PAGE第72頁共74頁高一數學必修1各章知識點總第一章集合與函數概念注意：常用數集及其記法：非負整數集（即自然數集）記作：N正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R集合間的基本關系1.“包含”關系—子集注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）SA記作，即SACSA=韋恩圖示SSA性質AA=AAΦ=ΦAB=BAABAABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

二、函數的有關概念1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)2.函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.3．映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：A→B來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的集。補充：復合函數如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。二．函數的性質1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間.如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A)定義法：eq\o\ac(○,1)任取x1，x2∈D，且x1<x2；eq\o\ac(○,2)作差f(x1)－f(x2)；eq\o\ac(○,3)變形（通常是因式分解和配方）；eq\o\ac(○,4)定號（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負）；eq\o\ac(○,5)下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）．(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數f[g(x)]的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集.8．函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數．（2）．奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函數．（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．利用定義判斷函數奇偶性的步驟：eq\o\ac(○,1)首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；eq\o\ac(○,2)確定f(－x)與f(x)的關系；eq\o\ac(○,3)作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數．注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件．首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數的圖象判定.9、函數的解析表達式（1）.函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.10．函數最大（小）值eq\o\ac(○,1)利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值eq\o\ac(○,2)利用圖象求函數的最大（小）值eq\o\ac(○,3)利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞增，在區間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間[a，b]上單調遞減，在區間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數冪的運算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且∈*．負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數時，，當是偶數時，2．分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3．實數指數冪的運算性質（1）· ；（2） ；（3） ．（二）指數函數及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．2、指數函數的圖象和性質a>10<a<1定義域R定義域R值域y＞0值域y＞0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或；

（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；

（3）對于指數函數，總有；二、對數函數（一）對數1．對數的概念：一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作：（—底數，—真數，—對數式）說明：eq\o\ac(○,1)注意底數的限制，且；eq\o\ac(○,2)；eq\o\ac(○,3)注意對數的書寫格式．兩個重要對數：eq\o\ac(○,1)常用對數：以10為底的對數；eq\o\ac(○,2)自然對數：以無理數為底的對數的對數．指數式與對數式的互化冪值真數＝N＝b底數指數對數（二）對數的運算性質如果，且，，，那么：eq\o\ac(○,1)·＋；eq\o\ac(○,2)－；eq\o\ac(○,3)．注意：換底公式 （，且；，且；）．利用換底公式推導下面的結論（1）；（2）．（二）對數函數1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：eq\o\ac(○,1)對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：，都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．eq\o\ac(○,2)對數函數對底數的限制：，且．2、對數函數的性質：a>10<a<1定義域x＞0定義域x＞0值域為R值域為R在R上遞增在R上遞減函數圖象都過定點（1，0）函數圖象都過定點（1，0）（三）冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中為常數．2、冪函數性質歸納．（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．第三章函數的應用一、方程的根與函數的零點1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標。即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．3、函數零點的求法：eq\o\ac(○,1)（代數法）求方程的實數根；eq\o\ac(○,2)（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．4、二次函數的零點：二次函數．