專題14對數函數及其性質【考點預測】知識點一、對數函數的概念1、函數叫做對數函數．其中是自變量，函數的定義域是，值域為．2、判斷一個函數是對數函數是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數為1；（2）底數為大于0且不等于1的常數；（3）對數的真數僅有自變量．知識點二、對數函數的圖象與性質圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，知識點三、底數對對數函數圖象的影響1、底數制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數的取值范圍制約著對數函數圖象的升降（即函數的單調性），因此在解與對數函數單調性有關的問題時，必須考慮底數是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數變化與圖象變化的規律在同一坐標系內，當時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸；當時，對數函數的圖象隨a的增大而遠離x軸．（見下圖）知識點四、反函數1、反函數的定義設分別為函數的定義域和值域，如果由函數所解得的也是一個函數（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那么就稱函數是函數的反函數，記作，在中，是自變量，是的函數，習慣上改寫成（）的形式．函數（）與函數（）為同一函數，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應法則都為．由定義可以看出，函數的定義域A正好是它的反函數的值域；函數的值域B正好是它的反函數的定義域．2、反函數的性質（1）互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱．（2）若函數圖象上有一點，則必在其反函數圖象上，反之，若在反函數圖象上，則必在原函數圖象上．【典型例題】例1．(2023·北京·北二外附屬中學高一期中）已知．(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性，并加以證明；(3)求的值；(4)證明函數在上為單調遞減函數．例2．(2023·上海市嘉定區第一中學高一階段練習）已知函數的定義域是關于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函數的最大值和最小值，并求出此時的值.例3．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）（1）若函數的定義域為，求的范圍；（2）若函數的值域為，求的范圍.例4．(2023·寧夏·銀川二中高一期中）已知函數，其中，均為實數.(1)若，且的定義域為，求的取值范圍；(2)若，是否存在實數，使得在區間內單調遞增？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【過關測試】一、單選題1．(2023·黑龍江·哈師大附中高一期中）函數的增區間為（

）A． B． C． D．2．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．3．(2023·湖南·邵陽市第二中學高一期中）已知定義域為的奇函數滿足，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．4．(2023·吉林·長春市第二實驗中學高一期中）已知的值域為R，那么實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．(2023·廣東·廣州市第一中學高一期中）已知函數，若對任意的，存在，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．6．(2023·上海·高一專題練習）函數的反函數為，則的根有（）個A． B． C． D．7．(2023·廣東·深圳市龍崗區龍城高級中學高一期中）設滿足，滿足，則（

）A． B． C． D．8．(2023·江蘇省上岡高級中學高一期中）若在區間上是減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為 B．為奇函數C．在定義域上是增函數 D．的值域為10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列說法中正確的是（

）A．若函數是奇函數，則B．函數的值域為，則實數的取值范圍是C．函數與的圖象關于對稱D．函數與函數為同一函數11．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數，函數滿足．則（

