第二章數(shù)列第二章數(shù)列1本章內(nèi)容2.1數(shù)列的概念與簡單表示法2.2等差數(shù)列2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和2.4等比數(shù)列2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和第二章小結(jié)本章內(nèi)容2.1數(shù)列的概念與簡單表示法2.2等差22.1數(shù)列的概念與簡單表示法第一課時第一課時第二課時2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第一課時第一課時第二課時學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.什么是數(shù)列?什么是數(shù)列的項(xiàng)?

2.什么是有窮數(shù)列?什么是無窮數(shù)列?什么是遞增數(shù)列?什么是遞減數(shù)列?3.什么叫數(shù)列的通項(xiàng)公式?學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.什么是數(shù)列?什么是數(shù)列的項(xiàng)?4【數(shù)列的概念與表示】操作題:請同學(xué)們寫出下面的數(shù):(1)某地趕集的日期是逢三、逢六、逢九,按順序?qū)懗鲆粋€月中的趕集日期;(2)從小到大的正偶數(shù);(3)邊長分別是1,2,3,4,5的正方形面積;(4)第一個數(shù)是2,以后每一個數(shù)是前一個數(shù)的一半;(5)2與(-3)的1次方、2次方、3次方、4次方、…的和;(6)本學(xué)期各周的天數(shù);(7)第一、二個數(shù)都是1,以后的每一個數(shù)都等于前兩個數(shù)的和.3,6,9,13,16,19,23,26,29.2,4,6,8,10,12,….1,4,9,16,25.-1,13,-19,97,….7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7.1,1,2,3,5,8,13,21,34,….【數(shù)列的概念與表示】操作題:請同學(xué)們寫出按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng),排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫首項(xiàng)),排在第二位的叫第2項(xiàng),…,排在第n位的叫第n項(xiàng).1,2,3,…,n叫序號,數(shù)列的每一項(xiàng)都與它的序號有關(guān).{bn}.一個數(shù)列的一般形式可寫成a1，a2，a3，…，an，…或b1，b2，b3，…，bn，…簡記為{an},如:從小到大的正偶數(shù)組成的數(shù)列{an}:2,4,6,8,10,12,….a1=2,a2=4,…按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列,數(shù)列中項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.如:

我們剛寫出的一個月中的趕集日期:3,6,9,13,16,19,23,26,29.這是有窮數(shù)列.從小到大的正偶數(shù):2,4,6,8,10,12,….這是個無窮數(shù)列.從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.如上面的正偶數(shù)數(shù)列:2,4,6,8,10,12,….項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列,項(xiàng)數(shù)無限的從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫擺動數(shù)列.各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫常數(shù)列.如前面舉到的后一個數(shù)是前一個數(shù)的一半組成的數(shù)列:如前面舉到的本學(xué)期各周的天數(shù):7,7,7,7,…如前面舉到的2n+(-3)n:-1,13,-19,97,….從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)問題1.同學(xué)們寫出的七個數(shù)列,它們的首項(xiàng)各是多少?如果都用{an}的表示,那么各數(shù)列的a4是多少?哪些是有窮數(shù)列,哪些是無窮數(shù)列?哪些是遞增數(shù)列,哪些是遞減數(shù)列?哪些是常數(shù)列?哪些是擺動數(shù)列?

(1)3,6,9,13,16,19,23,26,29.

(2)2,4,6,8,10,12,….

(3)1,4,9,16,25.(4)(5)

-1,13,-19,97,-211,….

(6)7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7,7.

(7)1,1,2,3,5,8,13,21,34,….a4=13.a4=8.a4=16.a4=97.a4=7.a4=3.(1)(3)(6)是有窮數(shù)列;(2)(4)(5)(7)是無窮數(shù)列.(1)(2)(3)是遞增數(shù)列;(4)是遞減數(shù)列.(6)是常數(shù)列;(5)是擺動數(shù)列.問題1.同學(xué)們寫出的七個數(shù)列,它們練習(xí):(課本28頁“觀察”)下面的數(shù)列,哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列?(1)全體自然數(shù)構(gòu)成數(shù)列0,1,2,3,….

(2)1996~2002年某市普通高中生人數(shù)(單位:萬人)構(gòu)成數(shù)列82,93,105,119,129,130,132.

(3)無窮多個3構(gòu)成數(shù)列3,3,3,3,….

(4)目前通用的人民幣面額從大到小的順序構(gòu)成數(shù)列(單位:元)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01.

(5)

-1的1次冪,2次冪,3次冪,4次冪,…,構(gòu)成數(shù)列

-1,1,-1,1,….

