（3）【解析】【分析】（1）作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，利用空間向量法求出異面直線所成的角；（2）顯然平面BCD的一個法向量為，利用空間向量法求出線面角；（3）求出平面CBD的一個法向量為以及平面ABD的一個法向量為，求出兩法向量的余弦值的絕對值即為平面ABD和平面BDC的夾角的余弦值．【詳解】解：設，作AO⊥BC于點O，連DO，以點O為原點，OD，OC，OA的方向分別為x軸、y軸、z軸方向，建立坐標系，得下列坐標：，，，，（1），，所以AD與BC所成角等于90°．（2），顯然為平面BCD的一個法向量∴，直線AD與平面BCD所成角的大小（3）設平面ABD的法向量為則所以，即，令，則，則設平面ABD和平面BDC的夾角為，則因此平面ABD和平面BDC的夾角的余弦為．例9圖1.4-23為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為30°．已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小（重力加速度g取，精確到0.01N）．圖1.4-23分析：因為降落傘勻速下落，所以降落傘8根繩子拉力的合力的大小等于禮物重力的大小．8根繩子的拉力在水平面的法向量方向上的投影向量的和向量與禮物的重力是一對相反向量．解：如圖1.4-24，設水平面的單位法向量為，其中每一根繩子的拉力均為F．因為，所以F在上的投影向量為．所以8根繩子拉力的合力．又因為降落傘勻速下落，所以（N）．所以所以（N）．圖1.4-24例10如圖1.4-25，在四棱錐中，底面是正方形，側棱底面，，E是的中點，作交于點F．圖1.4-25（1）求證：面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大小．分析：本題涉及的問題包括：直線與平面平行和垂直的判定，計算兩個平面的夾角．這些問題都可以利用向量方法解決．由于四棱錐的底面是正方形，而且一條側棱垂直于底面，可以利用這些條件建立適當的空間直角坐標系，用向量及坐標表示問題中的幾何元素，進而解決問題．解：以D為原點，，，所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖1.4-26所示的空間直角坐標系，設．圖1.4-26（1）證明：連接，交于點G，連接．依題意得，，．因為底面是正方形，所以點G是它的中心，故點G的坐標為，且，，所以，．而平面，且平面，因此平面．（2）證明：依題意得，．又，故．所以．由已知，且．所以平面．（3）解：已知，由（2）可知，故是平面與平面的夾角．設點F的坐標為，則因為，所以，即，，．設，則．所以，點F的坐標為，又點E的坐標為，所以．所以所以，即平面與平面的夾角大小為60°．練習17.如圖，二面角的棱上有兩個點A，B，線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱l．若，，，，求平面與平面的夾角．【答案】【解析】【分析】利用向量求解，，兩邊平方可求平面與平面的夾角．【詳解】設平面與平面的夾角為，由可得所以，即平面與平面的夾角為.18.如圖，在三棱錐中，，，M，N分別是AD，BC的中點．求異面直線AN，CM所成角的余弦值．【答案】【解析】【分析】連結，取的中點，連結，推導出異面直線，所成角就是，利用余弦定理解三角形，能求出結果．【詳解】連結，取的中點，連結，則，是異面直線，所成的角，，，，又，，，異面直線，所成的角的余弦值為．19.如圖，在三棱錐中，OA，OB，OC兩兩垂直，，．求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．【答案】【解析】【分析】構建以為原點，為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標系，寫出、、的坐標，進而求面ABC的法向量，根據直線方向向量與平面法向量夾角與線面角的關系，結合空間向量夾角的坐標表示即可求直線OB與平面ABC所成角的正弦值．【詳解】構建以為原點，為x、y、z軸的正方向的空間直角坐標系，如下圖示，∴，，，則，，，若是平面ABC的一個法向量，則，令，則，∴，故直線OB與平面ABC所成角的正弦值為.習題1.4復習鞏固20.如圖，在三棱錐中，E是CD的中點，點F在AE上，且．設，，，求直線AE，BF的方向向量．【答案】直線AE的方向向量，直線BF的方向向量.【解析】【分析】由已知線段所表示的空間向量，應用向量加減運算的幾何意義求得、，即可求，再由知，即可求.【詳解】在△中，，，則，在△中，，，則，∵在△中，E是CD的中點，∴，而，即，∴在△中，.∴直線AE，BF的方向向量分別為、.21.如圖，在直三棱柱中，，，．