專題01菱形的性質(zhì)與判定（3個知識點10種題型2個易錯點3種考法）【目錄】倍速學習五種方法【方法一】脈絡梳理法知識點1：菱形的定義知識點2：菱形的性質(zhì)（重難點）知識點3：菱形的判定（重難點）【方法二】實例探索法題型1：利用菱形的性質(zhì)計算題型2：利用菱形的性質(zhì)進行證明題型3：求菱形的面積題型4：利用菱形的軸對稱性解決最小值問題題型5：證明四邊形為菱形題型6：菱形的判定與性質(zhì)的綜合應用題型7：與菱形有關的探究性問題題型8：菱形中的動點問題題型9：一題多解-菱形證明題型10：菱形中的翻折與旋轉(zhuǎn)【方法三】差異對比法易錯點1菱形的面積公式應用出錯易錯點2不理解菱形的幾種判定方法而導致錯誤【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：菱形的性質(zhì)考法2：菱形的判定考法3：菱形的判定、性質(zhì)的綜合【方法五】成果評定法【知識導圖】【倍速學習五種方法】【方法一】脈絡梳理法知識點1：菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．知識點2：菱形的性質(zhì)（重難點）菱形除具有平行四邊形的一切性質(zhì)外，還有一些特殊性質(zhì)：(1)菱形的四條邊都相等；(2)菱形的兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角．（3）菱形是軸對稱圖形，它有兩條對稱軸.注意：菱形是特殊的平行四邊形，是中心對稱圖形，過中心的任意直線可將菱形分成完全全等的兩部分；(2)菱形也是軸對稱圖形，有兩條對稱軸(對角線所在的直線)，對稱軸的交點就是對稱中心；(3)菱形的面積有兩種計算方法：一種是平行四邊形的面積公式：底×高；另一種是兩條對角線乘積的一半(即四個小直角三角形面積之和)．實際上，任何一個對角線互相垂直的四邊形的面積都是兩條對角線乘積的一半．知識點3：菱形的判定（重難點）菱形的判定定理1：四條邊都相等的四邊形是菱形菱形的判定定理2：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.要點詮釋：前一種方法是在四邊形的基礎上加上四條邊相等.后兩種方法都是在平行四邊形的基礎上外加一個條件來判定菱形，例1.下列命題中，真命題是()A．一組對邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形B．等邊三角形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【方法二】實例探索法題型1：利用菱形的性質(zhì)計算例2（1）菱形的兩條對角線長的比是，邊長為10厘米，菱形的面積是_________；（2）菱形的兩條對角線長的比是2:3，面積是12cm2，則它的兩條對角線的長分別是_____cm、_____cm，該菱形的周長是_______cm．例3.（1）菱形有一個內(nèi)角為，一條較短的對角線長為6，則菱形的邊長為_________；（2）如圖，在菱形中，，，則．OO例4.如圖所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分線交對角線AC于點F，E為垂足，連接DF，求∠CDF的度數(shù)．AABCDEF題型2：利用菱形的性質(zhì)進行證明例5．已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點，DF交AC于E．求證：∠AFD=∠CBE．題型3：求菱形的面積例6.如圖所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10．求：(1)AB的長．(2)菱形ABCD的面積．題型4：利用菱形的軸對稱性解決最小值問題例7.如圖，菱形ABCD的邊長為4cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中點，P點在BD上，則PE+PC的最小值為________題型5：證明四邊形為菱形例8.如圖，中，，，平分交于，交于．求證：四邊形是菱形．題型6：菱形的判定與性質(zhì)的綜合應用例9.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，AE∥CD，CE∥AB，連接DE交AC于點O．

（1）證明：四邊形ADCE是菱形；

（2）證明：DE=BC；

（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（計算結果保留根號）．

題型7：與菱形有關的探究性問題例10.已知△ABC是等邊三角形，點D是射線BC上的一個動點（點D不與點B、C重合），△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點E作BC的平行線，分別交射線AB、AC于點F、G，連接BE．（1）如圖1所示，當點D在線段BC上時，①試說明：△AEB≌△ADC②探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由．（2）如圖2所示，當點D在BC的延長線上時，探究四邊形BCGE是怎樣特殊的四邊形，并說明理由．（3）在（2）的情況下，當點D運動到什么位置時，四邊形BCGE是菱形？并說明理由．AABCDEFGABCDGE圖1圖2

題型8：菱形中的動點問題例11.如圖，菱形ABCD的邊長為2，BD＝2，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的兩個動點且滿足AE+CF＝2．（1）判斷△BEF的形狀，并說明理由；（2）設△BEF的面積為S，求S的取值范圍．題型9：一題多解-菱形證明例12.如圖：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求證：四邊形AEFG是菱形．題型10：菱形中的翻折與旋轉(zhuǎn)例13．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，．折疊該菱形，使點A落在邊上的點M處，折痕分別與邊交于點E、F．當點M在上時，長的最大值為__________．例14．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預測）如圖，是菱形邊上的高，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)120°到的位置，若五邊形面積為，則的長度為（

