§2復數的四則運算2.1復數的加法與減法2.2復數的乘法與除法自主整理1.復數的加法、減法運算:(a+bi)±(c+di)=______________.2.復數的乘法運算:(a+bi)(c+di)=______________.3.兩個復數的實部相等,虛部互為相反數時,這兩個復數叫作互為__________,用__________表示.4.設z=a+bi,則=____________,z=____________.5.滿足(c+di)(x+yi)=a+bi的復數x+yi叫作____________,記作_____________或____________.高手筆記1.復數的加、減、乘、除運算后,所得的結果仍為復數.2.復數的加、減、乘法運算與多項式的運算類似.3.復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律,即對任何z1、z2、z3∈C有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.在復數范圍內,實數范圍內正整數指數冪的運算律仍然成立,即對任意復數z、z1、z2和正整數m、n有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1n·z2n.4.若z=z,則z為實數;若z+z=0(z≠0),則z為純虛數.5.根據復數所滿足的運算律,可知i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,(1+i)2=2i,(1i)2=2i,=i,=i.若設ω=+i,則1+ω+ω2=0,=ω,ω2=,=1.名師解惑理解復數的除法運算的轉化.剖析:復數的除法是復數乘法的逆運算,但每次都按乘法的逆運算將十分麻煩.我們可以用簡便方法操作:先把兩個復數相除寫成分式形式,然后把分子與分母都同乘分母的共軛復數,使分母“實數化”,最后再化簡.復數的除法與分母“有理化”的方法相類似.學習時,注意培養這種轉化的思想和類比思想.講練互動【例1】計算(6+6i)+(3i)(53i).分析:利用復數加、減法法則進行計算.解:(6+6i)+(3i)(53i)=(6+35)+(61+3)i=4+8i.綠色通道復數的加、減法運算,就是把實部與實部、虛部與虛部分別相加減,實部與實部相加減作實部、虛部與虛部相加減作虛部.變式訓練1=2+i,z2=1+2i,則復數z=z2z1對應的點位于()答案:B【例2】已知x、y∈R,且+,求x、y的值.分析:復數通分太麻煩,可將每個分母的復數化為實數,再進行計算.解:+可寫成+=,5x(1i)+2y(12i)=515i,(5x+2y)(5x+4y)i=515i,∴∴綠色通道本題為復數的除法運算,將每個分式的分母同乘分母的共軛復數,再由復數相等的定義,轉化為實數方程組.變式訓練+的值.解:原式==.【例3】計算i2006+(+)8()50.分析:利用i的冪的周期性,(1±i)2=±2i便可簡便地求出結果.解:原式=i501×4+2+(4i)4()25=1+256i=255i.綠色通道注意復數計算中常用的整體.變式訓練.解:原式===i.【例4】設|z|=1且z≠±i,證明是實數.分析:(1)z為復數可設出z=x+yi(x、y∈R),再進行運算、判斷;(2)由|z|=1轉為z=1,即=,進一步化簡.證法一:設z=x+yi(x、y∈R).則===.∵|z|=1,∴x2+y2=1.∴yx2yy3=y(1x2y2)=0.∴∈R.證法二:∵|z|=1,∴z=1.∴=.∴=.設z=a+bi,則z+=2a∈R.∴為實數.變式訓練4.已知x、y為共軛復數,且(x+y)23xyi=46i,求x、y及|x|+|y|.解:設x=a+bi,則y=abi,∴