以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系．（1）求平面的一個法向量；（2）求平面的一個法向量．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)求出平面內的兩個向量，，然后利用法向量與這兩個向量的數量積都為0來求法向量；(2)求出平面內的兩個向量，，然后利用法向量與這兩個向量的數量積都為0來求法向量.【詳解】易知，，，.(1)，，設面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為；(2)，，設面的法向量為，則，即，取，則，所以平面的一個法向量為22.如圖，在平行六面體中，E是AB的中點，F是的中點．求證：．【答案】見解析【解析】【分析】取的中點為,根據幾何體的特征分別得到，，從而得證.【詳解】取的中點為,則根據平行六面體的特征可得，，所以四邊形為平行四邊形，則,,又因為,,所以,,所以四邊形為平行四邊形，所以,又因為,所以四邊形為平行四邊形.所以，進而.23.如圖，在四面體ABCD中，平面BCD，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且．求證：平面BCD．【答案】證明見解析【解析】【分析】要證線面平行，需找線線平行，取BD中點O，且P是BM中點，取CD的四等分點H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，通過四邊形OPQH為平行四邊形及線面平行的判定定理即得結論．【詳解】證明：如圖所示，取BD中點O，且P是BM中點，∴PO//MD且POMD，取CD的四等分點H，使DH＝3CH，且AQ＝3QC，∴PO//QH且PO＝QH，∴四邊形OPQH為平行四邊形，∴PQ//OH，PQ在平面BCD外，且OH?平面BCD，∴PQ//平面BCD．24.如圖，在正方體中，點E在BD上，且；點F在上，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，表示出點的坐標，利用空間向量法證明線線垂直；【詳解】解：（1）如圖建立空間直角坐標系，令正方體的棱長為，則，，，因為，，所以，，所以，，所以，所以（2）由（1）可知，所以，所以25.如圖，在棱長為1的正方體中，O為平面的中心，E為BC的中點，求點O到直線的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標系，求解直線的單位方向向量，結合勾股定理進行求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則，因為，所以.所以點到直線的距離為.26.如圖，四面體OABC的所有棱長都是1，D，E分別是邊OA，BC的中點，連接DE．（1）計算DE的長；（2）求點O到平面ABC的距離．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用基底表示出向量，再根據向量數量積求長度的方法即可求出；（2）由該幾何體特征可知，點O在平面ABC的射影為的中心，即可求出．【詳解】（1）因為四面體OABC的所有棱長都是1，所以該四面體為正四面體，，而且，所以，即，所以DE的長為．（2）因為四面體OABC為正四面體，所以點O在平面ABC的射影為的中心，的外接圓半徑為，所以點O到平面ABC的距離為．27.如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于a，M，N分別是AB，CD的中點．求證：，．【答案】證明見解析【解析】【分析】根據題意證明即可.【詳解】由題意可知，三個向量兩兩間的夾角為，因為M，N分別是AB，CD的中點，所以,則，所以，同理可證.28.如圖，M，N分別是正方體的棱和的中點，求：（1）MN和所成角的大小；（2）MN和AD所成角的大小．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，若正方體的棱長為2，寫出、、、、的坐標，進而可得、、，利用空間向量夾角的坐標表示求其夾角的余弦值，即可求MN和、MN和AD所成角.【詳解】構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，若正方體的棱長為2，則，，，，，（1），，又MN和所成角范圍為，∴，故MN和所成角為.（1），又MN和AD所成角范圍為，∴，故MN和AD所成角為.29.如圖，在正方體中，E，F，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點．（1）求證：平面EFGHKL；（2）求與平面EFGHKL所成角的余弦值．