(6)的精確到1,0.1,0.01,0.001,…,的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成數(shù)列1,1.4,1.41,1.414,…;2,1.5,1.42,1.415,….遞增數(shù)列遞增數(shù)列常數(shù)列遞減數(shù)列擺動數(shù)列遞增數(shù)列遞減數(shù)列練習(xí):(課本28頁“觀察”)下面的數(shù)列,問題2.觀察下列兩個數(shù)列,它們的各項(xiàng)各有什么規(guī)律?是否可以用序號來表示它們的各項(xiàng)?(1)1,3,5,7,9,…;(2)6,12,24,48,96,….第(1)個數(shù)列是正奇數(shù)數(shù)列,設(shè)這個數(shù)列為{an},各項(xiàng)用序號表示為:a1=21-1,a2=22-1,a3=23-1,a4=24-1,……an=2n-1.第(2)個數(shù)列的規(guī)律是:后一個數(shù)是前一個數(shù)的2倍,a1=23,設(shè)這個數(shù)列為{an},a2=2a1=2

23a3=2a2=2(223)=223,=233,……an=32n.問題2.觀察下列兩個數(shù)列,它們的各有些數(shù)列,它的第n項(xiàng)an可用項(xiàng)數(shù)n(n∈N+)的函數(shù)來表示,如數(shù)列1，3，5，7，9，…an=2n-1;2，5，10，17，26，…an=n2+1;3，6，12，24，48，…an=3

2n-1;0，1，0，1，0，1，…象這樣,用正整數(shù)n的關(guān)系式來表示某個數(shù)列的第n項(xiàng)an的式子，叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列也可以用列表和圖象的方法表示,它的圖象是一系列孤立的點(diǎn).數(shù)列可看成是定義在正整數(shù)集合上的函數(shù),其通項(xiàng)公式就是函數(shù)的解析式.有些數(shù)列,它的第n項(xiàng)an可用項(xiàng)例1.寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,使它的前4項(xiàng)分別是下列各數(shù):(1)1,(2)2,0,2,0.問:這兩個通項(xiàng)公式還可以寫成其它形式嗎?(1)解:符號正負(fù)相間,且第一項(xiàng)是正,可用(-1)n+1表示符號;分子恒為1,分母是正整數(shù).則通項(xiàng)可寫成(2)考慮1+1=2,1-1=0,則數(shù)列即為1+1,1-1,1+1,1-1,…則通項(xiàng)可寫成an=1+(-1)n+1.an=1-(-1)n例1.寫出下面數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,例2.如圖的三角形稱為謝賓斯基三角形.在圖中的四個三角形中,著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項(xiàng),請寫出這個數(shù)列的一個通項(xiàng)公式,并在直角坐標(biāo)系中畫出它的圖象.(1)(2)(3)(4)解:由圖知a1=1,a2=3,a3=9,a4=27,由此規(guī)律可得an=3n-1.其圖象是指數(shù)函數(shù)圖象上的4個點(diǎn).nano123413927····例2.如圖的三角形稱為謝賓斯基三角形.練習(xí):(課本31頁)第1、4題.練習(xí):(課本31頁)第1、4題.1.根據(jù)下列通項(xiàng)公式填表3(3+4n)…153……ann……5…21n21解:∵an=3(3+4n),則a1=3(3+41)=21,a2=3(3+42)=33,a5=3(3+45)=69,an=3(3+4n)=153,解得n=12.336912練習(xí):(課本31頁)1.根據(jù)下列通項(xiàng)公式填表3(3+4n)…153……ann4.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù),寫出各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:

(1)(2)(3)解:(1)數(shù)列的分母是正奇數(shù),則(2)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù),則4.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù),4.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù),寫出各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:

(1)(2)(3)解:(3)首項(xiàng)以后的每一項(xiàng)都是前一項(xiàng)的倍,a1=1,……4.數(shù)列的前5項(xiàng)分別是以下各數(shù),【課時小結(jié)】按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng),排在第n位的叫第n項(xiàng),n叫序號,排在第一位的數(shù)稱為第1項(xiàng)(通常叫首項(xiàng))數(shù)列通常用{an},{bn}等表示.如{an}中的a1,a2,…,an等.【課時小結(jié)】按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列.數(shù)列中的每一個數(shù)【課時小結(jié)】項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有窮數(shù)列.每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞增數(shù)列.每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列叫做遞減數(shù)列.各項(xiàng)都相等的數(shù)列叫常數(shù)列.大小無序的數(shù)列叫擺動數(shù)列.【課時小結(jié)】項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫做無窮數(shù)列.項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列叫做有【課時小結(jié)】用正整數(shù)n的關(guān)系式來表示某個數(shù)列的第n項(xiàng)an的式子，叫做這個數(shù)列的通項(xiàng)公式.數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù).如:an=2n-1(n

