2.1等式性質與不等式性質【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數的符號：任意，則（為正數）、或（為負數）三種情況有且只有一種成立.兩實數的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數相乘，積是正數符號語言：； ③兩個異號實數相乘，積是負數符號語言：④任何實數的平方為非負數，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數大小的法則：對任意兩個實數、①；②；③.對于任意實數、，，，三種關系有且只有一種成立.知識點詮釋：這三個式子實質是運用實數運算來比較兩個實數的大小關系.它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據.知識點二、不等式的性質不等式的性質可分為基本性質和運算性質兩部分基本性質有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質是不等式同解變形的依據.知識點三、比較兩代數式大小的方法作差法：任意兩個代數式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則（實質是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關系題型二：作差法比較兩數(式)的大小題型三：利用不等式的性質判斷命題真假題型四：利用不等式的性質證明不等式題型五：利用不等式的性質比較大小題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍【典型例題】題型一：用不等式(組)表示不等關系例1．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）鐵路乘車行李規定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規定用數學關系式可表示為（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M例2．（2022·貴州畢節·高一階段練習）某學生月考數學成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．例3．（2022·江蘇淮安·高一期中）某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．例4．（2022·全國·高一課時練習）請根據“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個不等式：______（設糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．例5．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）社會實踐活動是青年學生按照學校培養目標的要求，利用節假日等課余時間參與社會政治、經濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動，可以使學生豐富對國情的感性認識，加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執行黨的基本路線的自覺性；可以使學生在接觸實際的過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學校要建立社會實踐活動小組，小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男學生人數多于女學生人數；②女學生人數多于教師人數；③教師人數的兩倍多于男學生人數.若男學生人數為，則女學生人數的最小值為___________；若男學生人數未知，則該小組人數的最小值為___________.【方法技巧與總結】將不等關系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準不等式所聯系的量.(2)用適當的不等號連接.(3)多個不等關系用不等式組表示.題型二：作差法比較兩數(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．無法確定例7．（2022·全國·高一課時練習）若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．例8．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）已知，，則_______．（填“>”或“<”）例9．（2022·廣西·高一階段練習）（1）比較與的大小；（2）已知，求證：．例10．（2022·全國·高一課時練習）已知，試比較的大小.【方法技巧與總結】作差法比較大小的步驟題型三：利用不等式的性質判斷命題真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b為實數，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例12．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．例13．（2020·新疆師范大學附屬中學高一期末）若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<例14．（多選題）（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【方法技巧與總結】運用不等式的性質判斷真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質.