）A．5 B． C．10 D．【方法三】差異對比法易錯點1菱形的面積公式應用出錯例15.一個菱形的邊長為5，一條對角線長是6，則該菱形的面積為（）A．8 B．12 C．16 D．24易錯點2不理解菱形的幾種判定方法而導致錯誤例16.下列命題中，真命題是()A．一組對邊平行且有一組鄰邊相等的四邊形是平行四邊形B．等邊三角形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形C．對角線互相垂直平分的四邊形是菱形【方法四】仿真實戰(zhàn)法考法1：菱形的性質(zhì)1．（2022?溫州）如圖，在菱形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝60°．在其內(nèi)部作形狀、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF，使點E，F(xiàn)，G，H分別在邊AB，BC，CD，DA上，點M，N在對角線AC上．若AE＝3BE，則MN的長為．考法2：菱形的判定2．（2022?嘉興）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學小潔交流．小惠：證明：∵AC⊥BD，OB＝OD，∴AC垂直平分BD．∴AB＝AD，CB＝CD，∴四邊形ABCD是菱形．小潔：這個題目還缺少條件，需要補充一個條件才能證明．若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．考法3：菱形的判定、性質(zhì)的綜合3．（2021?紹興）數(shù)學興趣小組同學從“中國結”的圖案（圖1）中發(fā)現(xiàn)，用相同的菱形縱向排列放置，可得到更多的菱形．如圖2，用2個相同的菱形放置，得到3個菱形．下面說法正確的是（）A．用3個相同的菱形放置，最多能得到6個菱形 B．用4個相同的菱形放置，最多能得到16個菱形 C．用5個相同的菱形放置，最多能得到27個菱形 D．用6個相同的菱形放置，最多能得到41個菱形【方法五】成果評定法一、單選題1．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考一模）如圖，某學校門口的伸縮門在伸縮的過程中，四邊形始終是菱形，則下列結論不一定正確的是（

）A． B． C．AB=AD D．AB=CD2．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2023·天津西青·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的四個頂點都在坐標軸上，且菱形邊長為2，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（2023春·河南南陽·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在菱形中，對角線，菱形的面積為24，則菱形的周長為（

）A．5 B．10 C．20 D．305．（2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學校校考模擬預測）如圖，是菱形邊上的高，將繞著點順時針旋轉(zhuǎn)120°到的位置，若五邊形面積為，則的長度為（

）A．5 B． C．10 D．6．（2023·河南鄭州·鄭州外國語中學校考一模）如圖所示，邊長為4的菱形中，對角線與交于點O，P為中點，Q為中點，連接，則的長為（）A． B． C． D．7．（2023·天津河西·統(tǒng)考模擬預測）如圖，菱形中的頂點O，A的坐標分別為，，點C在x軸的正半軸上，則點B的坐標為（

）A． B． C． D．二、填空題8．（2022秋·江蘇揚州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，．折疊該菱形，使點A落在邊上的點M處，折痕分別與邊交于點E、F．當點M在上時，長的最大值為__________．9．（2023·山西晉中·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在菱形中，對角線與相交于點，，，則菱形的面積為_____．10．（2023·廣西梧州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點，點P是對角線上的一個動點，已知，則的最小值是_________________11．（2023·山東德州·校考一模）如圖，在菱形中，，，，分別是邊和對角線上的動點，且，則的最小值為______．12．（2023春·廣東茂名·九年級校聯(lián)考階段練習）以菱形的對角線交點O為原點，對角線、所在直線為坐標軸，建立如圖所示的直角坐標系，的中點E的坐標為，則的中點F的坐標為__．13．（2023·江蘇常州·校考二模）如圖，在菱形中，，．點P為邊上一點，且不與點C，D重合，連接，過點A作，且，連接，則四邊形的面積為______．14．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）關于某個四邊形的三個特征描述：①對角線互相垂直；②對角線互相平分；③一組鄰邊相等．選擇其中兩個作為條件，另一個作為結論．若該命題是假命題，則選擇的條件是____________．（填序號）三、解答題15．（2023·山東濱州·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形是菱形，點為對角線的中點，點在的延長線上，，垂足為，點在的延長線上，，垂足為，(1)若，求證：四邊形是菱形；(2)若，的面積為24，求菱形的面積．16．（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，、分別為、的中點，連接并延長至點，且，點為直線上的一個動點．(1)求證：四邊形為菱形．(2)若，菱形的面積為24，求的最小值．17．（2023·北京·模擬預測）如圖：在菱形中，對角線、交于點，過點作于點，延長至點，使＝，連接．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若，，求的長．18．（2023·廣東珠海·統(tǒng)考一模）如圖，矩形的對角線，相交于點O，且，．(1)求證：四邊形是菱形．(2)若，求四邊形的面積．19．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）圖1，圖2都是由邊長為1的正方形構成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，線段的端點均在格點上，分別按要求畫出圖形．(1)在圖1中畫出等腰直角三角形，點C在格點上．(2)在圖2中畫出以為邊的菱形，點D，E在格點上．20．（2023·四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，在中，O為的中點，過點O作交于點，交于點F．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，求的長．21．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）【操作發(fā)現(xiàn)】在實踐活動課上，同學們對菱形和軸對稱進行了研究．如圖，在菱形中，為銳角，為中點，連接，點，關于直線的對稱點分別為點，，連接，．請補全圖形解答下列問題：(1)直線與有怎樣的位置關系，請說明理由；(2)延長交于點．線段與相等嗎？若相等，給出證明；若不相等，請說明理由；【拓展應用】(3)在（2）的條件下，連接，請?zhí)骄康亩葦?shù)，并說明理由．22．（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，頂點、分別在第二、三象限，交軸負半軸于點，，求頂點的坐標．23．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）如圖，四邊形是平行四邊形，延長，，使得，連接，．(1)求證：；(2)連接，已知，，當___________時，四邊形是菱形．24．（2023春·江西吉安·九年級江西省泰和中學校考階段練習）如圖，菱形中，，，點