N+)是關(guān)于n的一次函數(shù),數(shù)列{an}是一個正奇數(shù)數(shù)列.(1)學(xué)會歸納簡單數(shù)列的通項(xiàng)公式;要求:(2)能根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的項(xiàng).【課時小結(jié)】用正整數(shù)n的關(guān)系式來表示某個習(xí)題2.1A組第1、3、5題.習(xí)題2.1A組第1、3、5題.習(xí)題2.1A組1.分別寫出下面的數(shù)列:(1)0~20之間的質(zhì)數(shù)按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列;(2)0~20之間的合數(shù)的正的平方根按從小到大的順序構(gòu)成的數(shù)列;(3)精確到1,10-1,10-2,10-3,…,10-6的不足近似值與過剩近似值分別構(gòu)成的數(shù)列.解:(1)2,3,5,7,11,13,17,19.(2)(3)1,1.7,1.73,1.732,1.7320,1.73205,1.732050.2,1.8,1.74,1.733,1.7321,1.73206,1.732051.習(xí)題2.1A組1.分別寫出下面的數(shù)列3.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空,并寫出各數(shù)列的一個通項(xiàng)公式:(1)(),-4,9,(),25,(),49;(2)1,(),2,(),1-16-36解:各項(xiàng)是一個平方數(shù),符號正負(fù)相間.an=(-1)n+1n2.(1)(2)各項(xiàng)是正整數(shù)的算術(shù)平方根.3.觀察下面數(shù)列的特點(diǎn),用適當(dāng)?shù)臄?shù)5.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù),在空格和括號中分別填上適當(dāng)?shù)膱D形和點(diǎn)數(shù),并寫出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項(xiàng)公式.16111473815()()()()()()162110132435an=5n-4.an=3n-2.an=(n+1)2-1.5.根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù),在2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第二課時第一課時第二課時2.1數(shù)列的概念與簡單表示法第二課時第一課時第二課時學(xué)習(xí)要點(diǎn)

1.什么是數(shù)列的遞推公式?它與通項(xiàng)公式有什么區(qū)別?學(xué)習(xí)要點(diǎn)1.什么是數(shù)列的遞推公式?27問題3.下面描述的兩個數(shù)列有什么特點(diǎn)?能寫出它們相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系嗎?(1)第一個數(shù)是2,以后每一個數(shù)是前一個數(shù)減去3的倒數(shù);(2)第一、二個數(shù)都是1,以后的每一個數(shù)都等于前兩個數(shù)的和.當(dāng)n=1時,a1=2,當(dāng)n>1時,an=(1)a1=2,=-1,……問題3.下面描述的兩個數(shù)列有什么特點(diǎn)?問題3.下面描述的兩個數(shù)列有什么特點(diǎn)?能寫出它們相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系嗎?(1)第一個數(shù)是2,以后每一個數(shù)是前一個數(shù)減去1的倒數(shù);(2)第一、二個數(shù)都是1,以后的每一個數(shù)都等于前兩個數(shù)的和.(2)當(dāng)n=1,2時,a1=a2=1,當(dāng)n>2時,an=an-1+an-2.a1=a2=1,a3=a2+a1=1+1=2,a4=a3+a2=2+1=3,a5=a4+a3=3+2=5,a6=a5+a4=5+3=8,問題3.下面描述的兩個數(shù)列有什么特點(diǎn)?如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.遞推公式也是數(shù)列的一種表示方法.如以上問題中的兩數(shù)列:(1)(2)如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前例3.

