2021年山東省聊城市鳳凰中學(xué)高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是A．

B．C．

D．參考答案：D2.已知橢圓與雙曲線（m，n，p，q∈R+）有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是兩曲線的一個(gè)公共交點(diǎn)．則|PF1|?|PF2|的值是(

)A．p2﹣m2 B．p﹣m C．m﹣p D．m2﹣p2參考答案：C【考點(diǎn)】圓錐曲線的共同特征．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】設(shè)|PF1|＞|PF2|，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可分別表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|﹣|PF2|，進(jìn)而可表示出|PF1|和|PF2|，根據(jù)焦點(diǎn)相同可求得m﹣n=p+q，整理可得m﹣p=n+q，進(jìn)而可求得|pF1|?|pF2|的表達(dá)式．【解答】解：由橢圓和雙曲線定義不妨設(shè)|PF1|＞|PF2|則|PF1|+|PF2|=2|PF1|﹣|PF2|=2所以|PF1|=+|PF2|=﹣∴|pF1|?|pF2|=m﹣p∵焦點(diǎn)相同c2=m﹣n=p+q∴m﹣p=n+q所以|pF1|?|pF2|=m﹣p或n+q故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓錐曲線的共同特征，橢圓和雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生的綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．3.在△ABC中，，若此三角形有兩解，則b的范圍為（

）

A．

B．b>2

C．b<2

D．參考答案：A略4.若，則A．

B．

C．

D．參考答案：A略5.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則（x﹣3）2+y2的最小值是（）A． B．8 C．20 D．2參考答案：A【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【專(zhuān)題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】先畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，根據(jù)（x﹣3）2+y2的幾何意義求出其最小值即可．【解答】解：畫(huà)出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：，由圖象得P（3，0）到平面區(qū)域的最短距離dmin=，∴（x﹣3）2+y2的最小值是：．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合思想，是一道基礎(chǔ)題．6.i為虛數(shù)單位，則=（）A．﹣i B．﹣1 C．i D．1參考答案：A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，然后代入計(jì)算得答案．【解答】解：，則=i2007=（i4）501?i3=﹣i．故選：A．7.在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱(chēng)之為鱉臑.已知在鱉臑中平面，，則該鱉臑的外接球與內(nèi)切球的表面積之和為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，若，則a的最大值是（

）A.2018

B.2010

C.2020

D.2011參考答案：D由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，可得：，即，故函數(shù)的周期為12．令，解得，∴在上的根為5，7；又，∴的最大值在上，即，故選D．

9.復(fù)數(shù)等于

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略10.若直線與直線垂直，則實(shí)數(shù)A．3 B．0 C． D．參考答案：D由題意可得.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（極坐標(biāo)系與參數(shù)方程）極坐標(biāo)系下曲線表示圓，則點(diǎn)到圓心的距離為

；參考答案：12.在平面直角坐標(biāo)系中，若中心在坐標(biāo)原點(diǎn)上的雙曲線的一條準(zhǔn)線方程為，且它的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸進(jìn)線方程為

.參考答案：略13.已知，且的夾角為銳角，則的取值范圍是_______。參考答案：(-∞，-)∪(-，)略14.如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c為實(shí)數(shù)，a≠0）的圖象過(guò)點(diǎn)C（t，2），且與x軸交于A，B兩點(diǎn)，若AC⊥BC，則a的值為．參考答案：﹣【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】計(jì)算題．【分析】設(shè)A（x1，0），B（x2，0），由題意可得t2+bt+c=2，由AC⊥BC，可得=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0，代入根據(jù)方程的根與系數(shù)關(guān)系可求a【解答】解：設(shè)A（x1，0），B（x2，0）∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過(guò)點(diǎn)C（t，2），∴at2+bt+c=2∵AC⊥BC，∴=（x1﹣t，﹣2）?（x2﹣t，﹣2）=0∴∴即at2+bt+c+4a=0∴4a+2=0∴故答案為：﹣【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)中的參數(shù)，解題中注意整體思想的應(yīng)用．15.設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x＋1，則=_______________。參考答案：16.設(shè)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則x取值集合是

