第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題第2課時空間中的夾角問題學習目標素養要求1.理解線線、線面、面面夾角的向量表示直觀想象、抽象數學2.會用向量方法求直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角直觀想象、數學運算|自學導引|

空間三種角的向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設兩異面直線所成的角為θ，它們的方向向量為a，b，則cosθ＝____________＝__________________|cos〈a，b〉|

角的分類向量求法范圍直線與平面所成的角設直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則sinθ＝____________＝__________________二面角設二面角α－l－β為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則|cosθ|＝_____________＝__________________|cos〈a，n〉|

|cos〈n1，n2〉|

[0，π]

1．思維辨析(對的畫“√”，錯的畫“×”)(1)兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.(

)(2)直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角的余角就是直線l與平面α所成的角． (

)(3)二面角α－l－β的大小為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2則θ＝〈n1，n2〉． (

)【答案】(1)×

(2)×

(3)×【預習自測】【答案】A3．已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為 (

)A．45° B．135°C．45°或135° D．90°【答案】C|課堂互動|題型1異面直線所成的角

(2)(2023年通化檢測)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，∠ACB＝90°，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為________.(3)用坐標法求異面直線的夾角的方法①建立恰當的空間直角坐標系；②找到兩條異面直線的方向向量的坐標形式；③利用向量的夾角公式計算兩直線的方向向量的夾角；④結合異面直線所成角的范圍得到異面直線所成的角．1．如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB＝4，求異面直線AQ與PB所成角的余弦值．題型2直線與平面所成的角如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠APB＝90°．(1)求證：AP⊥PC；(2)設AB＝5，AP＝BC＝2AD＝4，求直線CB與平面PCD所成角的正弦值．(1)證明：因為平面PAB⊥底面ABCD，∠ABC＝90°，所以BC⊥平面PAB，則BC⊥AP．又因為AP⊥PB，且PB∩BC＝B，故AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC．圖1

圖2

利用坐標法求二面角的步驟設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則向量n1與n2的夾角(或其補角)就是兩個平面夾角的大小，如圖．3．如圖，已知四棱錐S－ABCD，SD＝SB，在平行四邊形ABCD中，AD＝CD，Q為SC上的點，過AQ的平面分別交SB，SD于點E，F，且BD∥平面AEQF．(1)證明：如圖1，連接AC交BD于點O，因為四邊形ABCD為平行四邊形，且AD＝CD，所以四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD．因為BD∥平面AEQF，平面AEQF∩平面SBD＝EF，BD?平面SBD，所以BD∥EF．因為BD⊥AC，所以EF⊥AC．圖1圖2

審題指導：(1)要證明DE⊥平面ACD，需要證明DE與平面ACD內兩條相交直線垂直，其中DE⊥DC較明顯，由平面ABC⊥平面BCDE，且AC⊥BC，證得AC⊥平面BCDE，從而DE⊥AC．(2)要求二面角B－AD－E的大小，可先以D為原點建系，再求出平面ADE和平面ABD的法向量，最后由公式計算二面角的大小．【題后悟道】1．利用條件建立空間直角坐標系充分利用題干中的垂直關系建立空間直角坐標系，使幾何體的頂點盡量多地落在坐標軸上，建系或在求點的坐標時用到的位置關系和數量關系要進行必要的說明，如本例中，AC⊥平面BCDE，不僅用于證明AC⊥DE，還為求點A的坐標提供依據．|素養達成|2．向量法求直線與平面所成角的原理1．(題型2)若直線l的方向向量與平面α的法向量的夾角等于120°，則直線l與平面α所成的角等于 (

)A．120° B．60°C．30° D．以上均錯【答案】C【解析】由直線與平面所成的角的范圍及與向量所成角的關系知直線l與平面α所成的角等于90°－(180°－120°)＝30°．2．(題型3)已知兩平面的法向量分別為m＝(0，1，0)，n＝(0，1，1)，則兩平面所成的二面角的大小為

(

)A．45° B．135°C．9