）A．B．函數的圖象關于點對稱C．若實數a、b滿足，則D．若函數與圖象的交點為，則12．(2023·浙江大學附屬中學高一期末）已知函數，，且，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．(2023·江蘇省上岡高級中學高一期中）已知函數，則函數的定義域為_________14．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為______.15．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）己知函數是偶函數，在區間內單調遞減，，則不等式的解集為__________．16．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）已知，，若，，使得，則實數的最大值是______.四、解答題17．(2023·山西·運城市景勝中學高一階段練習）已知.(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并加以說明；(3)求使的的取值范圍.18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函數(1)求不等式的解集；(2)若對于任意恒成立，求的取值范圍.19．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）設函數.(1)解方程；(2)設不等式的解集為，求函數的值域.20．(2023·全國·高一課時練習）已知函數．(1)若的值域為R，求實數m的取值范圍；(2)若在內單調遞增，求實數m的取值范圍．21．（2023·福建省漳州第一中學高一開學考試）已知函數是的反函數，當時，函數，（）的最小值為．（1）求的函數表達式；（2）是否存在實數，使得函數的定義域為，值域為，若存在求出、的值，若不存在，請說明理由．22．(2023·上海·高一專題練習）已知函數，.(1)如果，求函數的值域；(2)求函數的最大值；(3)如果對任意，不等式恒成立，求實數的取值范圍．專題14對數函數及其性質【考點預測】知識點一、對數函數的概念1、函數叫做對數函數．其中是自變量，函數的定義域是，值域為．2、判斷一個函數是對數函數是形如的形式，即必須滿足以下條件：（1）系數為1；（2）底數為大于0且不等于1的常數；（3）對數的真數僅有自變量．知識點二、對數函數的圖象與性質圖象性質定義域：值域：過定點，即時，在上增函數在上是減函數當時，，當時，當時，，當時，知識點三、底數對對數函數圖象的影響1、底數制約著圖象的升降．如圖知識點詮釋：由于底數的取值范圍制約著對數函數圖象的升降（即函數的單調性），因此在解與對數函數單調性有關的問題時，必須考慮底數是大于1還是小于1，不要忽略．2、底數變化與圖象變化的規律在同一坐標系內，當時，隨a的增大，對數函數的圖像愈靠近x軸；當時，對數函數的圖象隨a的增大而遠離x軸．（見下圖）知識點四、反函數1、反函數的定義設分別為函數的定義域和值域，如果由函數所解得的也是一個函數（即對任意的一個，都有唯一的與之對應），那么就稱函數是函數的反函數，記作，在中，是自變量，是的函數，習慣上改寫成（）的形式．函數（）與函數（）為同一函數，因為自變量的取值范圍即定義域都是B，對應法則都為．由定義可以看出，函數的定義域A正好是它的反函數的值域；函數的值域B正好是它的反函數的定義域．2、反函數的性質（1）互為反函數的兩個函數的圖象關于直線對稱．（2）若函數圖象上有一點，則必在其反函數圖象上，反之，若在反函數圖象上，則必在原函數圖象上．【典型例題】例1．(2023·北京·北二外附屬中學高一期中）已知．(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性，并加以證明；(3)求的值；(4)證明函數在上為單調遞減函數．【解析】（1）由題意,解得,定義域為；（2）是偶函數：證明：，所以是偶函數；（3）；（4）設，，∵，所以，，，∴，即，∴函數在上為單調遞減函數．例2．(2023·上海市嘉定區第一中學高一階段練習）已知函數的定義域是關于的不等式的解集(1)求以上不等式的解集；(2)求函數的最大值和最小值，并求出此時的值.【解析】（1）由可得，即，則，即，所以，即的解集為.（2）因為，令，則，當即時，，即取得最小值；當或即或時，，即取得最大值；例3．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）（1）若函數的定義域為，求的范圍；（2）若函數的值域為，求的范圍.【解析】（1）的定義域為，對恒成立；當時，不等式變為，即，不合題意；當時，若恒成立，則，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為；（2）設的值域為，的值域為，；當時，，則，滿足題意；當時，若，則，解得：；綜上所述：實數的取值范圍為.例4．(2023·寧夏·銀川二中高一期中）已知函數，其中，均為實數.(1)若，且的定義域為，求的取值范圍；(2)若，是否存在實數，使得在區間內單調遞增？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.【解析】（1）當時，的定義域為,則，解得：；（2）當時，，函數拆分成內外層函數，，，若函數在區間內單調遞增，則內層函數在上單調遞減，并且，當時，在上單調遞減，并且，滿足條件，當時，需滿足下列條件則，解得：,綜上可知存在實數，的取值范圍是.【過關測試】一、單選題1．(2023·黑龍江·哈師大附中高一期中）函數的增區間為（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由得，解得，的開口向下，對稱軸為，函數在上遞減，根據復合函數單調性同增異減可知，的增區間為.故選：D2．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，因此，，，，，，即，故選：C．3．(2023·湖南·邵陽市第二中學高一期中）已知定義域為的奇函數滿足，，則不等式的解集為（）A． B．C． D．答案：B【解析】因為，所以，時，；當時，；因為函數是定義域為的奇函數，所以，時，；時，；時，.所以，的解集為.故選：B4．(2023·吉林·長春市第二實驗中學高一期中）已知的值域為R，那么實數a的取值范圍是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】當時，函數在上單調遞增，其取值集合為，而函數的值域為R，因此函數在上的取值集合包含，當時，函數在上的值為常數，不符合要求，當時，函數在上單調遞減，取值集合是，不符合要求，于是得，函數在上單調遞增，取值集合是，則，解得，所以實數a的取值范圍是.故選：A5．(2023·廣東·廣州市第一中學高一期中）已知函數，若對任意的，存在，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】對任意的，存在，使得，則，因為當時，單調遞增，所以，又因為當時，單調遞減，所以，所以由解得，故選：A.6．(2023·上海·高一專題練習）函數的反函數為，則的根有（）個A． B． C． D．答案：D【解析】因為，則.①當時，，令，解得；②當時，，令，解得.因此，方程的根有個.故選：D.7．(2023·廣東·深圳市龍崗區龍城高級中學高一期中）設滿足，滿足，則（