(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.題型四：利用不等式的性質證明不等式例15．（2022·湖南·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．例16．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，求證：(1)；(2).例17．（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個不等式：①，②，③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，可組成幾個真命題？請證明你的結論.例18．（2022·全國·高一課時練習）若，則.(1)若存在常數，使得不等式對任意正數，恒成立，試求常數的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.【方法技巧與總結】對利用不等式的性質證明不等式的說明(1)不等式的性質是證明不等式的基礎，對任意兩個實數a，b有a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a<b.這是比較兩個實數大小的依據，也是證明不等式的基礎.(2)利用不等式的性質證明不等式，關鍵要對性質正確理解和運用，要弄清楚每一條性質的條件和結論，注意條件的加強和減弱、條件和結論之間的相互聯系.(3)比較法是證明不等式的基本方法之一，是實數大小比較和實數運算性質的直接應用.題型五：利用不等式的性質比較大小例19．（2022·內蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則例20．（2022·內蒙古·赤峰市元寶山區第一中學高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．例21．（多選題）（2022·江蘇·揚州大學附屬中學高一期中）已知，，下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．例22．（多選題）（2022·廣東·小欖中學高一階段練習）對于實數，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則例23．（多選題）（2022·貴州貴陽·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例24．（多選題）（2022·廣東·深圳科學高中高一期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則【方法技巧與總結】注意點：①記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用；②應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍例25．（2020·廣東·新會陳經綸中學高一期中）已知，，則的取值范圍是例26．（2022·徐州市第三十六中學（江蘇師范大學附屬中學）高一階段練習）已知，則的取值范圍為例27．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例28．（2020·浙江臺州·高一期中）已知且，則的取值范圍是例29．（多選題）（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高一階段練習）已知實數x，y滿足，則（

）A． B． C． D．例30．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知且滿足，則的取值范圍是例31．（2022·福建·廈門市國祺中學高一期中）若，，，則t的取值范圍為______．例32．（2022·全國·高一期中）已知，且，則的取值范圍是___________.例33．（2022·湖北·車城高中高一階段練習）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.例34．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學高一階段練習）設，，求，，的范圍.【方法技巧與總結】利用不等式的性質求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分別求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對應某個字母變量或代數式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數量關系，然后去求．注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍.【同步練習】一、單選題1．（2022·山西師范大學實驗中學高二階段練習）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．2．（2022·寧夏·銀川二中高二期中（理））已知且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．3．（2022·湖北·隨州市曾都區第一中學高一階段練習）已知實數，滿足，，則可能取的值為（

）A． B．0 C． D．4．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二期中（文））若a是實數，，，則P，Q的大小關系是（