（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．（3）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點．一、直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當時，；當時，；當時，不存在。②過兩點的直線的斜率公式：注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程①點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：（）直線兩點，④截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸、軸的截距分別為。⑤一般式：（A，B不全為0）注意：eq\o\ac(○,1)各式的適用范圍eq\o\ac(○,2)特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數）；平行于y軸的直線：（a為常數）；（5）直線系方程：即具有某一共同性質的直線（一）平行直線系平行于已知直線（是不全為0的常數）的直線系：（C為常數）（二）過定點的直線系（ⅰ）斜率為k的直線系：，直線過定點；（ⅱ）過兩條直線，的交點的直線系方程為（為參數），其中直線不在直線系中。（6）兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數解與重合（8）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則（9）點到直線距離公式：一點到直線的距離（10）兩平行直線距離公式在任一直線上任取一點，再轉化為點到直線的距離進行求解。二、圓的方程1、圓的定義：平面內到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程（1）標準方程，圓心，半徑為r；（2）一般方程當時，方程表示圓，此時圓心為，半徑為當時，表示一個點；當時，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數法：先設后求。確定一個圓需要三個獨立條件，若利用圓的標準方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；另外要注意多利用圓的幾何性質：如弦的中垂線必經過原點，以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關系：直線與圓的位置關系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷：（1）設直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）設直線，圓，先將方程聯立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為，則有；；注：如果圓心的位置在原點，可使用公式去解直線與圓相切的問題，其中表示切點坐標，r表示半徑。(3)過圓上一點的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(課本命題)．②圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(課本命題的推廣)．4、圓與圓的位置關系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。設圓，兩圓的位置關系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。當時兩圓外離，此時有公切線四條；當時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內公切線一條；當時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；當時，兩圓內切，連心線經過切點，只有一條公切線；當時，兩圓內含；當時，為同心圓。三、立體幾何初步1、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。2、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V=；S=四、空間點、直線、平面的位置關系（1）平面①平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的；②平面的表示：通常用希臘字母α、β、γ表示，如平面α（通常寫在一個銳角內）；也可以用兩個相對頂點的字母來表示，如平面BC。③點與平面的關系：點A在平面內，記作；點不在平面內，記作點與直線的關系：點A的直線l上，記作：A∈l；點A在直線l外，記作Al；直線與平面的關系：直線l在平面α內，記作lα；直線l不在平面α內，記作lα。（2）公理1：如果一條直線的兩點在一個平面內，那么這條直線是所有的點都在這個平面內。（即直線在平面內，或者平面經過直線）應用：檢驗桌面是否平；判斷直線是否在平面內用符號語言表示公理1：（3）公理2：經過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面。推論：一直線和直線外一點確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。公理2及其推論作用：①它是空間內確定平面的依據②它是證明平面重合的依據（4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,那么它們有且只有一條過該點的公共直線符號：平面α和β相交，交線是a，記作α∩β＝a。符號語言：公理3的作用： ①它是判定兩個平面相交的方法。②它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點之間的關系：交線必過公共點。③它可以判斷點在直線上，即證若干個點共線的重要依據。（5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行（6）空間直線與直線之間的位置關系①異面直線定義：不同在任何一個平面內的兩條直線②異面直線性質：既不平行，又不相交。③異面直線判定：過平面外一點與平面內一點的直線與平面內不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經過空間任意一點O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據異面直線的定義；②異面直線的判定定理（2）在異面直線所成角定義中，空間一點O是任取的，而和點O的位置無關。②求異面直線所成角步驟：A、利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角（7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補。（8）空間直線與平面之間的位置關系直線在平面內——有無數個公共點．三種位置關系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α（9）平面與平面之間的位置關系：平行——沒有公共點；α∥β相交——有一條公共直線。