【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，可由證得；（2）利用空間向量計算直線和法向量的夾角，進而得解.【詳解】如圖所示建立空間直角坐標系，（1），則，所以為平面EFGHKL的兩條相交直線，所以平面EFGHKL；（2）由（1）知平面EFGHKL的法向量為，因為，求與平面EFGHKL所成角的余弦值為.綜合運用30.如圖，在長方體中，，，E是CD的中點．求證：平面．【答案】證明見解析【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量法證明，，即可得證；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，則，，，所以，，所以，，所以，，因為，平面．所以平面．31.如圖，在長方體中，點E，F，G分別在棱，，上，；點P，Q，R分別在棱，CD，CB上，．求證：平面平面PQR．【答案】證明見解析【解析】【分析】構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，令寫出、、、，進而求面、面的法向量、，根據所得法向量的關系即可證結論.【詳解】構建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標系，如下圖示，設，又，，∴，，，，，，∴，，，，設是面的一個法向量，則，令，，設是面的一個法向量，則，令，，∴面、面的法向量共線，故平面平面PQR，得證.32.如圖，已知正方體的棱長為1，E為CD的中點，求點到平面的距離．【答案】【解析】【分析】建立空間坐標系，求解平面的法向量，結合點到平面的距離公式求解.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則.設平面的一個法向量為，.由令，則，即.設點到平面的距離為，則，即點到平面的距離為.33.如圖，已知正方體的棱長為1，Q為的中點，點P在棱上，．求平面ABCD與平面BQP的夾角．【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，分別求解兩個面的法向量，利用法向量的夾角求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，，，設平面的法向量為，則，不妨令，則，所以平面的法向量為，所以.所以面ABCD與平面BQP的夾角為34.如圖，正方體的棱長為1，M是棱的中點，O是的中點．求證：OM分別與異面直線，垂直，并求OM的長．【答案】見解析.【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用空間向量數量積為0可證得垂直，利用模長公式可求線段長.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則，所以，因為，所以.拓廣探索35.如圖，在直三棱柱中，，，，M是AB的中點，N是的中點，P是與的交點．在線段上是否存在點Q，使得平面？【答案】存在，在靠近的三等分點處【解析】【分析】建立空間坐標系，利用空間向量進行求解，平面則可利用與平面的法向量垂直求解.【詳解】如圖，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，則,設面的法向量,則,即.令得因為平面，所以,即.所以得，,所以.因為，，所以存在在三等分點處靠近，使得平面.36.在空間直角坐標系中，已知向量，點，點．（1）若直線l經過點，且以為方向向量，P是直線l上的任意一點，求證：（2）若平面經過點，且以為法向量，P是平面內的任意一點，求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．【解析】【分析】（1）根據空間向量平行的坐標表示即可證出；（2）根據空間向量垂直的坐標表示即可證出．【詳解】（1）因為，，所以，即，因為，所以．（2）因為，，，所以．37.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABCD，ABEF的邊長都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動彈子M，N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且CM和BN的長度保持相等，記．（1）求MN的長；（2）a為何值時，MN的長最小？（3）當MN的長最小時求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值．【答案】（1）；（2）時，最小，最小值為；（3）【解析】【分析】以為坐標原點，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標系，求得、、、、、的坐標．