代數方程的求解及網格生成知識點：

1代數方程組的求解網格生成2知識回顧：有限體積法基本流程無粘項常用方法（流過AB邊的通量）：a.利用周圍點的值，計算出(I+1/2,J)點處的物理量；

直接利用“差分格式”b.利用該處的物理量，計算出流過AB邊的流通量

迎風型方法需利用“通量分裂技術”FVS類：FDS類：利用Riemann解Reimann解：Godunov,Roe,HLL,HLLC利用坐標變換，轉化為一維Riemann問題i,ji-1,ji+1,ji,j+1i,j+1知識回顧：隱格式代數方程組的求解4微分方程（組）代數方程組數值解（離散解）差分有限體積大部分計算量9.1.1Gauss消去法消元為了計算穩定，通常使用主元消去法列主元消去法；全主元消去法計算量：乘法：

加法：9.1代數方程組求解的直接法優點：簡單精確，缺點：計算量大上三角矩陣59.1.2LU分解法……00Step1Step2Stepk對角線上不能有0，計算之前先交換矩陣A的元素，將主值交換到對角線上6回代過程計算量：分解O(n3/3),回代O(n2)優點：1）重復求解，……時，僅需一次LU分解，計算量小；2）LU分解不破壞帶狀稀疏矩陣的性質，可大幅減小計算量。L帶寬的帶狀矩陣：LU分解:O(nL)回代：O(nL)79.1.3帶狀矩陣求解的追趕法追趕法：等價于帶狀矩陣的LU分解例：三對角矩陣一般項：邊界項：追趕法令：Step1:Step2:

Step3:Step4:

計算量：9n次（乘法）A為固定值時，3n次（乘法）簡單易用，計算量小89.2代數方程組求解的迭代法直接法迭代法優點算法簡便，準確（未知數少時）計算量小，誤差容易控制缺點計算量大O(n3)舍入誤差積累，不易控制快速收斂的算法設計較為復雜9.2.1Jocabi及Gauss-Seidel迭代解出對角元素Jocabi迭代Gauss-Seidel迭代“對角占優”99.2.2松弛迭代——超松弛（SOR）、亞松弛Step1:采用Jocabian或Gauss-Seidel迭代產生新的值Step2:進行松弛含義：改變步長超松弛精確解“步子邁大一些”，加快收斂亞松弛“步子邁小一些”，穩定性好收斂性：

對角占優矩陣，Jocabian及Gauss-Seidel迭代可收斂10舉例：Laplace方程的求解五點格式Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代缺點:每迭代一步，信息只傳遞到周圍網格點，n很大時收斂較慢n+1nnnnn+1nn+1n+111對稱Gauss-Seidel迭代（SGS）n+1nn+1n+1n+1nnnn+1n+1Step1Step2特點：兩次掃描，反復迭代129.2.3交替方向迭代（ADI）方法例：Step1:認為已知（使用上一步的值），求解三對角方程,得到中間步的值Step2:代入中間步的值，求解三對角方程，得到n+1步的值

三對角方程采用追趕法求解，效率較高在每一條線上采用直接法，信息快速傳遞，有利于收斂Step3:重復以上兩個步驟，直至收斂因追趕法實際上是LU分解法，因此又稱LU-ADI方法n+1n+1n+1nn+1n+1n+1nnn139.2.4近似解法——LU-SGS方法