α∩β＝b5、空間中的平行問題（1）直線與平面平行的判定及其性質線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行線面平行的性質定理：如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行（2）平面與平面平行的判定及其性質兩個平面平行的判定定理（1）如果一個平面內的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（線面平行→面面平行），（2）如果在兩個平面內，各有兩組相交直線對應平行，那么這兩個平面平行。（線線平行→面面平行），（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行，兩個平面平行的性質定理（1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內的直線與另一個平面平行。（面面平行→線面平行）（2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）7、空間中的垂直問題（1）線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個平面內的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。③平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。（2）垂直關系的判定和性質定理①線面垂直判定定理和性質定理判定定理：如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。性質定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質定理判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。性質定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。9、空間角問題（1）直線與直線所成的角①兩平行直線所成的角：規定為。②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。（2）直線和平面所成的角①平面的平行線與平面所成的角：規定為。②平面的垂線與平面所成的角：規定為。③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。在“作角”時依定義關鍵作射影，由射影定義知關鍵在于斜線上一點到面的垂線，在解題時，注意挖掘題設中兩個主要信息：（1）斜線上一點到面的垂線；（2）過斜線上的一點或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點為頂點，在兩個面內分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個平面垂直；反過來，如果兩個平面垂直，那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法定義法：在棱上選擇有關點，過這個點分別在兩個面內作垂直于棱的射線得到平面角垂面法：已知二面角內一點到兩個面的垂線時，過兩垂線作平面與兩個面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標系（1）定義：如圖，是單位正方體.以A為原點，分別以OD,O,OB的方向為正方向，建立三條數軸。這時建立了一個空間直角坐標系Oxyz.1）O叫做坐標原點2）x軸，y軸，z軸叫做坐標軸.3）過每兩個坐標軸的平面叫做坐標面。（2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時，可能形成的位置。大拇指指向為x軸正方向，食指指向為y軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。（3）任意點坐標表示：空間一點M的坐標可以用有序實數組來表示，有序實數組叫做點M在此空間直角坐標系中的坐標，記作（x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標）（4）空間兩點距離坐標公式：高中數學必修3知識點算法初步程序框圖（一）構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能起止框表示一個算法的起始和結束，是任何流程圖不可少的。輸入、輸出框表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何需要輸入、輸出的位置。處理框賦值、計算，算法中處理數據需要的算式、公式等分別寫在不同的用以處理數據的處理框內。判斷框判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規則，畫程序框圖的規則如下：1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結果。5、在圖形符號內描述的語言要非常簡練清楚。（三）、算法的三種基本邏輯結構：順序結構、條件結構、循環結構。1、順序結構：順序結構是最簡單的算法結構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結構。順序結構在程序框圖中的體現就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執行的，只有在執行完A框指定的操作后，才能接著執ABAB2、條件結構：條件結構是指在算法中通過對條件的判斷根據條件是否成立而選擇不同流向的算法結構。條件P是否成立而選擇執行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執行A框或B框之一，不可能同時執行A框和B框，也不可能A框、B框都不執行。一個判斷結構可以有多個判斷框。3、循環結構：在一些算法中，經常會出現從某處開始，按照一定條件，反復執行某一處理步驟的情況，這就是循環結構，反復執行的處理步驟為循環體，顯然，循環結構中一定包含條件結構。循環結構又稱重復結構，循環結構可細分為兩類：（1）、一類是當型循環結構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執行A框，A框執行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執行A框，如此反復執行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。（2）、另一類是直到型循環結構，如下右圖所示，它的功能是先執行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續執行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執行A框，離開循環結構。A成立A成立不成立P不成立P成立App當型循環結構直到型循環結構注意：1循環結構要在某個條件下終止循環，這就需要條件結構來判斷。因此，循環結構中一定包含條件結構，但不允許“死循環”。2在循環結構中都有一個計數變量和累加變量。計數變量用于記錄循環次數，累加變量用于輸出結果。計數變量和累加變量一般是同步執行的，累加一次，計數一次。輸入、輸出語句和賦值語句賦值語句變量＝表達式圖形計算器格式變量＝表達式圖形計算器格式表達式變量（2）賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數據、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數學中的等號意義不同。1．2．