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專題特訓拋物線與幾何圖形的最值問題類型一

拋物線與線段的最值問題1.（2023·武威改編）如圖①，拋物線y＝－x2＋bx與x軸交于點O，A，與直線y＝－x交于點O，B（4，－4），點C（0，－4）在y軸上.（第1題）1234（1）

求拋物線對應的函數表達式.解：（1）

∵

拋物線y＝－x2＋bx過點B（4，－4），∴

－16＋4b＝－4，解得b＝3.∴

拋物線對應的函數表達式為y＝－x2＋3x.（2）

如圖②，點P從點B出發，沿線段BO的方向勻速運動，到點O時停止運動，另有一點Q從點O同時出發，以與點P相同的速度沿x軸正方向勻速運動，點P停止運動時點Q也停止運動.連接BQ，PC，求CP＋BQ的最小值.

12342.（2022·常德）如圖，拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為直線x＝2.（1）

求拋物線對應的函數表達式.解：（1）

∵

拋物線過點O（0，0），且它的對稱軸為直線x＝2，∴

拋物線與x軸的另一個交點的坐標為（4，0）.設拋物線對應的函數表達式為y＝ax（x－4）（a≠0）.把A（5，5）代入，得5a＝5，解得a＝1.∴

y＝x（x－4）＝x2－4x.∴

拋物線對應的函數表達式為y＝x2－4x.（第2題）1234（2）

若B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限，當△OAB的面積為15時，求點B的坐標.

（第2題）1234（3）

在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當PA－PB的值最大時，求點P的坐標以及PA－PB的最大值.

（第2題）1234類型二

拋物線與面積的最值問題3.（2022·廣東）如圖，拋物線y＝x2＋bx＋c（b，c是常數）的頂點為C，與x軸交于A（1，0），B兩點（點B在點A的左側），AB＝4，連接AC，BC，P為線段AB上的動點，過點P作PQ∥BC交AC于點Q，連接PC.求：（1）

拋物線對應的函數表達式.

（第3題）1234（2）

△CPQ面積的最大值及此時點P的坐標.

（第3題）12344.（2023·荊州）已知y關于x的函數y＝（a－2）x2＋（a＋1）x＋b.（1）

若函數的圖象與坐標軸有兩個公共點，且a＝4b，則a的值是

2或0或－?.（2）

如圖，若函數的圖象為拋物線，與x軸交于點A（－2，0），B（4，0），與y軸交于點C，并與動直線l：x＝m（0＜m＜4）交于點P，連接PA，PB，PC，BC，其中PA交y軸于點D，交BC于點E.設△PBE的面積為S1，△CDE的面積為S2.

（第4題）1234①

當P為拋物線的頂點時，求△PBC的面積.

（第4題答案）（第4題答案）12

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