（1）直接由兩點間的距離公式可得；（2）把（1）中求得利用配方法求最值；（3）由（2）可知，當，為中點時，最短，求出、的坐標，取的中點，連接，，可得的坐標，連接，，得到是平面與平面的夾角或其補角，再由與的夾角求解．【詳解】解：如圖建立空間直角坐標系，，，，，，，．（1）；（2），當時，最小，最小值為；（3）由（2）可知，當，為中點時，最短，則，0，，，，，取的中點，連接，，則，，，，，，，是平面與平面的夾角或其補角．，，．平面與平面夾角的余弦值是．復習參考題1復習鞏固1.如圖，空間四邊形OABC中，，，，點M在上，且滿足，點N為BC的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由空間向量的線性運算求解．【詳解】由題意，又，，，∴,故選：B．2.如圖，在平行六面體中，，，，、、分別是、、的中點，點在上，且．用空間的一個基底表示下列向量：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達式；（2）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達式；（3）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達式；（4）利用空間向量的加法法則可得出在基底下的表達式.【小問1詳解】解：，則；【小問2詳解】解：，，所以，；【小問3詳解】解：.【小問4詳解】解：.3.如圖，在直三棱柱中，，，，，M是的中點.求證：.【答案】證明見解析【解析】【分析】以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系，證明即可.【詳解】由題可以B為原點建立如圖所示空間直角坐標系，則，則，，.4.如圖，正三棱柱的底面邊長為a，側棱長為.（1）試建立適當的空間直角坐標系，并寫出點A，B，，的坐標；（2）求與側面所成的角.【答案】（1）答案見解析；（2）【解析】【分析】取BC的中點為O,的中點為,連結,連結OA，以O為原點，為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，用向量法求解.【詳解】（1）因為三棱柱為正三棱柱，取BC的中點為O,取的中點為,連結,則⊥面ABC.連結OA，則OA⊥BC.以O為原點，為x、y、z軸的正方向建立空間直角坐標系，由底面邊長為a，側棱長為，則所以點A，B，，的坐標為：；（2）由（1）知：.設為面的一個法向量，則，即，不妨設x=1,則.設與側面所成的角為，則，所以，即與側面所成的角為.5.已知空間三點，，．（1）求以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積；（2）若向量分別與，垂直，且，求向量的坐標．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先求出，然后利用向量的夾角公式求出，從而可求出，再利用三角形的面積公式可求得答案，（2）設，然后利用向量分別與，垂直，且，列方程組可求得答案【小問1詳解】因為，，，所以，所以，因為，所以，所以以AB，AC為鄰邊的平行四邊形的面積為【小問2詳解】設，因為向量分別與，垂直，所以，因為，所以，解得或，所以或6.設空間兩個單位向量，與向量的夾角都等于，求的值.【答案】或.【解析】【分析】根據已知可得，，由此可以求出，再根據，即可求得答案.【詳解】因為兩個單位向量，與向量的夾角都等于，，，，，，解得或，，，或7.正三棱柱的側棱長為2，底面邊長為1，M是BC的中點.在直線上求一點N，使.【答案】滿足.【解析】【分析】以為原點建立空間直角坐標系，設，通過求解.【詳解】如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，，，解得，故可得滿足即可.8.如圖，在棱長為1的正方體中，E，F，G分別是，BD，的中點.（1）求證：；（2）求EF與CG所成角的余弦值；（3）求CE的長.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）【解析】【分析】（1）以為坐標原點建立空間直角坐標系，證明即可；（2）求出即可；（3）利用空間兩點間距離公式即可求出.【詳解】如圖，以為坐標原點建立空間直角坐標系，則.（1），，則,，；（2）設EF與CG所成角為，，，則，所以EF與CG所成角的余弦值為；（3）9.如圖所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點．（1）求的長；（2）求cos<>的值；（3）求證：A1B⊥C1M．