2條件語句1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IF—THEN—ELSE語句；（2）IF—THEN語句。2、IF—THEN—ELSE語句IF—THEN—ELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。否是滿足條件？否是滿足條件？語句1語句2IF條件THEN語句1ELSE語句2ENDIF圖1圖2分析：在IF—THEN—ELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執行的操作內容；“語句2”表示不滿足條件時執行的操作內容；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執行ELSE后面的語句2。3、IF—THEN語句滿足條件？語句是否滿足條件？語句是否（圖4）IFIF條件THEN語句ENDIF（圖3）注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執行的操作內容，條件不滿足時，結束程序；ENDIF表示條件語句的結束。計算機在執行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結束該條件語句，轉而執行其它語句。1．2．3循環語句循環結構是由循環語句來實現的。對應于程序框圖中的兩種循環結構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結構。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句滿足條件？循環體滿足條件？循環體否是WHILE條件WHILE條件循環體WEND（2）當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執行WHILE與WEND之間的循環體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執行循環體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執行循環體，直接跳到WEND語句后，接著執行WEND之后的語句。因此，當型循環有時也稱為“前測試型”循環。2、UNTIL語句（1）UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是滿足條件？循環體滿足條件？循環體是否DO循環體LOOPUNTIL條件（2）直到型循環又稱為“后測試型”循環，從UNTIL型循環結構分析，計算機執行該語句時，先執行一次循環體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續返回執行循環體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執行循環體，跳到LOOPUNTIL語句后執行其他語句，是先執行循環體后進行條件判斷的循環語句。分析：當型循環與直到型循環的區別：當型循環先判斷后執行，直到型循環先執行后判斷；在WHILE語句中，是當條件滿足時執行循環體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執行循環1.3.1輾轉相除法與更相減損術1、輾轉相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉相除法求最大公約數的步驟如下：（1）：用較大的數m除以較小的數n得到一個商和一個余數；（2）：若＝0，則n為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數n除以余數得到一個商和一個余數；（3）：若＝0，則為m，n的最大公約數；若≠0，則用除數除以余數得到一個商和一個余數；……依次計算直至＝0，此時所得到的即為所求的最大公約數。2、更相減損術我國早期也有求最大公約數問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母?子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。翻譯為：（1）：任意給出兩個正數；判斷它們是否都是偶數。若是，用2約簡；若不是，執行第二步。（2）：以較大的數減去較小的數，接著把較小的數與所得的差比較，并以大數減小數。繼續這個操作，直到所得的數相等為止，則這個數（等數）就是所求的最大公約數。例2用更相減損術求98與63的最大公約數.分析：3、輾轉相除法與更相減損術的區別：（1）都是求最大公約數的方法，計算上輾轉相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數上輾轉相除法計算次數相對較少，特別當兩個數字大小區別較大時計算次數的區別較明顯。（2）從結果體現形式來看，輾轉相除法體現結果是以相除余數為0則得到，而更相減損術則以減數與差相等而得到1.3.2秦九韶算法與排序1、秦九韶算法概念：f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0==(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0求多項式的值時，首先計算最內層括號內依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3vn=vn-1x+a0、這樣，把n次多項式的求值問題轉化成求n個一次多項式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數放入數組的第１個元素中，以后讀入的數與已存入數組的數進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序基本思想：依次比較相鄰的兩個數,把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數和第2個數,大數放前,小數放后.然后比較第2個數和第3個數直到比較最后兩個數.第一趟結束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數開始,到最后第2個數由于在排序過程中總是大數往前,小數往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.1.3.3進位制1、概念：進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示不同的數值。可使用數字符號的個數稱為基數，基數為n，即可稱n進位制，簡稱n進制。現在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數字0-9進行記數。對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數值都是一樣的。一般地，若k是一個大于一的整數，那么以k為基數的k進制可以表示為：，而表示各種進位制數一般在數字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數,34(5)表示5進制數第二章統計2.1.1簡單隨機抽樣1．總體和樣本總體：在統計學中,把研究對象的全體叫做總體．個體：把每個研究對象叫做個體．總體容量：把總體中個體的總數叫做總體容量．為了研究總體的有關性質，一般從總體中隨機抽取一部分：，，，研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數稱為樣本容量。