SGS方法信息傳遞速度仍較慢，需要加速

近似LU分解Step1:Step2:優點：不含任何迭代過程，兩步掃描即可完成，效率很高；缺點：近似LU分解，結果不夠準確OK，

不迭代是LU分解的SGS方法，因此成為LU-SGS近似解法149.2.5加速收斂的多重網格法Gauss-Seidel迭代含義：線性系統，誤差滿足同樣的方程定義誤差：1）收斂速度的Fourier分析增長（收斂）因子含義：極端高波數情況迭代一次，誤差減小一半極端低波數情況收斂速度趨近于015策略：多重網格——粗網格加速低波數擾動收斂，細網格加速高波數收斂細網格粗網格使用多重網格法求解方程：迭代方程：以Jacobian迭代為例修正方程Step1:在細網格上迭代一定步數（無需收斂），得到中間步的值Step2:將修正項插值到粗網格上，并迭代求解Step3:將求解后的修正項插值到細網格，并計算出細網格上新的值Step4:重復Step1-3直到收斂修正項16常用方法：V型及W型迭代細網格粗網格更粗網格細網格粗網格更粗網格V型迭代W型迭代179.2.6共軛梯度法1.求解對稱正定矩陣的共軛梯度法化代數方程組問題為極值問題（設A為對稱正定矩陣）的最小值問題可用最速下降法之類方法求解例：的分布最小值點（0,1）18求極值問題的最速下降法思路：沿當地梯度方向前進1）根據當前位置，計算當地梯度方向：

2）沿該方向前進，使得達到極小值方向步長“殘余向量”特點：沿當地梯度方向前進，直到不能前進為止，然后以按照新的梯度方向前進；相鄰路徑方向正交；缺點：局部最速下降路線并非全局最速下降路線，因而收斂速度并非最優。“最速下降法”示意圖19最速下降法的改進：共軛梯度法最速下降法：每步在一維空間求最優解：改進：在二維空間尋求最優解（不再沿當地梯度方向）舊路徑方向及當前梯度方向所張成的二維空間尋找該平面內的極小值解出新線路：修正最終得：特點：相鄰兩次方向關于矩陣A正交（稱為共軛）。202.求解一般非奇異方程組的共軛梯度法A為一般滿秩陣（非對稱正定陣）的情況正則化方法：對稱正定陣Step1:設置初值

Step2:迭代推進直到殘余向量足夠小為止219.3代數網格生成法基本思路：通過代數方程計算出網格點的位置優點：靈活、計算量小缺點：光滑性差，過于依賴人工如圖：葉柵通道已知計算域上邊界（紅線）及下邊界（藍線）的方程為：和則網格為：其中可控制法向的疏密分布均勻分布；在下壁面處密集分布上下壁面兩側加密229.4橢圓形方程網格生成法ABCDEFA’B’C’D’E’F’對于如圖單聯通的計算域，可通過坐標變換變換到圖示矩形計算域物理空間邊界

計算空間邊界物理空間內點計算空間內點物理空間計算空間通常：給定邊界點的對應關系（代數方法）

通過求解方程獲得內點的對應關系方程的邊值問題橢圓型方程

邊值問題拋物型方程雙曲型方程初邊值問題橢圓型方程23通常：或含義：給物理空間的每個點找到計算空間的對應位置。注：

由于拓撲的對應性，物理空間必須是單聯通域如果是多聯通的，可通過切割，形成單聯通域24求解1.形式變換，改寫成以為自變量便于進行差分求解

25離散化：中心差分離散方程迭代求解：Jacobi,Seidel,SOR,LU-ADI,LU-SGS,多重網格，……26Step1:確定邊界網格通常采用代數方法生成——一維網格，容易生成注意：1）邊界對應關系容易出錯2）考慮網格的疏密分布（翼型尾緣區，激波區，近壁區……)Step2:利用上頁的離散方程，解出全部網格坐標

不足：內部區域的網格分布不易控制

無法做到指定區域網格加密

無法保證網格正交邊界網格可控，內部網格只能“聽天由命”方案1：源項P,Q為0，求解Laplace方程27方案2：設定源項P,Q求解Poison方程源項P,Q對網格的影響

數值實驗發現，在某點處加入點源P:P<0使方向網格線匯聚P>0使方向網格線發散

點源PP>0P<0在某點處加入點源Q,可對方向網格線產生同樣效果1）網格線的匯聚啟發：在某條網格線上加入負的源項，可令網格匯聚使網格匯聚于282）邊界網格的正交（并指定邊界網格間距）令：源項在邊界處，內部衰減利用邊界處網格的正交性及網格間距要求確定系數P和Q指定值基本思路：以壁面線處為例

網格線正交指定法向網格間距計算第2層網格線上的坐標通過差分計算邊界處的如需要利用的信息，可用上一迭代步的值計算出邊界處的P,Q根據指數衰減原則給出全場的P,Q具體公式見：傅德薰《計算空氣動力學》284-28629習題9.1網格生成

通過解橢圓型方程生成NACA0