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】【分析】（1）求得長即求向量的模長問題，利用模的計算公式計算出結果.（2）求向量的夾角問題，由，在坐標系中讀出的坐標，根據坐標減法求出，，，并求出其模長，再次根據夾角公式可以求解.（3）要證明，只需要證明，根據各個點坐標進行向量計算可證.【詳解】解：以為原點，分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．（1）（2）（3）綜合運用10.如圖，在平行六面體中，底面ABCD是邊長為a的正方形，側棱的長為b，且.求：（1）的長；（2）直線與AC所成角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用基底表示向量，再利用數量積求模；（2）轉化為利用向量數量積求直線夾角的余弦值.【詳解】，所以，所以，，，所以直線與AC所成角的余弦值為.11.在長方體中，點E，F分別在，上，且，．（1）求證：平面AEF；（2）當，，時，求平面AEF與平面所成二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）利用向量證明，即可；（2）首先建立空間直角坐標系，算出平面的法向量，利用第一問的結論進一步得到平面的法向量，最后利用法向量的夾角求出二面角的余弦值．【詳解】（1）證明：因為所以因為所以因為，所以平面（2）分別以、、為軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，連接，由于：，，所以，設平面的法向量為，則，所以，所以可取又由于：平面所以：看作是平面的法向量設平面和平面所成的角為，則所以平面和平面所成的角的余弦值為．12.如圖，在四棱錐中，底面ABCD滿足，，底面ABCD，且，.（1）求四棱錐的體積；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先求底面面積，再結合錐體體積公式即可求解；（2）分別以所在直線為軸,軸、軸,建立如圖空間直角坐標系,為平面的一個法向量,且,求平面的一個法向量,根據,即可求得答案.【詳解】（1）平面,,，且，所以四棱錐的體積；（2）分別以所在直線為軸,軸、軸,建立如圖空間直角坐標系,如圖:由，可得:,,,,,由（1）知平面,為平面的一個法向量,且；設為平面的一個法向量,則,,,,,,,令,則,,,設平面與平面所成的二面角為,，平面與平面所成二面角的余弦值為．13.如圖，把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角，E，F分別為AD，BC的中點，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后的大小.【答案】【解析】【分析】可連接，，根據正方形的對角線互相垂直有，，而折成的為直二面角，從而平面平面，從而可得到平面，可得出，，三直線兩兩垂直，從而可分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標系．然后求出空間一些點的坐標，從而可以得出向量的坐標，這樣可根據向量夾角的余弦公式求出向量的夾角，從而得出的大小．【詳解】折起后的圖形如下所示，連接，，則，；又平面平面，平面平面；平面；，，三直線兩兩垂直，分別以這三直線為，，軸，建立空間直角坐標系設正方形的對角線長為2，則可確定以下點坐標：，0，，，，，，0，，，，0，，，1，，；；；；．14.在正四棱錐中，O為頂點在底面內的射影，P為側棱SD的中點，且.求直線BC與平面PAC所成的角.【答案】【解析】【分析】如圖所示，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，求得平面PAC的一個法向量和直線BC的方向向量，結合線面夾角公式即可求解．【詳解】如圖所示，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz.設OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a(a＞0)，則A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)，．則，，．設平面PAC的法向量為，則即，得，令，則，則．∴．∴直線BC與平面PAC所成的角為90°－60°＝30°．15.如圖，在四面體ABCD中，E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點.（1）求證：E，F，G，H四點共面；（2）求證：平面EFGH；（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任意一點O，有.