2．簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機抽樣常用的方法：（1）抽簽法；⑵隨機數表法；⑶計算機模擬法；⑷使用統計軟件直接抽取。在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。4．抽簽法:（1）給調查對象群體中的每一個對象編號；（2）準備抽簽的工具，實施抽簽（3）對樣本中的每一個個體進行測量或調查2.1.2系統抽樣1．系統抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規模）/n（樣本規模）前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規則分布。可以在調查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環性規律，且這種循環和抽樣距離重合。2．系統抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統抽樣可以大大提高估計精度。2.1.3分層抽樣1．分層抽樣（類型抽樣）：先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或層次，然后再在各個類型或層次中采用簡單隨機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。兩種方法：1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統抽樣的方法抽取樣本。2．分層抽樣是把異質性較強的總體分成一個個同質性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。分層標準：（1）以調查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。（2）以保證各層內部同質性強、各層之間異質性強、突出總體內在結構的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：（1）按比例分層抽樣：根據各種類型或層次中的單位數目占總體單位數目的比重來抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數據資料進行加權處理，調整樣本中各層的比例，使數據恢復到總體中各層實際的比例結構。2.2.2用樣本的數字特征估計總體的數字特征1、本均值：2、．樣本標準差：3．用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。雖然我們用樣本數據得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。4．（1）如果把一組數據中的每一個數據都加上或減去同一個共同的常數，標準差不變（2）如果把一組數據中的每一個數據乘以一個共同的常數k，標準差變為原來的k倍（3）一組數據中的最大值和最小值對標準差的影響，區間的應用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理2.3.2兩個變量的線性相關1．直線回歸方程的應用（1）描述兩變量之間的依存關系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數量關系（2）利用回歸方程進行預測；把預報因子（即自變量x）代入回歸方程對預報量（即因變量Y）進行估計，即可得到個體Y值的容許區間。（3）利用回歸方程進行統計控制規定Y值的變化，通過控制x的范圍來實現統計控制的目標。如已經得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。2．應用直線回歸的注意事項（1）做回歸分析要有實際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點圖；（3）回歸直線不要外延。第三章概率3.1.1—3.1.2隨機事件的概率及概率的意義1、基本概念：（1）必然事件：在條件S下，一定會發生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統稱為相對于條件S的確定事件；（4）隨機事件：在條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；（5）頻數與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數；稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。（6）頻率與概率的區別與聯系：隨機事件的頻率，指此事件發生的次數nA與試驗總次數n的比值，它具有一定的穩定性，總在某個常數附近擺動，且隨著試驗次數的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數叫做隨機事件的概率，概率從數量上反映了隨機事件發生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率3.1.3概率的基本性質1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性質：1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；4）互斥事件與對立事件的區別與聯系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發生且事件B不發生；（2）事件A不發生且事件B發生；（3）事件A與事件B同時不發生，而對立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個發生，其包括兩種情形；（1）事件A發生B不發生；（2）事件B發生事件A不發生，對立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1—3.2.2古典概型及隨機數的產生1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數；②求出事件A所包含的基本事件數，然后利用公式P（A）=3.3.1—3.3.2幾何概型及均勻隨機數的產生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：P（A）=；（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等．高中數學必修4知識點第一章三角函數2、角的頂點與原點重合，角的始邊與軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在軸上的角的集合為終邊在坐標軸上的角的集合為3、與角終邊相同的角的集合為4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做弧度．5、半徑為的圓的圓心角所對弧的長為，則角的弧度數的絕對值是．6、弧度制與角度制的換算公式：，，．7、若扇形的圓心角為，半徑為，弧長為，周長為，面積為，則，，．PvxyAOMT8、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是，它與原點的距離是，則，，PvxyAOMT9、三角函數在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數線：，，．11、角三角函數的基本關系：；．12、函數的誘導公式：，，．