專題4.1導數的概念及切線問題1．函數在點處導數與導函數的概念(1)對于函數，設自變量從變化到，如果當時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導，并把這個確定的值叫做在處的導數（也稱瞬時變化率），記作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).(2)如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每一點處都有導數，當x變化時，是x的函數，這個函數稱為函數y＝f(x)的導函數（簡稱導數）．記作f′(x)或y′，即f′(x)＝＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))fx+?x?f(x)?x.2．導數的幾何意義函數y＝f(x)在x0處的導數的幾何意義：曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率k，即k＝f′(x0),則切線方程為y?fx03．基本初等函數的導數公式基本初等函數導函數f(x)＝c(c為常數)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q且α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝ax(a>0，a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)f(x)＝logax(a>0，a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)若f′(x)，g′(x)存在，則有

（1）

（2）；特別地：

（3）5．復合函數的導數一般地，對于由函數和復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．重要結論：導數研究一個函數在其定義域內的某點處的變化率問題，是對函數局部性質的刻畫；定義法求導數的步驟：第一步：寫出函數的平均變化率并化簡；第二步：求極限，若存在，則導數;函數y＝f(x)的導數f'(x)反映了函數f(x)的瞬時變化情況，其正負號反映了變化的方向，描述了變化速度的快慢，越大，變化越快，圖象越陡峭；；若函數，在R上可導，，則.

1.【人教A版選擇性必修2P70】如圖所示，水波的半徑以1的速度向外擴張，當半徑為5m時，該水波面的圓面積的瞬時膨脹率是______

2.【人教A版選擇性必修二練習4P70】某堆雪在融化過程中，其體積V(單位：m3)與融化時間t(單位：h)近似滿足函數關系：V(t)=H10?110t3(H為常數)，其圖象如圖所示．記此堆雪從融化開始到結束的平均融化速度為v(m3/h).考點考點一導數的運算【方法儲備】導數運算技巧：1.實際情境中需明確導數代表的涵義；2.求函數的導數，要準確地把函數分割成基本初等函數的和、差、積、商，再利用運算法則求導，對于比較復雜的函數求導時，先化簡再求導

3.復合函數求導，應由外到內逐層求導，必要時進行換元；4.抽象函數求導，恰當賦值是關鍵，然后靈活應用方程思想求解.【典例精講】例1（2022·江西省模擬題)設函數f(x)的導函數為f′(x)，且f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，則limΔx→0?A.2 B.?2 C.94 D.例2(2022·廣東省月考題)反射性元素的特征是不斷發生同位素衰變，而衰變的結果是放射性同位素母體的數目不斷減少，但其子體的原子數目將不斷增加，假設在某放射性同位素的衰變對程中，其含量N(單位：貝克)與時間t(單位：天)滿足函數關系N(t)=N0e?t24(e為自然對數的底數)，其中N0為A.12貝克 B.12e貝克 C.24貝克 D.24e貝克【拓展提升】練11(2023·江蘇省模擬題)設f′(x)為f(x)的導數．若f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，則練12(2023·安徽省模擬題)已知：若函數f(x)，g(x)在R上可導，f(x)=g(x)，則f′(x)=g′(x).又英國數學家泰勒發現了一個恒等式e2x=a0+a1x+a2x練13(2023·浙江省模擬題)麥克勞林是18世紀英國最具有影響的數學家之一，他得到數學分析中著名的麥克勞林級數展開式，其中有公式sin?x=x?x33!+x55!?x77!+?+(?1)n?1xA.π4 B.π2 C.3π4 考點二考點二導數的幾何意義及應用【方法儲備】1.明確導數幾何意義，理解以直代曲思想；2.利用導數研究曲線的切線問題：（1）已知斜率求切線方程：由斜率求出切點坐標，求出切線方程.（2）已知切點求切線方程：求出切點處的導數值，即為切線斜率，求出切線方程.（3）過點P（x0,=1\*GB3①點P（x0,y0）=2\*GB3②點P（x0,y0）不為切點：設出切點坐標P'（x1,y1）3.切點既在切線上又在曲線上．【典例精講】例3.(2022·湖北省單元）函數f(x)的圖象如圖所示，記A=f′x1、B=f′x2、C=f′x3，則A、B、C最大的是例4(2022·江蘇省月考)我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算.設f(x)=ln?x，則曲線y=f(x)在點1,0處的切線方程為

