一、無窮限廣義積分第四節(jié)廣義積分二、無界函數(shù)廣義積分第1頁一、無窮區(qū)間廣義積分例1求由曲線y=

e-x，y軸及x軸所圍成開口曲邊梯形面積.解這是一個開口曲邊梯形，為求其面積，任取b

[0,+)，在有限區(qū)間[0,b]上，以曲線y=

e-

x為曲邊曲邊梯形面積為by=

e-xyxO(0,1)第2頁y=

e-xyxbO(0,1)即當(dāng)b

+時，陰影部分曲邊梯形面積極限就是開口曲邊梯形面積，第3頁定義1

設(shè)函數(shù)

f(x)在

[a,+

)上連續(xù)，取實(shí)數(shù)

b>a，假如極限則稱此極限為函數(shù)

f(x)在無窮區(qū)間[a,+

)

上廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即存在，不然稱廣義積分發(fā)散.第4頁定義2

設(shè)函數(shù)

f(x)在

(-

,b]

上連續(xù)，取實(shí)數(shù)

a>b，假如極限則稱此極限值為函數(shù)

f(x)在無窮區(qū)間(-

,b]上廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即存在，不然稱廣義積分發(fā)散.第5頁定義3

設(shè)函數(shù)

f(x)在

(-

,+

)

內(nèi)連續(xù)，且對任意實(shí)數(shù)

c，假如廣義積分則稱上面兩個廣義函數(shù)積分之和為

f(x)在無窮區(qū)間(-

,+

)內(nèi)廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，記作即都收斂，不然稱廣義積分發(fā)散.第6頁若F(x)是f(x)一個原函數(shù)，并記則定義1，2，3中廣義積分可表示為第7頁例2求解例3

判斷解因?yàn)楫?dāng)x

+時，sinx沒有極限，所以廣義積分發(fā)散.第8頁例4

計算解

用分部積分法，得第9頁例5

判斷解故該積分發(fā)散.第10頁例6

證實(shí)廣義積分當(dāng)p>1時，收斂；當(dāng)p≤1時，發(fā)散.證

p=1時，則所以該廣義積分發(fā)散.第11頁當(dāng)

p>1時，綜合上述，該廣義積分收斂.當(dāng)

p≤1時，該廣義積分發(fā)散.

p

1時，則第12頁二、無界函數(shù)廣義積分定義4

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間

(a,b]

上連續(xù)，取e

>0，假如極限則稱此極限值為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

(a,b]上廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，不然稱廣義積分發(fā)散.且記作即存在，第13頁定義5

設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b)上連續(xù)，取e

>0，假如極限則稱此極限值為函數(shù)

f(x)在區(qū)間[a,b)上廣義積分.這時也稱廣義積分收斂，不然稱廣義積分發(fā)散.且即存在，第14頁定義6設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上除點(diǎn)c(a,b)外連續(xù)，假如下面兩個廣義積分則稱這兩個廣義積分之和為函數(shù)

f(x)在區(qū)間

[a,b]

上廣義積分，這時也稱廣義積分收斂，不然，稱廣義積分發(fā)散.記作即都收斂，第15頁若F(x)是f(x)一個原函數(shù)，則定義4，5，6中廣義積分可表示為第16頁例7