，，．，，．，，．口訣：函數名稱不變，符號看象限．，．，．口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．②數的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數的圖象；再將函數的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標不變），得到函數的圖象．14、函數的性質：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數，當時，取得最小值為；當時，取得最大值為，則，，．15、正弦函數、余弦函數和正切函數的圖象與性質：函數函數性質圖象定義域值域最值當時，；當時，．當時，；當時，．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數偶函數奇函數單調性在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數；在上是減函數．在上是增函數．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸第二章平面向量16、向量：既有大小，又有方向的量．數量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為的向量．單位向量：長度等于個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：首尾相連．=2\*GB2⑵平行四邊形法則的特點：共起點．=3\*GB2⑶三角形不等式：．=4\*GB2⑷運算性質：=1\*GB3①交換律：；=2\*GB3②結合律：；=3\*GB3③．=5\*GB2⑸坐標運算：設，，則．18、向量減法運算：=1\*GB2⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．=2\*GB2⑵坐標運算：設，，則．設、兩點的坐標分別為，，則．19、向量數乘運算：=1\*GB2⑴實數與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數乘，記作．=1\*GB3①；=2\*GB3②當時，的方向與的方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，．=2\*GB2⑵運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=3\*GB2⑶坐標運算：設，則．20、向量共線定理：向量與共線，當且僅當有唯一一個實數，使．設，，其中，則當且僅當時，向量、共線．21、平面向量基本定理：如果、是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量，有且只有一對實數、，使．（不共線的向量、作為這一平面內所有向量的一組基底）*22、分點坐標公式：設點是線段上的一點，、的坐標分別是，，當時，點的坐標是．（當23、平面向量的數量積：=1\*GB2⑴．零向量與任一向量的數量積為．=2\*GB2⑵性質：設和都是非零向量，則=1\*GB3①．=2\*GB3②當與同向時，；當與反向時，；或．=3\*GB3③．=3\*GB2⑶運算律：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③．=4\*GB2⑷坐標運算：設兩個非零向量，，則．若，則，或．設，，則．設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．第三章三角恒等變換24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸（）；=6\*GB2⑹（）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*GB2⑶．*26、（后兩個不用判斷符號，更加好用）27、合一變形把兩個三角函數的和或差化為“一個三角函數，一個角，一次方”的形式。，其中．28、三角變換是運算化簡的過程中運用較多的變換，提高三角變換能力，要學會創設條件，靈活運用三角公式，掌握運算，化簡的方法和技能．常用的數學思想方法技巧如下：（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達式中往往出現較多的相異角，可根據角與角之間的和差，倍半，互補，互余的關系，運用角的變換，溝通條件與結論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：①是的二倍；是的二倍；是的二倍；是的二倍；③；④；⑤；等等（2）函數名稱變換：三角變形中，常常需要變函數名稱為同名函數。如在三角函數中正余弦是基礎，通常化切為弦，變異名為同名。（3）常數代換：在三角函數運算，求值，證明中，有時需要將常數轉化為三角函數值，高中數學必修5知識點第一章：解三角形1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，為的外接圓的半徑，則有．2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；（正弦定理的變形經常用在有三角函數的等式中）=3\*GB3③；=4\*GB3④．3、三角形面積公式：．4、余定理：在中，有，，．5、余弦定理的推論：，，．6、設、、是的角、、的對邊，則：=1\*GB3①若，則為直角三角形；=2\*GB3②若，則為銳角三角形；=3\*GB3③若，則為鈍角三角形．第二章：數列1、數列：按照一定順序排列著的一列數．2、數列的項：數列中的每一個數．3、有窮數列：項數有限的數列．4、無窮數列：項數無限的數列．5、遞增數列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數列．6、遞減數列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數列．7、常數列：各項相等的數列．8、擺動數列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列．9、數列的通項公式：表示數列的第項與序號之間的關系的公式．10、數列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系的公式．11、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，則這個數列稱為等差數列，這個常數稱為等差數列的公差．12、由三個數，，組成的等差數列可以看成最簡單的等差數列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．13、若等差數列的首項是，公差是，則．通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．14、若是等差數列，且（、、、），則；若是等差數列，且（、、），則；下角標成等差數列的項仍是等差數列；連續m項和構成的數列成等差數列。15、等差數列的前項和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．16、等差數列的前項和的性質：=1\*GB3①若項數為，則，且，．=2\*GB3②若項數為，則，且，（其中，）．17、如果一個數列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，則這個數列稱為等比數列，這個常數稱為等比數列的公比．