）A． B．C． D．由a的取值確定5．（2022·重慶八中高三階段練習）若a，b都是非零實數，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．6．（2022·北京·北師大實驗中學高二期中）古希臘時期，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個比值稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（

）（參考數據：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米7．（2020·湖北·襄陽市第二十四中學高一階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則8．（2022·陜西·西安中學高二期末（文）），，，，設，則下列判斷中正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·海南中學高三階段練習）若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若且，則 D．10．（2022·廣東佛山·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則11．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高一開學考試）若實數a，b，c，d滿足，則以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．12．（2022·安徽·涇縣中學高一階段練習）已知實數滿足，且，記，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題13．（2022·新疆·莎車縣第一中學高二期中（文））設，，，則，，的大小關系__________．14．（2022·全國·高三專題練習）若，，設，則的最小值為__．15．（2020·上海市晉元高級中學高一期中）給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對于正數，若，則.其中真命題的序號是__________.16．（2022·全國·高一課前預習）已知，，且，記，，，則按從小到大的順序排列是________.四、解答題17．（2022·河南·濮陽市油田第二高級中學高二階段練習（文））（1），，其中x，y均為正實數，比較a，b的大小；（2）證明：已知，且，求證：.18．（2022·湖南·高一課時練習）回答下列問題：(1)若，且，能否判斷與的大小？舉例說明．(2)若，且，能否判斷與的大??？舉例說明．(3)若，且，能否判斷與的大??？舉例說明．(4)若，，且，，能否判斷與的大??？舉例說明．19．（2022·湖南·高一課時練習）求證：(1)若，且，則；(2)若，且，同號，，則；(3)若，且，則．20．（2022·全國·高一課前預習）某人有樓房一幢，室內面積共，擬分割成大、小兩類房間作為旅游客房，大房間面積為，可住游客5人，每名游客每天住宿費40元；小房間每間面積為，可住游客3人，每名游客每天住宿費50元；裝修大房間每間需要1000元，裝修小房間每間需要600元，如果他只能籌款8000元用于裝修，試寫出滿足上述所有不等關系的不等式.21．（2022·安徽·涇縣中學高一階段練習）（1）已知，求的取值范圍；（2）已知一桶食鹽水中含有克食鹽，克水，再在桶中添加克食鹽和克水（假設食鹽全部溶解，食鹽水沒有溢出）.請判斷當滿足什么樣的關系式時，食鹽水的濃度變大？變??？不變？22．（2022·北京石景山·高一期末）若實數，，滿足，則稱比遠離.(1)若比遠離，求實數的取值范圍；(2)若，，試問：與哪一個更遠離，并說明理由.2.1等式性質與不等式性質【知識點梳理】知識點一、符號法則與比較大小實數的符號：任意，則（為正數）、或（為負數）三種情況有且只有一種成立.兩實數的加、乘運算結果的符號具有以下符號性質：①兩個同號實數相加，和的符號不變符號語言：；②兩個同號實數相乘，積是正數符號語言：； ③兩個異號實數相乘，積是負數符號語言：④任何實數的平方為非負數，0的平方為0符號語言：，.比較兩個實數大小的法則：對任意兩個實數、①；②；③.對于任意實數、，，，三種關系有且只有一種成立.知識點詮釋：這三個式子實質是運用實數運算來比較兩個實數的大小關系.它是本章的基礎，也是證明不等式與解不等式的主要依據.知識點二、不等式的性質不等式的性質可分為基本性質和運算性質兩部分基本性質有：(1)對稱性：(2)傳遞性：(3)可加性：(c∈R)(4)可乘性：a>b，運算性質有：(1)可加法則：(2)可乘法則：(3)可乘方性：知識點詮釋：不等式的性質是不等式同解變形的依據.知識點三、比較兩代數式大小的方法作差法：任意兩個代數式、，可以作差后比較與0的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.作商法：任意兩個值為正的代數式、，可以作商后比較與1的關系，進一步比較與的大小.①；②；③.中間量法：若且，則（實質是不等式的傳遞性）.一般選擇0或1為中間量.【題型歸納目錄】題型一：用不等式(組)表示不等關系題型二：作差法比較兩數(式)的大小題型三：利用不等式的性質判斷命題真假題型四：利用不等式的性質證明不等式題型五：利用不等式的性質比較大小題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍【典型例題】題型一：用不等式(組)表示不等關系例1．（2022·湖南·衡陽市田家炳實驗中學高一階段練習）鐵路乘車行李規定如下：乘動車組列車攜帶品的外部尺寸長、寬、高之和不超過Mcm.設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別為a、b、c（單位：cm），這個規定用數學關系式可表示為（