）A． B． C． D．答案：D【解析】根據題意，令，則，即，因為函數在上單調遞增，又滿足，所以，所以，即，所以.故選：D.8．(2023·江蘇省上岡高級中學高一期中）若在區間上是減函數，則實數a的取值范圍為（

）A． B．C． D．答案：A【解析】設，由題意得：在上恒成立，且由復合函數單調性“同增異減”原則可知：函數在上單調遞減，則有，解得：.故選：A二、多選題9．(2023·安徽·淮北一中高一期中）已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的定義域為 B．為奇函數C．在定義域上是增函數 D．的值域為答案：ABC【解析】的定義域為，又，所以為奇函數，故AB正確；，因為在為增函數，由復合函數的單調性可知在定義域上單調遞增，故C正確.因為函數定義域為.時，故的值域為，故D錯誤.故選：ABC.10．(2023·福建·三明一中高一期中）下列說法中正確的是（

）A．若函數是奇函數，則B．函數的值域為，則實數的取值范圍是C．函數與的圖象關于對稱D．函數與函數為同一函數答案：BC【解析】是奇函數，且在原點有定義，則，比如是奇函數，則無意義，故A錯誤，的值域為,則能夠取遍所有的正數，當滿足題意，當，則且，故，因此，故B正確，函數與互為反函數，故其圖象關于對稱，C正確，由于函數，，兩函數的對應關系不一樣，故不是同一函數，D錯誤，故選：BC11．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）已知函數，函數滿足．則（

）A．B．函數的圖象關于點對稱C．若實數a、b滿足，則D．若函數與圖象的交點為，則答案：ABC【解析】對于A選項，由函數，函數定義域為R，則所以，所以，故A選項正確.對于B選項，因為滿足，的圖象關于點成中心對稱.故B選項正確.對于C選項，設，則，則為奇函數，由函數單調性的性質可知，當時，單調遞增，所以在R上為增函數，則也為R上的增函數，因為實數a、b滿足，且，則，即，所以，即.故C選項正確.對于D選項，由，，的圖象關于點成中心對稱，的圖象也關于點成中心對稱，令，則，因為函數與圖象的交點為，不妨設，由對稱性可知，，所以，則.故D選項錯誤.故選：ABC12．(2023·浙江大學附屬中學高一期末）已知函數，，且，下列結論正確的是（

）A． B．C． D．答案：CD【解析】由題意得，且，則，故，故A錯誤，對于B，，而，故，故B錯誤，對于C，，故C正確，對于D，，故D正確，故選：CD三、填空題13．(2023·江蘇省上岡高級中學高一期中）已知函數，則函數的定義域為_________答案：【解析】因為，所以，解得，即的定義域為，對于，則，解得，所以的定義域為.故答案為：14．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為______.答案：【解析】在上單調遞增，，解得：，即實數的取值范圍為.故答案為：.15．(2023·四川·樹德中學高一階段練習）己知函數是偶函數，在區間內單調遞減，，則不等式的解集為__________．答案：【解析】因為函數是偶函數，關于軸對稱，向左平移1個單位后得函數，函數關于直線對稱，因為函數在區間內單調遞減，，所以函數在區間單調遞增，且,不等式等價于，即，解得：或；或，即，解集為；綜上可知，不等式的解集為.故答案為：16．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）已知，，若，，使得，則實數的最大值是______.答案：【解析】，，使得，；在上單調遞減，；在上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞增，；，解得：，則實數的最大值為.故答案為：.四、解答題17．(2023·山西·運城市景勝中學高一階段練習）已知.(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性并加以說明；(3)求使的的取值范圍.【解析】（1）由題意得函數要有意義則：故的定義域為.（2）為奇函數，理由如下：由（1）知的定義域關于原點對稱，由,所以故函數是奇函數．（3）由>0可得，所以，即解得，故求使>0的的取值范圍是(0,1).18．(2023·福建·三明一中高一期中）已知函數(1)求不等式的解集；(2)若對于任意恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）由，即計算可得或或故解集為：或；（2）令，則，原式可化為在上恒成立，記函數在上單調遞增，，故的取值范圍是.19．(2023·河南·鄭州外國語學校高一期中）設函數.(1)解方程；(2)設不等式的解集為，求函數的值域.【解析】（1），由得，解得或，所以或.所以方程的解是或；