18、在與中間插入一個數，使，，成等比數列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．19、若等比數列的首項是，公比是，則．20、通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．21、若是等比數列，且（、、、），則；若是等比數列，且（、、），則；下角標成等差數列的項仍是等比數列；連續m項和構成的數列成等比數列。22、等比數列的前項和的公式：．時，，即常數項與項系數互為相反數。23、等比數列的前項和的性質：=1\*GB3①若項數為，則．=2\*GB3②．=3\*GB3③，，成等比數列．24、與的關系：一、求通項公式的方法：1、由數列的前幾項求通項公式：待定系數法①若相鄰兩項相減后為同一個常數設為，列兩個方程求解；②若相鄰兩項相減兩次后為同一個常數設為，列三個方程求解；③若相鄰兩項相減后相除后為同一個常數設為，q為相除后的常數，列兩個方程求解；2、由遞推公式求通項公式：①若化簡后為形式，可用等差數列的通項公式代入求解；②若化簡后為形式，可用疊加法求解；③若化簡后為形式，可用等比數列的通項公式代入求解；④若化簡后為形式，則可化為，從而新數列是等比數列，用等比數列求解的通項公式，再反過來求原來那個。（其中是用待定系數法來求得）3、由求和公式求通項公式：①②③檢驗，若滿足則為，不滿足用分段函數寫。4、其他（1）形式，便于求和，方法：迭加；例如：有：（2）形式，同除以，構造倒數為等差數列；例如：，則，即為以-2為公差的等差數列。（3）形式，，方法：構造：為等比數列；例如：，通過待定系數法求得：，即等比，公比為2。（4）形式：構造：為等比數列；（5）形式，同除，轉化為上面的幾種情況進行構造；因為，則，若轉化為（1）的方法，若不為1，轉化為（3）的方法二、等差數列的求和最值問題：（二次函數的配方法；通項公式求臨界項法）①若，則有最大值，當n=k時取到的最大值k滿足②若，則有最小值，當n=k時取到的最大值k滿足三、數列求和的方法：①疊加法：倒序相加，具備等差數列的相關特點的，倒序之后和為定值；②錯位相減法：適用于通項公式為等差的一次函數乘以等比的數列形式，如：；③分式時拆項累加相約法：適用于分式形式的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的形式。如：，等；④一項內含有多部分的拆開分別求和法：適用于通項中能分成兩個或幾個可以方便求和的部分，如：等；四、綜合性問題中①等差數列中一些在加法和乘法中設一些數為類型，這樣可以相加約掉，相乘為平方差；②等比數列中一些在加法和乘法中設一些數為類型，這樣可以相乘約掉。第三章：不等式1、；；．比較兩個數的大小可以用相減法；相除法；平方法；開方法；倒數法等等。2、不等式的性質：；；；，；；；；．3、一元二次不等式：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的不等式．4、二次函數的圖象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集間的關系：判別式二次函數的圖象一元二次方程的根有兩個相異實數根有兩個相等實數根沒有實數根一元二次不等式的解集5、二元一次不等式：含有兩個未知數，并且未知數的次數是的不等式．6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的和的取值構成有序數對，所有這樣的有序數對構成的集合．8、在平面直角坐標系中，已知直線，坐標平面內的點．=1\*GB3①若，，則點在直線的上方．=2\*GB3②若，，則點在直線的下方．9、在平面直角坐標系中，已知直線．=1\*GB3①若，則表示直線上方的區域；表示直線下方的區域．=2\*GB3②若，則表示直線下方的區域；表示直線上方的區域．10、線性約束條件：由，的不等式（或方程）組成的不等式組，是，的線性約束條件．目標函數：欲達到最大值或最小值所涉及的變量，的解析式．線性目標函數：目標函數為，的一次解析式．線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解．可行域：所有可行解組成的集合．最優解：使目標函數取得最大值或最小值的可行解．11、設、是兩個正數，則稱為正數、的算術平均數，稱為正數、的幾何平均數．12、均值不等式定理：若，，則，即．13、常用的基本不等式：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．14、極值定理：設、都為正數，則有=1\*GB2⑴若（和為定值），則當時，積取得最大值．=2\*GB2⑵若（積為定值），則當時，和取得最小值．高二數學選修2－1知識點第一章常用邏輯用語1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若，則”形式的命題中的稱為命題的條件，稱為命題的結論.3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論分別是另一個命題的結論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若，則”，它的逆命題為“若，則”.4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的條件的否定和結論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結論恰好是另一個命題的結論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若，則”，則它的否命題為“若，則”.6、四種命題的真假性：原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關系：兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．7、若，則是的充分條件，是的必要條件．若，則是的充要條件（充分必要條件）．8、用聯結詞“且”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作．當、都是真命題時，是真命題；當、兩個命題中有一個命題是假命題時，是假命題．用聯結詞“或”把命題和命題聯結起來，得到一個新命題，記作．當、兩個命題中有一個命題是真命題時，是真命題；當、兩個命題都是假命題時，是假命題．對一個命題全盤否定，得到一個新命題，記作．若是真命題，則必是假命題；若是假命題，則必是真命題．9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．全稱命題“對中任意一個，有成立”，記作“，”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．特稱命題“存在中的一個，使成立”，記作“，”．10、全稱命題：，，它的否定：，．全稱命題的否定是特稱命題．第二章圓錐曲線與方程11、平面內與兩個定點，的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍且且頂點、、、、軸長短軸的長長軸的長焦點、、焦距對稱性關于軸、軸、原點對稱離心率準線方程13、設是橢圓上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線的距離為，則．14、平面內與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數（小于）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．