設(shè)數(shù)列{an}滿足寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng).解:a1=1,=2,例3.設(shè)數(shù)列{an}滿足寫出這個數(shù)列的前5項(xiàng).解2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an=

-1(n>1),寫出它的前5項(xiàng).解:a1=1,=12-1=0,=02-1=

-1,=(-1)2-1=0,=02-1=

-1.練習(xí):(課本31頁)2.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,

問題4.數(shù)列的遞推公式是關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)嗎?如果給定一個數(shù)列的遞推公式,然后任給一個n的值,是否能由公式直接算出第n項(xiàng)的值?數(shù)列的遞推公式與通項(xiàng)公式不同,它不是關(guān)于n的函數(shù),它是一個數(shù)列相鄰項(xiàng)的關(guān)系.如果給定了數(shù)列的通項(xiàng)公式,能直接算出第n項(xiàng).如果給定了數(shù)列的遞推公式,一般不能直接算出第n項(xiàng),需逐項(xiàng)遞推.如:給出{an}的通項(xiàng)公式為an=2n+1.a10=210+1=21.不能直接將n=10代入求得a10.若給出{an}的遞推公式為問題4.數(shù)列的遞推公式是關(guān)于正整數(shù)n【斐波拉契數(shù)列】1202年,意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契的兔子問題.設(shè)一對兔子每月能生一對小兔子,每對小兔子在它出生后第三個月里,又能生一對小兔子.如此計(jì)算,由一對初生小兔子開始,各月的兔子數(shù)如下表:時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321【斐波拉契數(shù)列】1202年,意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契的兔子時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321

問題:

(1)分別寫出初生兔子數(shù)列{an},成熟兔子數(shù)列{bn},兔子總數(shù)數(shù)列{Fn}的遞推公式.(2){Fn}與{an}、{bn}有什么關(guān)系?時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)1101時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321

問題:

(1)分別寫出初生兔子數(shù)列{an},成熟兔子數(shù)列{bn},兔子總數(shù)數(shù)列{Fn}的遞推公式.初生兔子a1=1,a2=0,an=an-1+an-2(n≥3).時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)1101時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321

問題:

(1)分別寫出初生兔子數(shù)列{an},成熟兔子數(shù)列{bn},兔子總數(shù)數(shù)列{Fn}的遞推公式.成熟兔子b1=0,b2=1,bn=bn-1+bn-2(n≥3).時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)1101時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321

問題:

(1)分別寫出初生兔子數(shù)列{an},成熟兔子數(shù)列{bn},兔子總數(shù)數(shù)列{Fn}的遞推公式.兔子總數(shù)F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3).這樣的數(shù)列稱為“斐波拉契數(shù)列”.特點(diǎn):時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)1101時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)11012011311241235235635875813881321問題:

(2){Fn}與{an}、{bn}有什么關(guān)系?Fn=an+bn.時間(月)初生兔子(對)成熟兔子(對)兔子總數(shù)(對)1101【課時小結(jié)】1.

遞推數(shù)列給出數(shù)列的首項(xiàng)或前兩項(xiàng),以后的各項(xiàng)由它的前一項(xiàng)或前兩項(xiàng)推出.遞推公式是相鄰項(xiàng)的關(guān)系式.2.

斐波拉契數(shù)列斐波拉契數(shù)列是一個遞推數(shù)列,它的前兩項(xiàng)都是1,以后各項(xiàng)都由前兩項(xiàng)的和而得,即F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3).【課時小結(jié)】1.遞推數(shù)列給出數(shù)列的首項(xiàng)或習(xí)題2.1A組第2、4、6題.B組第1、2、3題.習(xí)題2.1A組第2、4、6題.B組第1、2、32.根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫出它的前5項(xiàng):(1)

(2)

an=(-1)n+1(n2+1).解:(1)=1,a1=(-1)1+1(12+1)=2,a2=(-1)2+1(22+1)=-5,(2)a3=(-1)3+1(32+1)=10,a4=(-1)4+1(42+1)=-17,a5=(-1)5+1(52+1)=26.習(xí)題2.1A組2.根據(jù)下面數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,寫出它的前54.寫出下面數(shù)列{an}的前5項(xiàng):(1)(2)解:(1)a2=4a1+1=3,a3=4a2+1=13,=43+1a4=4a3+1=53,=413+1a5=4a4+1=213.=453+14.寫出下面數(shù)列{an}的前5項(xiàng):解:(1)a2=44.寫出下面數(shù)列{an}的前5項(xiàng):(1)(2)解:(2)=5,=5.4.寫出下面數(shù)列{an}的前5項(xiàng):解:(2)=5,6.分別寫出三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的第5項(xiàng),第6項(xiàng)和第7項(xiàng),并寫出它的一個遞推公式.解:如圖的三角形數(shù)中,第n個三角形的方塊數(shù)比前一個三角形多n塊.第4項(xiàng)為10,則第5項(xiàng)為10+5=15,第6項(xiàng)為15+6=21,第7項(xiàng)為21+7=28.遞推公式為:a1=1,an=an-1+n(n>1).6.分別寫出三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的第5B組1.下圖中的三個正方形塊中,