，用此結論近似計算4000e的值為

(結果用分數表示)【拓展提升】練21(2022·湖南省月考)（多選）吹氣球時，記氣球的半徑r與體積V之間的函數關系為r(V)，r′(V)為r(V)的導函數．已知r(V)在0≤V≤3上的圖象如圖所示，若0≤V1<V2≤3，則下列結論正確的是(

)A.r(1)?r(0)1?0<r(2)?r(1)2?1

B.r′(1)>r′(2)

C.r(V1練22(2023·吉林省期末）已知直線y=3x+b是曲線y=x(lnx+2)的一條切線，則實數b=

練23(2022·海南省月考)數學常常使用近似計算，已知函數圖象在某一點附近可以近似用該點處的切線代替．函數y=x+1的圖象在x=0處的切線方程是

；近似用該切線代替原函數在切點附近的圖象，以直代曲，估計考點三導數幾何意義的綜合應用考點三導數幾何意義的綜合應用1.利用導數的幾何意義解決一些具體的問題時要始終以導數的幾何意義概念為本,充分利用轉化思想,數形結合思想，函數方程思想等；【典例精講】例5.(2023·四川省單元)設直線l是曲線f(x)=ex+cosx在點(0,2)處的切線，則直線l與x軸，yA.2 B.1 C.12 D.例6.(2022·北京市單元)若過點(a,?b)可以作曲線y=ex的兩條切線，則A.eb<a B.ea<b C.0<a<【拓展提升】練31(2022·江蘇省單元)若曲線y=cosx,x∈(?π,π)在P點處切線平行于曲線y=x(x3+1)在練32(2023·湖北省聯考)已知函數f(x)=e?2x?1,x≤0,12ln(x+1),x>0.若x(f(x)?a|x|)≤0練33(2022·哈爾濱期中)若實數a，b，c，d滿足3ln?a?a2b=c+2dA.32 B.22 C.練34(2022·四川省月考)已知函數f?(x)=ax3+3x2?6ax?11，g(x)=3x(1)求a的值；(2)是否存在k，使直線m既是曲線y=f

(x)的切線，又是曲線y=g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，請說明理由．1.(2023·江蘇省南通市)已知定義域都是R的兩個不同的函數f(x)，g(x)滿足f′(x)=g(x)，且g′(x)=f(x).寫出一個符合條件的函數f(x)的解析式f(x)=

．2.(2023·湖北省武漢市)已知函數f(x)=|ln(x+1)|,x1<0,x2>0，函數f(x)的圖象在點A(x1,f(x1))和點B(3.(2023·浙江省溫州市)若存在a∈R使對于任意x∈[1e,e]不等式lnx≤ax2A.?e2+ee?1 B.?e3+e+1e【答案解析】【教材改編】1.【人教A版選擇性必修2P70】解：因為水波的半徑以v=1?m/s的速度向外擴張，水波面的圓面積S=πr2=π(vt)2=πt2．

所以利用瞬時變化率，可求水波面的圓面積在時刻t0的瞬時膨脹率S′t=t0=2πt0．

當半徑為【人教A版選擇性必修二練習4P70】解：V=V(100)?V(0)100?0，反映的是v(t)圖象與坐標軸交點連線的斜率，

觀察可知t3處瞬時速度(即切線的斜率)與平均速度一致．【考點歸納】例1解：根據題意，對于函數f(x)，有limΔx→0?f(2+Δx)?f(2)Δx==f′(2)，

又由f(x)=x2+3xf′(2)+lnx，則f′(x)=2x+3f′(2)+1x，

令x=2得f′(2)=4+3f′(2)+1例2解：因為N(t)=N0e?t24，

所以N′(t)=?124N0e?t24，

當t=48時，練11

解：令g(x)=

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)，則f(x)=xg(x)，f′(x)=g(x)+xg′x，故答案為120．練12解：由題意，f(x)=e2x=a0+a1x+a2x2+...+anxn+...，