15、雙曲線的幾何性質：焦點的位置焦點在軸上焦點在軸上圖形標準方程范圍或，或，頂點、、軸長虛軸的長實軸的長焦點、、焦距對稱性關于軸、軸對稱，關于原點中心對稱離心率準線方程漸近線方程16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．17、設是雙曲線上任一點，點到對應準線的距離為，點到對應準線的距離為，則．18、平面內與一個定點和一條定直線的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的準線．19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即．20、焦半徑公式：若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則；若點在拋物線上，焦點為，則．21、拋物線的幾何性質：標準方程圖形頂點對稱軸軸軸焦點準線方程離心率范圍第三章空間向量與立體幾何22、空間向量的概念：在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向．向量的大小稱為向量的模（或長度），記作．模（或長度）為的向量稱為零向量；模為的向量稱為單位向量．與向量長度相等且方向相反的向量稱為的相反向量，記作．方向相同且模相等的向量稱為相等向量．23、空間向量的加法和減法：求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已知向量、為鄰邊作平行四邊形，則以起點的對角線就是與的和，這種求向量和的方法，稱為向量加法的平行四邊形法則．求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則．即：在空間任取一點，作，，則．24、實數與空間向量的乘積是一個向量，稱為向量的數乘運算．當時，與方向相同；當時，與方向相反；當時，為零向量，記為．的長度是的長度的倍．25、設，為實數，，是空間任意兩個向量，則數乘運算滿足分配律及結合律．分配律：；結合律：．26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規定零向量與任何向量都共線．27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數，使．28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．29、向量共面定理：空間一點位于平面內的充要條件是存在有序實數對，，使；或對空間任一定點，有；或若四點，，，共面，則．30、已知兩個非零向量和，在空間任取一點，作，，則稱為向量，的夾角，記作．兩個向量夾角的取值范圍是：．31、對于兩個非零向量和，若，則向量，互相垂直，記作．32、已知兩個非零向量和，則稱為，的數量積，記作．即．零向量與任何向量的數量積為．33、等于的長度與在的方向上的投影的乘積．34、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．35、向量數乘積的運算律：；；．36、若，，是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量，存在有序實數組，使得，稱，，為向量在，，上的分量．37、空間向量基本定理：若三個向量，，不共面，則對空間任一向量，存在實數組，使得．38、若三個向量，，不共面，則所有空間向量組成的集合是．這個集合可看作是由向量，，生成的，稱為空間的一個基底，，，稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底．39、設，，為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們為單位正交基底），以，，的公共起點為原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系．則對于空間任意一個向量，一定可以把它平移，使它的起點與原點重合，得到向量．存在有序實數組，使得．把，，稱作向量在單位正交基底，，下的坐標，記作．此時，向量的坐標是點在空間直角坐標系中的坐標．40、設，，則．．．．若、為非零向量，則．若，則．．．，，則．41、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向量稱為點的位置向量．42、空間中任意一條直線的位置可以由上一個定點以及一個定方向確定．點是直線上一點，向量表示直線的方向向量，則對于直線上的任意一點，有，這樣點和向量不僅可以確定直線的位置，還可以具體表示出直線上的任意一點．43、空間中平面的位置可以由內的兩條相交直線來確定．設這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為，．為平面上任意一點，存在有序實數對，使得，這樣點與向量，就確定了平面的位置．44、直線垂直，取直線的方向向量，則向量稱為平面的法向量．45、若空間不重合兩條直線，的方向向量分別為，，則，．46、若直線的方向向量為，平面的法向量為，且，則，．47、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為，，則，．48、設異面直線，的夾角為，方向向量為，，其夾角為，則有．49、設直線的方向向量為，平面的法向量為，與所成的角為，與的夾角為，則有．50、設，是二面角的兩個面，的法向量，則向量，的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小．若二面角的平面角為，則．51、點與點之間的距離可以轉化為兩點對應向量的模計算．52、在直線上找一點，過定點且垂直于直線的向量為，則定點到直線的距離為．53、點是平面外一點，是平面內的一定點，為平面的一個法向量，則點到平面的距離為．數學選修2-2知識點總結導數及其應用導數概念的引入導數的物理意義：瞬時速率。一般的，函數在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或，即=在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？解：根據定義即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下導數的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點趨近于時，直線與曲線相切。容易知道，割線的斜率是，當點趨近于時，函數在處的導數就是切線PT的斜率k，即導函數：當x變化時，便是x的一個函數，我們稱它為的導函數.的導函數有時也記作,即二.導數的計算1.函數的導數2.函數的導數3.函數的導數4.函數的導數基本初等函數的導數公式:1若(c為常數)，則；2若,則;3若,則4若,則;5若,則6若,則7若,則8若,則導數的運算法則1.2.3.復合函數求導和,稱則可以表示成為的函數,即為一個復合函數三.導數在研究函數中的應用1.函數的單調性與導數:一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系：在某個區間內，如果，那么函數在這個區間單調遞增；如果，那么函數在這個區間單調遞減.2.函數的極值與導數極值反映的是函數在某一點附近的大小情況.求函數的極值的方法是:如果在附近的左側,右側,那么是極大值;如果在附近的左側,右側,那么是極小值;4.函數的最大(小)值與導數函數極大值與最大值之間的關系.求函數在上的最大值與最小值的步驟求函數在內的極值；將函數的各