）A．a+b+c≤M B．a+b+c>M C．a+b+c≥M D．a+b+c<M【答案】A【解析】【分析】根據長、寬、高的和不超過Mcm可直接得到關系式.【詳解】長、寬、高之和不超過Mcm，.故選：A.例2．（2022·貴州畢節·高一階段練習）某學生月考數學成績x不低于100分，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分，用不等式組表示為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用題設條件即得.【詳解】數學成績不低于100分表示為，英語成績y和語文成績z的總成績高于200分且低于240分表示為，即.故選：D.例3．（2022·江蘇淮安·高一期中）某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案為一次性投資萬；方案為第一年投資萬，以后每年投資萬.下列不等式表示“經過年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由不等關系求解即可.【詳解】經過年之后，方案的投入為，故經過年之后，方案的投入不大于方案的投入，即故選：D例4．（2022·全國·高一課時練習）請根據“糖水加糖變得更甜了”提煉出一個不等式：______（設糖水為a克，含糖為b克，加入的糖為m克）．【答案】【解析】【分析】克糖水中有克糖，若再添克糖，濃度發生了變化，只要分別計算出添糖前后的濃度進行比較即得．【詳解】克糖水中有克糖，糖水的濃度為：；克糖水中有克糖，若再添克糖，則糖水的濃度為，又糖水變甜了，說明濃度變大了，，，，，.故答案為：，例5．（2022·遼寧葫蘆島·高一期末）社會實踐活動是青年學生按照學校培養目標的要求，利用節假日等課余時間參與社會政治、經濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動，可以使學生豐富對國情的感性認識，加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執行黨的基本路線的自覺性；可以使學生在接觸實際的過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學校要建立社會實踐活動小組，小組由學生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男學生人數多于女學生人數；②女學生人數多于教師人數；③教師人數的兩倍多于男學生人數.若男學生人數為，則女學生人數的最小值為___________；若男學生人數未知，則該小組人數的最小值為___________.【答案】

【解析】【分析】設男學生、女學生、教師的人數分別為、、，可得出，當時，討論的取值，結合不等式的性質可求得的最小值；當的值未知時，討論的取值，結合不等關系可求得的最小值.【詳解】設男學生、女學生、教師的人數分別為、、，則.若，則，可得，則，當時，取最小值，即男學生人數為，則女學生人數的最小值為；若的值未知，當時，則，不滿足題意，當時，則，不合乎題意，當時，則，此時，，則，合乎題意.故當男學生人數未知，則該小組人數的最小值為.故答案為：；.【方法技巧與總結】將不等關系表示成不等式(組)的思路(1)讀懂題意，找準不等式所聯系的量.(2)用適當的不等號連接.(3)多個不等關系用不等式組表示.題型二：作差法比較兩數(式)的大小例6．（2022·安徽·高一期中）已知，，，則的大小關系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】【分析】作差可得x-y的表達式，根據題意，分析可得x-y的正負，即可得答案.【詳解】，因為，所以，又，所以，即.故選：B例7．（2022·全國·高一課時練習）若，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根據不等式的性質，對選項逐一判斷【詳解】對于A，，因為，故，即，故A錯；對于B，不確定符號，取則，故B錯誤；對于C，，因為，故，即，故C正確；對于D，，因為，故，即，故D錯誤．故選：C例8．（2022·新疆克孜勒蘇·高一期中）已知，，則_______．（填“>”或“<”）【答案】<【解析】【分析】作差判斷正負即可比較.【詳解】因為，所以.故答案為：<.例9．（2022·廣西·高一階段練習）（1）比較與的大小；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）求差法進行大小比較即可；（2）求差法去證明即可解決.【詳解】（1）由，可得．（2），∵，∴，，，∴，∴．例10．（2022·全國·高一課時練習）已知，試比較的大小.【答案】【解析】【分析】應用作差法：，結合已知條件，即可確定大小關系.【詳解】∵∴，即.【方法技巧與總結】作差法比較大小的步驟題型三：利用不等式的性質判斷命題真假例11．（2022·四川成都·高一期末（文））若a，b為實數，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】【分析】據特值可說明ABC不正確；根據不等式的性質可得D正確.【詳解】對于A，當時，滿足，不滿足，故A不正確；對于B，當時，滿足，不滿足，故B不正確；對于C，當時，滿足，不滿足，故C不正確；對于D，若，則，故D正確.故選：D.例12．（2022·陜西·咸陽市高新一中高一期中）如果，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】舉例判斷A，B，D錯誤，再證明C正確.【詳解】由已知可取，則，A錯，，B錯，，，D錯，因為，所以所以，故，C對，故選：C.例13．