故f(0)=e0=a0?a0=1;

而f′(x)=2e2x=a1練13解：f(x)=(sinx)′=cosx，f(x+π4)=cos(x+π4)

∵函數cos(x+π4)例3.解：根據導數的幾何意義，f′(x1)、f′(x2)、f′(x3)分別為x1、x2、x3處的切線斜率，又x1與x3附近的圖像單調遞增，x2附近的圖像單調遞減，且x例4解：由題意，得f′(x)=1x，則f′(1)=1，故所求切線方程為y=x?1;

因為4000e=e14000與1之間的距離比較小，因此在切點附近用切線代替曲線，近似計算，

即在x=1附近，有lnx≈x?1，4000e=練21解：函數在某一點的導數等于它在該點的切線的斜率，

因為r′(1)=r(1)?r(0)1?0，r′(2)=r(2)?r(1)2?1，

所以由圖象可得r(V)的導數r′(V)在逐漸減小，

所以可得r′(1)>r′(2)，即A錯誤，B正確；

由圖可得r(V1+V22)>r(V1)+r(V2)練22解：設切點為(x0,2x0+x0lnx0)，

對y=x(lnx+2)求導得y′=lnx+3，

∴切線的斜率k=lnx0+3，

故切線方程為y?(2x0+x0練23解：對于函數y=x+1，y′=12x+1，

所以函數y=x+1的圖象在x=0處的切線的斜率k=y′|x=0=12，

又切線經過切點0,1，

所以切線方程為y?1=12(x?0)，即y=1例5.解：因為f(x)=ex+cosx，所以f′(x)=ex?sinx，

所以f′(0)=e0?sin0=1，

所以直線l的方程為y?2=x?0，即y=x+2，

令x=0，得y=2，令y=0，得x=?2例6.解：設切點為x0,ex0,y’=ex.根據兩點之間斜率和導數的幾何意義，

易知ex0?bx0?a=ex0，整理得：ex0?b?x0ex0+aex0=0有兩解，綜上，0<b<e練31解：設P(a,b)，Q(m,n)，

由y=cosx，得y′=?sinx，

∵x∈(?π,π)，∴?1≤?sinx≤1，

由y=x(x3+1)，得y′=12(x+1x)≥1，當且僅當x=1時等號成立，

∵函數y=cosx，x∈(?π,π)圖象在點P處的切線與函數y=x(x3+1)在點Q處的切線平行，

∴?sina=12(m+1m)=1，

∵a∈(?π,π)，m>0練32解：f(x)=e?2x?1,x≤0,12若x(f(x)?a|x|)≤0，

易知x=0時恒成立，此時a∈R；

x>0時，f(x)?a|x|≤0，即f(x)≤ax，

x<0時，f(x)?a|x|≥0，即f(x)≥?ax．

x>0時，f(x)=12ln(x+1)，f′(x)=12(x+1)，

易知f′(x)在(0,+∞)上單調遞減，f′(x)<f′(0)=12，

故若f(x)≤ax，則a≥12；

x<0時，f(x)=e?2x?1，f′(x)=?2e?2x，

易知f′(x)在(?∞,0)上單調遞增，練33解：3ln?a?a2b=c+2d=1，∴b=3lna?a2，d=c+2，

∴點(a,b)在曲線y=3lnx?x2上，點(c,d)在曲線y=x+2上，

(a?c)2+(b?d)2的幾何意義就是曲線y=3lnx?x2(x>0)上的點到直線y=x+2上點的距離的平方，

考查曲線y=3lnx?x2(x>0)平行于直線y=x+2的切線，如下圖：

∵y=3lnx?x2(x>0)的導數y′=3x?2x，令y′=3x?2x=1練34解：(1)由已知得f′(x)=3ax因為f′(?1)=0，所以3a?6?6a=0，所以a=?2．（2）存在．由已知得，直線m