高中數學期末備考微專題55講解析幾何24齊次化方法含解析_第1頁
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Page4第24講．齊次化方法一．基本原理中的幾何意義為：直線與曲線的交點與原點的連線的斜率，即的斜率，設為，由韋達定理知，，從而能通過最初的二次曲線和直線相交，得出的性質，倒過來，我們也可以通過的性質與二次曲線得出的性質．若定在不在坐標原點，我們就需要先平移，設平移后的直線為（這樣齊次化更加方便，相當于“1”的妙用），與平移后的圓錐聯立，構造，然后等式可以直接利用韋達定理得出斜率之和或者斜率之積，，，即可得出答案.二．典例分析具體操作步驟第一步：將坐標系平移到（不妨設其在第一象限）后得到新的橢圓方程：.第二步，寫出直線方程：令，則令.第三步：聯立方程：，湊出滿足題干的斜率形式即可.例1．.（2017年全國1卷）．已知橢圓，不過點的直線與橢圓交于兩點，若直線的斜率之和為，證明：直線恒過定點．證明：以點為坐標原點，建立新的直角坐標系，如下圖所示：，即．所以．因為，則轉換到新坐標為，即．設直線的方程為，將原橢圓方程轉化為，則轉換到新坐標為，展開得，構造齊次式整理得，兩邊同除以，則所以，因此．而，所以對于任意都成立則，故對應原坐標為，所以直線恒過定點例2.（2020山東卷）已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．解析：（1）橢圓方程為：.（2）將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯立得，即，化簡得，即．設，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．例3.（2022新高考1卷）已知點在雙曲線上，直線交于，兩點，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：雙曲線方程為，設，∵AP,AQ的斜率之和為0，∴，故將雙曲線方程為變形為：，且設直線，由式有：,（兩邊同除以），即，而是此方程的兩根.∴，故直線斜率為?1.習題演練．拋物線，過原點的兩條相互垂直的直線交拋物線于兩點，求證：直線過軸上一定點．證明：設①拋物線

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