（2020·新疆師范大學附屬中學高一期末）若，則下列說法正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則<【答案】C【解析】【分析】對于AB，舉例判斷，對于CD，利用不等式的性質判斷【詳解】對于A，若，則，所以A錯誤，對于B，若，則，所以B錯誤，對于C，因為，所以由不等式的性質可得，所以C正確，對于D，因為，所以，所以，即，所以D錯誤，故選：C例14．（多選題）（2022·湖北·測試·編輯教研五高一階段練習）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加，即可證明；對于B、C：利用不等式的可乘性可以證明；對于D：取特殊值即可否定結論.【詳解】對于A：因為，所以.因為，利用同向不等式相加，則有.故A正確；對于B：因為，所以，所以，對兩邊同乘以，則有.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.對兩邊同乘以，有，所以.故C正確；對于D：取，滿足，但是，所以不成立.故D錯誤.故選：ABC【方法技巧與總結】運用不等式的性質判斷真假的技巧(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質.(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.題型四：利用不等式的性質證明不等式例15．（2022·湖南·高一課時練習）利用不等式的性質證明下列不等式：(1)若，，則；(2)若，，則．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）可知，而，即可得證；（2）可知，而，即可得證；(1)證明：，，又，；(2)證明：，，又，．例16．（2022·全國·高一課時練習）已知，，，求證：(1)；(2).【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據不等式的性質證明即可；（2）結合（1）和不等式的性質求解.(1)證明：因為，，所以所以；(2)證明：由（1）得，又，所以.例17．（2022·全國·高一課時練習）已知下列三個不等式：①，②，③，以其中兩個作為條件，余下一個作為結論，可組成幾個真命題？請證明你的結論.【答案】3個，證明見解析.【解析】【分析】先寫出組成的命題，然后結合不等式的性質進行證明.【詳解】可以組成3個真命題.（1）若，，則.證明：因為，，所以，即.（2）若，，則.證明：因為，，所以，即.（3）若，，則.證明：因為，，所以.例18．（2022·全國·高一課時練習）若，則.(1)若存在常數，使得不等式對任意正數，恒成立，試求常數的值，并證明不等式：；(2)證明不等式：.【答案】(1)，證明見解析；(2)證明見解析.【解析】【分析】(1)令即可求解，利用不等式性質即可證明不等式；(2)從原不等式入手，對原不等式變形，通過分類討論與之間的大小關系即可證明.【詳解】證明：(1)當時，，故，由，且，利用不等式性質可得，；(2)欲證，只需證明，即，①當時，顯然不等式成立，②當時，不妨令，即，故，由于，顯然成立，故原不等式成立；同理，當時，原不等式也成立.綜上所述，對于任意，，均成立.【方法技巧與總結】對利用不等式的性質證明不等式的說明(1)不等式的性質是證明不等式的基礎，對任意兩個實數a，b有a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a<b.這是比較兩個實數大小的依據，也是證明不等式的基礎.(2)利用不等式的性質證明不等式，關鍵要對性質正確理解和運用，要弄清楚每一條性質的條件和結論，注意條件的加強和減弱、條件和結論之間的相互聯系.(3)比較法是證明不等式的基本方法之一，是實數大小比較和實數運算性質的直接應用.題型五：利用不等式的性質比較大小例19．（2022·內蒙古·赤峰二中高一階段練習（理））下列命題正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】D【解析】【分析】由不等式性質依次判斷各個選項即可.【詳解】對于A，若，由可得：，A錯誤；對于B，若，則，此時未必成立，B錯誤；對于C，當時，，C錯誤；對于D，當時，由不等式性質知：，D正確.故選：D.例20．（2022·內蒙古·赤峰市元寶山區第一中學高一期中）若，則下列不等式不能成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據條件，結合結合不等式性質判斷A，B，C正確，再舉例說明D錯誤..【詳解】因為，所以，，，，又，所以，所以成立，，所以，，所以，取可得，，，所以不成立，故選：D.例21．（多選題）（2022·江蘇·揚州大學附屬中學高一期中）已知，，下列不等式中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據不等式性質及特殊值判斷即可.【詳解】對于A，由不等式性質，可得，正確；對于B，時，顯然不成立，故錯誤；對于C，時，，故錯誤；對于D，由可得，所以，即，故正確.故選：AD例22．（多選題）（2022·廣東·小欖中學高一階段練習）對于實數，下列命題正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，，則【答案】BD【解析】【分析】A特殊值法判斷；B由結合不等式性質判斷；C作差法判斷；D由或時的大小情況判斷.【詳解】A：當時，不成立，錯誤；B：由，有，則，正確；C：由，則，錯誤；D：若或，有，與題設矛盾，故，正確.故選：BD例23．（多選題）（2022·貴州貴陽·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AB【解析】【分析】對于A：利用同向不等式相加可以證明；對于B：利用同向不等式相乘可以證明；對于C：利用不等式的可乘性可以判斷；對于D：取特殊值可以判斷.