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據題意得出可證；（2）通過證明可得；（3）可得四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，即可證明.【詳解】（1）E，F，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，，，，又E，F，G，H四點不共線，故E，F，G，H四點共面；（2）E，H分別是AB，AD的中點，，，，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH；（3）由（1）知四邊形EFGH為平行四邊形，為EG中點，E，G分別是AB，CD的中點，.拓廣探索16.如圖，在棱長為a的正方體中，E，F分別是棱AB，BC上的動點，且.（1）求證：；（2）當三棱錐的體積取得最大值時，求平面與平面BEF的夾角正切值.【答案】（1）證明見詳解；（2）【解析】【分析】（1）以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，利用空間向量的數量積即可證明.（2）根據三棱錐的體積最大時，E，F分別是棱AB，BC上中點，過作，連接，得出為平面與平面BEF的夾角，在中即可求解.【詳解】（1）以為坐標原點，為軸建立空間直角坐標系，如圖：設，則，，，，，，由，.（2），若三棱錐的體積取得最大值，則取得最大值，，當且僅當時，即時取等號，即E，F分別是棱AB，BC上中點，過作，連接，由三垂線定理可得，得出為平面與平面BEF的夾角，，，所以.17.如圖，兩條異面直線a，b所成的角為，在直線a，b上分別取點，E和點A，F，使，且.已知，，，求線段的長.【答案】.【解析】【分析】依題意，，兩邊平方，結合條件，即可求得公垂線段的長.【詳解】依題意，，平方得，因為，，或，所以，故.第二章直線和圓的方程2.1直線的傾斜角與斜率2.1.1傾斜角與斜率例1如圖2.1-6，已知，，，求直線，，的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．圖2.1-6解：直線的斜率；直線的斜率；直線的斜率．由及可知，直線與的傾斜角均為銳角；由可知，直線的傾斜角為鈍角．練習1.已知下列直線的傾斜角，求直線的斜率：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）（4）【解析】【分析】（1）利用直線斜率與傾斜角的關系可求得直線的斜率；（2）利用直線斜率與傾斜角的關系可求得直線的斜率；（3）利用直線斜率與傾斜角的關系可求得直線的斜率；（4）利用直線斜率與傾斜角的關系可求得直線的斜率.【小問1詳解】解：直線的斜率為.【小問2詳解】解：直線的斜率為.【小問3詳解】解：直線的斜率為.【小問4詳解】解：直線的斜率為.2.已知下列直線的斜率，求直線的傾斜角.（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】【分析】根據斜率與傾斜角的關系先計算出傾斜角的正切值，然后根據傾斜角的范圍求解出傾斜角.【詳解】設傾斜角為，，（1）因為，所以；（2）因為，所以；（3）因為，所以；（4）因為，所以.3.求經過下列兩點的直線的斜率，并判斷其傾斜角是銳角還是鈍角.（1），；（2），．【答案】（1），銳角；（2），鈍角.【解析】【分析】先根據斜率的計算公式求解出直線的斜率，然后根據斜率的正負判斷出傾斜角是銳角還是鈍角.【詳解】設傾斜角為，（1）因為，所以，所以為銳角；（2）因為，所以，所以為鈍角.4.已知a，b，c是兩兩不等的實數，求經過下列兩點的直線的傾斜角.（1），（2），（3），．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）先計算出斜率值，再根據傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角；（2）根據橫坐標相等判斷出直線軸，由此分析得到直線的傾斜角；（3）先計算出斜率值，再根據傾斜角的正切值等于斜率求解出傾斜角.【詳解】（1）因為，所以，所以，所以直線的傾斜角為；（2）因為的橫坐標相等，所以直線軸，所以直線的傾斜角為；（3）因為，所以，所以，所以直線的傾斜角為.5.經過，兩點的直線的方向向量為，求k的值．【答案】.【解析】【分析】根據直線的方向向量得到的含義，結合斜率的計算公式求解出的值.【詳解】因為直線的方向向量為，則為直線的斜率，所以，所以的值為.2.1.2兩條直線平行和垂直的判定例2已知，，，，試判斷直線與的位置關系，并證明你的結論．解：如圖2.1-8，由已知可得直線的斜率；直線的斜率；因為，所以直線．圖21-8例3已知四邊形四個頂點分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．