平面向量的數量積2.4.1平面向量數量積的物理背景及其含義平面向量的數量積2.4.11定義：

一般地，實數λ與向量a

的積是一個向量，記作λa，它的長度和方向規定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)當λ>0時,λa

的方向與a方向相同；當λ<0時,λa

的方向與a方向相反；特別地，當λ=0或a=0時,λa=0復習回顧(向量的數乘)定義：一般地，實數λ與向量a的積是一個2運算律：設a,b為任意向量，λ,μ為任意實數，則有：①λ(μa)=(λμ)

a②(λ+μ)a=λa+μa③λ(a+b)=λa+λb運算律：設a,b為任意向量，λ,μ為任意實數3已知兩個非零向量a和b，作OA=a，

OB=b，則∠AOB=θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角。OBAθ向量的夾角當θ＝0°時，a與b同向；OAB當θ＝180°時，a與b反向；OABB當θ＝90°時，稱a與b垂直，記為a⊥b.OAab已知兩個非零向量a和b，作OA=a，OB=b，則∠AOB=4我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖）θFS力F所做的功W可用下式計算

W=|F||S|cosθ其中θ是F與S的夾角從力所做的功出發，我們引入向量“數量積”的概念。我們學過功的概念，即一個物體在力F的作用下產生5已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cosθ叫做a與b的數量積（或內積），記作a·b

a·b=|a||b|cosθ定規定:零向量與任一向量的數量積為0。

|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（向量b在a方向上）的投影。注意：向量的數量積是一個數量。已知兩個非零向量a與b，它們的定規定:零向量6向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什么時候為負？思考：a·b=|a||b|cosθ當0°≤θ＜

90°時a·b為正；當90°＜θ≤180°時a·b為負。當θ=90°時a·b為零。向量的數量積是一個數量，那么它什么時候為正，什7重要性質:設是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地OABθ

abB1重要性質:設是非零向量，方向相同的單位向量，的夾角，則特別地8解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（-1/2）=－10例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角θ=120°，求a·b。例2已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。解：

|a|=√2,|b|=2,θ=45°∴a·b=|a||b|cosθ=√2×2×cos45°

=

2解：a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos129a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長度與的乘積。a·b的幾何意義：OABθ|b|cosθabB1等于的長10練習：1．若a=0，則對任一向量b

，有a·b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a·b≠0．3．若a≠0，a·b=0，則b=04．若a·b=0，則a·b中至少有一個為0．5．若a≠0，a·b=b·c，則a=c6．若a·b=a·c,則b≠c,當且僅當a=0時成立．7．對任意向量a有√×××××√練習：1．若a=0，則對任一向量b，有a·b=0．211二、平面向量的數量積的運算律：數量積的運算律：其中，是任意三個向量，注：二、平面向量的數量積的運算律：數量積的運算律：其中，是任意三12

則(a+b)·c=ON|c|=(OM+MN)|c|=OM|c|+MN|c|=a·c+b·c.

ONMa+bbac

向量a、b、a+b在c上的射影的數量分別是OM、MN、ON,證明運算律(3)則ONMa+bbac13例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（1）(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b＝a·a＋b·a＋a·b＋b·b＝a2＋2a·b＋b2.例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（214例3：求證：（1）(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；（2）(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.證明：（2）(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b＝a·a＋b·a－a·b－b·b