【詳解】對于A：因為，所以，利用同向不等式相加可以得到：.故A正確；對于B：因為，所以，又因為，利用同向不等式相乘可以得到：，所以.故B正確；對于C：因為，所以.因為，所以.故C錯誤；對于D：取特殊值滿足，但是，，所以.故D錯誤.故選：AB例24．（多選題）（2022·廣東·深圳科學高中高一期中）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，，則C．，則 D．若，則【答案】ABC【解析】【分析】根據不等式的性質判斷AD，結合作差法比較大小判斷BC.【詳解】解：對于A選項，因為，故，故，正確；對于B選項，由于，，故，，故，即，正確；對于C選項，由于，故，故，即，正確；對于D選項，當時，，故錯誤.故選：ABC【方法技巧與總結】注意點：①記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用；②應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則題型六：利用不等式的基本性質求代數式的取值范圍例25．（2020·廣東·新會陳經綸中學高一期中）已知，，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】根據不等式的性質即可求解.【詳解】解：因為，，所以，，所以，例26．（2022·徐州市第三十六中學（江蘇師范大學附屬中學）高一階段練習）已知，則的取值范圍為【答案】【解析】【分析】由不等式的性質求解【詳解】，故，，得例27．（2022·吉林延邊·高一期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求的范圍，再根據不等式的性質，求的范圍.【詳解】因為，所以，由，得.故選：A.例28．（2020·浙江臺州·高一期中）已知且，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】由已知條件推導出，，再由得出，由得出，結合不等式的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】，，則，，，則，由得，則，即，即，又，，因此，的取值范圍是.例29．（多選題）（2022·新疆·烏魯木齊市第70中高一階段練習）已知實數x，y滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】由題意結合不等式的性質求解即可【詳解】對于A：因為，所以，則，即，故A正確；對于B：又，，所以，即，故B正確；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：ABD例30．（2022·四川省瀘縣第二中學模擬預測（文））已知且滿足，則的取值范圍是【答案】【解析】【分析】設，求出結合條件可得結果.【詳解】設，可得，解得，，因為可得，所以.例31．（2022·福建·廈門市國祺中學高一期中）若，，，則t的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】設，然后求出x,y，進而根據不等式的性質求出答案.【詳解】設，則，解得．因為，，所以，即．故答案為：.例32．（2022·全國·高一期中）已知，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】設，利用待定系數法求出的值，再由不等式的性質計算和的范圍，即可得的范圍，再兩邊同時除以即可求解.【詳解】由可得：，令，整理可得：，所以，解得：，所以，將兩邊同時乘以，可得，①將兩邊同時乘以，可得，②兩式相加可得：，即，因為，所以例33．（2022·湖北·車城高中高一階段練習）（1）已知，，求和的取值范圍；（2）已知，，求的取值范圍.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據不等式的性質求解（2）由待定系數法配湊后求解【詳解】（1），又，，又，（2）設，得即而，例34．（2022·湖北·武漢市鋼城第四中學高一階段練習）設，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據不等式的基本性質，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．【方法技巧與總結】利用不等式的性質求取值范圍的策略建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍.如已知20＜x＋y＜30，15＜x－y＜18，要求2x＋3y的范圍，不能分別求出x，y的范圍，再求2x＋3y的范圍，應把已知的“x＋y”“x－y”視為整體，即2x＋3y＝eq\f(5,2)(x＋y)－eq\f(1,2)(x－y)，所以需分別求出eq\f(5,2)(x＋y)，－eq\f(1,2)(x－y)的范圍，兩范圍相加可得2x＋3y的范圍．“范圍”必須對應某個字母變量或代數式，一旦變化出其他的范圍問題，則不能再間接得出，必須“直來直去”，即直接找到要求的量與已知的量間的數量關系，然后去求．注意同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，就有可能擴大其取值范圍.【同步練習】一、單選題1．（2022·山西師范大學實驗中學高二階段練習）若，且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據不等式的性質判斷各選項．【詳解】A顯然錯誤，例如，；時，由得，B錯；，但時，，C錯；，又，所以，D正確．故選：D．2．（2022·寧夏·銀川二中高二期中（理））已知且，則下列不等式中一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性質證明，或者構造反例說明，即可得解.【詳解】由題意可知，a、b、，且A：若，滿足，則，故A錯誤；B：若，滿足，則，故B錯誤；C：若，則，故C錯誤；D：，故D正確.故選：D3．（2022·湖北·隨州市曾都區第一中學高一階段練習）已知實數，滿足，，則可能取的值為（