解：如圖2.1-9，由已知可得邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率．因為，，所以，．因此四邊形是平行四邊形．圖2.1-9例4已知，，，，試判斷直線與的位置關系．解：直線的斜率，直線的斜率為．因為，所以直線．例5已知，，三點，試判斷的形狀．分析：如圖2.1-10，猜想，是直角三角形．解：邊所在直線的斜率，邊在直線的斜率．由，得，即．所以是直角三角形．圖2.1-10練習6.判斷下列各對直線平行還是垂直：（1）經過兩點A（2，3），B（﹣1，0）的直線l1，與經過點P（1，0）且斜率為1的直線l2；（2）經過兩點C（3，1），D（﹣2，0）的直線l3，與經過點M（1，﹣4）且斜率為﹣5的直線l4.【答案】（1）平行（2）垂直【解析】【分析】(1)由題意可得直線l1的斜率，根據直線l1，l2的斜率關系，判斷它們的位置關系，(2).由題意可得直線l3的斜率，根據直線l3，l4的斜率關系，判斷它們的位置關系，【小問1詳解】由題意和斜率公式可得l1的斜率k11，l2斜率k2＝1，k1＝k2，又直線l1，l2不重合，所以兩直線平行；【小問2詳解】由題意和斜率公式可得l1的斜率k1，l2斜率k2＝﹣5，k1?k2＝﹣1，故兩直線垂直.7.試確定m的值，使過，兩點的直線與過，兩點的直線.（1）平行；（2）垂直．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用直線平行斜率相等即可求解.（2）利用直線垂直斜率乘積等于即可求解.【詳解】過，兩點的直線斜率，當時，直線的斜率不存在，此時直線與直線即不平行也不垂直；當時，過，兩點的直線斜率，（1）當兩直線平行時，則，解得.（2）當兩直線垂直時，則，解得.習題2.1復習鞏固8.已知直線斜率的絕對值等于1，求直線的傾斜角．【答案】或.【解析】【分析】分別考慮斜率的情況，然后根據斜率等于傾斜角的正切值求解出傾斜角.【詳解】設傾斜角為，當時，，；當時，，；所以直線的傾斜角為或.9.已知四邊形ABCD的四個頂點是，，，，求四邊形ABCD的四條邊所在直線的斜率．【答案】，，，.【解析】【分析】根據斜率的計算公式分別求解出四條邊的斜率即可.【詳解】解：，，，.10.m為何值時，（1）經過，兩點的直線的斜率是12？（2），兩點的直線的傾斜角是？【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據斜率的計算公式列出關于的方程，由此求解出的值；（2）先根據傾斜角計算出斜率，然后根據斜率的計算公式列出關于的方程，由此求解出的值.【詳解】（1）因為，所以，（2）因為傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，所以.11.已知，，三點，這三點是否在同一條直線上？為什么？【答案】在一條直線上，理由見解析.【解析】【分析】根據點的坐標計算，若相等則說明在同一條直線上，反之則不在同一條直線上.【詳解】因為，所以，且直線有公共點，所以三點在一條直線上.12.判斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經過，兩點；（2）經過，兩點，平行于x軸，但不經過P，Q兩點；（3）經過，兩點，經過，兩點．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用兩直線的斜率是否相等進行判斷即可.（2）根據直線的斜率即可判斷.（3）求出兩直線的斜率即可求解.【詳解】（1）經過，兩點，則，則，可得兩直線平行.（2）經過，兩點，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經過P，Q兩點，所以；（3）經過，兩點，，經過，兩點，則，所以.13.判斷下列直線與是否垂直.（1）的斜率為，經過點，；（2）的傾斜角為，經過，兩點；（3）經過，兩點，經過，兩點．【答案】（1）垂直；（2）垂直；（3）垂直.【解析】【分析】（1）先計算的斜率，然后根據斜率乘積是否為進行判斷即可；（2）先計算，的斜率，然后根據斜率乘積是否為進行判斷即可；（3）先計算，的斜率，然后根據斜率乘積是否為進行判斷即可.【詳解】（1）因為，又，所以，所以；（2）因為的傾斜角為，所以，又因為，所以，所以；（3）因為，，所以，所以.綜合運用14.過，兩點的直線l的傾斜角為，求的值．【答案】.【解析】【分析】根據傾斜角計算出直線的斜率，再根據坐標形式下斜率的計算公式求解出的值.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，又，整理得，解得或，當時，，不符合，當時，，符合，綜上：.15.經過點作直線l，若直線l與連接，