.參考答案：17.曲線y=x﹣cosx在點(diǎn)（，）處的切線的斜率為

．參考答案：2【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義代入x=，計(jì)算即可得到所求切線的斜率．【解答】解：y=x﹣cosx的導(dǎo)數(shù)為y′=1+sinx，可得曲線在點(diǎn)（，）處的切線的斜率為1+sin=1+1=2．故答案為：2．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R）（1）當(dāng)x＞1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）若對(duì)于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，求k的取值范圍．（3）若x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1x2＜e2k．參考答案：【分析】（1）由題意x＞0，=lnx﹣k，由此根據(jù)k≤0，k＞0利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)分類(lèi)討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．（3）設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明x1x2＜e2k．【解答】解：（1）∵f（x）=（lnx﹣k﹣1）x（k∈R），∴x＞0，=lnx﹣k，①當(dāng)k≤0時(shí)，∵x＞1，∴f′（x）=lnx﹣k＞0，函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（1，+∞），無(wú)單調(diào)減區(qū)間，無(wú)極值；②當(dāng)k＞0時(shí)，令lnx﹣k=0，解得x=ek，當(dāng)1＜x＜ek時(shí)，f′（x）＜0；當(dāng)x＞ek，f′（x）＞0，∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（1，ek），單調(diào)減區(qū)間是（ek，+∞），在區(qū)間（1，+∞）上的極小值為f（ek）=（k﹣k﹣1）ek=﹣ek，無(wú)極大值．（2）∵對(duì)于任意x∈[e，e2]，都有f（x）＜4lnx成立，∴f（x）﹣4lnx＜0，即問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（x﹣4）lnx﹣（k+1）x＜0對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，即k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，令g（x）=，則，令t（x）=4lnx+x﹣4，x∈[e，e2]，則，∴t（x）在區(qū)間[e，e2]上單調(diào)遞增，故t（x）min=t（e）=e﹣4+4=e＞0，故g′（x）＞0，∴g（x）在區(qū)間[e，e2]上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）max=g（e2）=2﹣，要使k+1＞對(duì)于x∈[e，e2]恒成立，只要k+1＞g（x）max，∴k+1＞2﹣，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是（1﹣，+∞）．證明：（3）∵f（x1）=f（x2），由（1）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，ek）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（ek，+∞）上單調(diào)遞增，且f（ek+1）=0，不妨設(shè)x1＜x2，則0＜x1＜ek＜x2＜ek+1，要證x1x2＜e2k，只要證x2＜，即證＜，∵f（x）在區(qū)間（ek，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x2）＜f（），又f（x1）=f（x2），即證f（x1）＜，構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）﹣f（）=（lnx﹣k﹣1）x﹣（ln﹣k﹣1），即h（x）=xlnx﹣（k+1）x+e2k（），x∈（0，ek）h′（x）=lnx+1﹣（k+1）+e2k（+）=（lnx﹣k），∵x∈（0，ek），∴l(xiāng)nx﹣k＜0，x2＜e2k，即h′（x）＞0，∴函數(shù)h（x）在區(qū)間（0，ek）上單調(diào)遞增，故h′（x）＜h（ek），∵，故h（x）＜0，∴f（x1）＜f（），即f（x2）=f（x1）＜f（），∴x1x2＜e2k成立．19.已知直線l過(guò)拋物線C：的焦點(diǎn)，且垂直于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，l與拋物線兩交點(diǎn)間的距離為2.(1)求拋物線C的方程;(2)若點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)(－2,4)的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA與PB的斜率分別為和.求證：為定值，并求出此定值.參考答案：（1）由題意可知，，拋物線的方程為. （4分）（2）已知點(diǎn)，設(shè)直線的方程為：，，則，，聯(lián)立拋物線與直線的方程消去得可得，，代入可得.因此可以為定值，且該定值為. （12分）20.選修4﹣1幾何證明選講已知△ABC中AB=AC，D為△ABC外接圓劣弧，上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A、C重合），延長(zhǎng)BD至E，延長(zhǎng)AD交BC的延長(zhǎng)線于F．（I）求證．∠CDF=∠EDF（II）求證：AB?AC?DF=AD?FC?FB．參考答案：【考點(diǎn)】與圓有關(guān)的比例線段；圓周角定理．【專(zhuān)題】綜合題．【分析】（I）根據(jù)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，從而得解．（II）證明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD?AF，因?yàn)锳B=AC，所以AB?AC=AD?AF，再根據(jù)割線定理即可得到結(jié)論．【解答】證明：（I）∵A，B，C，D四點(diǎn)共圓，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，7分對(duì)頂角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF∵∠BAD=∠FAB∴△BAD∽△FAB∴∴AB2=AD?AF∵AB=AC∴AB?AC=AD?AF∴AB?AC?DF=AD?AF?DF根據(jù)割線定理DF?AF=FC?FB∴AB?AC?DF=AD?FC?FB【點(diǎn)評(píng)】本題以圓為載體，考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，考查等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形的相似，屬于基礎(chǔ)題．21.已知函數(shù)f(x)=x2－1(x≥1)的圖象是C1，函數(shù)y=g(x)的圖象C2與C1關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)．(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M；(2)對(duì)于函數(shù)y=h(x)，如果存在一個(gè)正的常數(shù)a，使得定義域A內(nèi)的任意兩個(gè)不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(huán)(x2)|≤a|x1－x2|成立，則稱(chēng)函數(shù)y=h(x)為A的利普希茨Ⅰ類(lèi)函數(shù)．試證明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ類(lèi)函數(shù)．參考答案：解析：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，∴f－1(x)=

(x≥0)，即C2：g(x)=，M={x|x≥0}．

(2)對(duì)任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，則有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0．∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|．∴y=g(x)為利普希茨