）A． B．0 C． D．【答案】C【解析】【分析】令，根據，求得的值，結合不等式的性質，即可求解.【詳解】由題意，實數，滿足，，令，即，可得，解得，所以，則，，所以.故選：C.4．（2022·河南·夏邑第一高級中學高二期中（文））若a是實數，，，則P，Q的大小關系是（

）A． B．C． D．由a的取值確定【答案】A【解析】【分析】由題可得，，進而比較與即可.【詳解】顯然P，Q都是正數，又，，若a是負數，則，，所以；若a是非負數，則，，所以．綜上所述，．故選：A．5．（2022·重慶八中高三階段練習）若a，b都是非零實數，滿足，且，則下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】依題意可得，再利用作差法得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：因為且，所以，，所以，故C正確，D錯誤；若，則，又，則，若，則，又，無法判斷與的大小關系，故A、B錯誤；故選：C6．（2022·北京·北師大實驗中學高二期中）古希臘時期，人們把寬與長之比為的矩形稱為黃金矩形，把這個比值稱為黃金分割比例.如圖為希臘的一座古建筑，其中圖中的矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，若M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，則該古建筑中A與B間的距離可能是（

）（參考數據：，，，，，）A．30.3米 B．30.1米 C．29.2米 D．27.4米【答案】D【解析】【分析】根據題意設設米，，從而表示出M與K間的距離、C與F間的距離，列出不等式求解后比較各選項即可.【詳解】設米，，因為矩形ABCD，EBCF，FGHC，FGJI，LGJK，MNJK均為黃金矩形，所以，，又因為M與K間的距離超過1.5米，C與F間的距離小于11米，所以，解得，比較各選項可知該古建筑中A與B間的距離可能是27.4米.故選：D7．（2020·湖北·襄陽市第二十四中學高一階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】C【解析】【分析】根據不等式的基本性質及特殊值一一判斷即可．【詳解】解：對于A：當，，，，滿足，，但是，故A錯誤；對于B：當時，故B錯誤；對于C：由，所以，因為，所以，故C正確；對于D：當，滿足，但是，故D錯誤；故選：C8．（2022·陜西·西安中學高二期末（文）），，，，設，則下列判斷中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】通過湊配構造的方式，構造出新式子，且可以化簡為整數，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D二、多選題9．（2022·海南中學高三階段練習）若a，b，，則下列命題正確的是（

）A．若且，則 B．若，則C．若且，則 D．【答案】BCD【解析】【分析】由不等式的性質逐一判斷即可.【詳解】解：對于A，當時，結論不成立，故A錯誤；對于B，等價于，又，故成立，故B正確；對于C，因為且，所以等價于，即，成立，故C正確；對于D，等價于，成立，故D正確.故選：BCD.10．（2022·廣東佛山·模擬預測）下列命題為真命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則【答案】AD【解析】【分析】A．由不等式的性質判斷；B.舉例判斷；C.由判斷；D.作差判斷.【詳解】A．由不等式的性質可知同向不等式相加，不等式方向不變，故正確；B.當時，，故錯誤；C.當時，故錯誤；D.，因為，，，所以，故正確；故選：AD11．（2022·黑龍江·大慶外國語學校高一開學考試）若實數a，b，c，d滿足，則以下不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】【分析】根據所給條件，結合不等式的性質判斷各選項的正誤即可.【詳解】由且，則，A正確；由且，則，B正確；當時，有，C錯誤；由且，則，又，故，D正確.故選：ABD12．（2022·安徽·涇縣中學高一階段練習）已知實數滿足，且，記，，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據給定條件，分析、計算判斷選項A，D；取特值計算判斷選項B，C作答.【詳解】因實數滿足，且，則，A正確；取，則，此時，即B，C都不正確；，，又，即，則有，D正確.故選：AD三、填空題13．（2022·新疆·莎車縣第一中學高二期中（文））設，，，則，，的大小關系__________．【答案】【解析】【分析】依題意可得，，即可得到，再由，，即可得到，從而得解；【詳解】解：因為，，因為，所以，所以，而，而，所以，所以．故答案為：14．（2022·全國·高三專題練習）若，，設，則的最小值為__．【答案】##【解析】【分析】將化簡可得，由此即可求出結果.【詳解】因為．當且僅當，時取等號．所以的最小值為．故答案為：．15．（2020·上海市晉元高級中學高一期中）給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③對于正數，若，則.其中真命題的序號是__________.【答案】①.【解析】【分析】根據不等式的性質結合題設條件逐一證明即可.【詳解】因為，，所以，即，故①正確；若，則，故②錯誤；若，則，所以，所以，又，所以，故③錯誤；綜上，真命題的序