廣西壯族自治區桂林市堡里鄉中學2021年高三數學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數的圖象與軸相交于點P,

則曲線在點P的切線方程為（A）

（B）

（C）

（D）

參考答案：A2.已知等比數列的前項和為則的值為

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.“”是“”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A4.已知向量，則的值為A．-1

B．7

C．13

D．11參考答案：.試題分析：因為，所以應選.考點：1、平面向量的數量積；5.設函數，對任意恒成立，則實數的取值范圍是（）

A.B.C.D.參考答案：C略6.定義在R上的函數f（x）既是偶函數又是周期函數．若f（x）的最小正周期是π，且當x∈[0，]時，f（x）=sinx，則f（）的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．參考答案：D7.設集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，則CUM=（）A．U

B．{1，3，5}

C．{3，5，6}

D．{2，4，6}參考答案：C解析∵集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，則CUM={3，5，6}，故選C．8.已知集合，｛-1，0，1，2，3｝，則=（

）A．｛0，1，2｝

B．｛-1，0，1，2｝

C．{-1，0，2，3}

D．{0，1，2，3}參考答案：A試題分析：由，解得：-1＜x＜3，即M={x|-1＜x＜3}，∵N={-1，0，1，2，3}，∴M∩N={0，1，2}．故選A．考點：集合間交、并、補的運算9.設奇函數在上是增函數，且．若函數，對所有的都成立，則當時，的取值范圍是（

）A．

B．或或

C．

D．或或參考答案：答案：B10.設函數，則下列結論錯誤的是（）A．D（x）的值域為{0，1} B．D（x）是偶函數C．D（x）不是周期函數 D．D（x）不是單調函數參考答案：C【考點】分段函數的解析式求法及其圖象的作法．

【專題】證明題．【分析】由函數值域的定義易知A結論正確；由函數單調性定義，易知D結論正確；由偶函數定義可證明B結論正確；由函數周期性定義可判斷C結論錯誤，故選D【解答】解：A顯然正確；∵=D（x），∴D（x）是偶函數，B正確；∵D（x+1）==D（x），∴T=1為其一個周期，故C錯誤；∵D（）=0，D（2）=1，D（）=0，顯然函數D（x）不是單調函數，故D正確；故選：C．【點評】本題主要考查了函數的定義，偶函數的定義和判斷方法，函數周期性的定義和判斷方法，函數單調性的意義，屬基礎題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數為奇函數，則

參考答案：因為，所以由，得，即．12.平面向量的夾角為，，，則

．參考答案：13.下列命題結論中錯誤的有

．①命題“若x=，則sinx=”的逆命題為真命題②設a，b是實數，則a＜b是a2＜b2的充分而不必要條件③命題“?x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x2+x+1＞0”④函數f（x）=lnx+x﹣在區間（1，2）上有且僅有一個零點．參考答案：①②③【考點】命題的真假判斷與應用；充要條件．【專題】函數的性質及應用；簡易邏輯．【分析】寫出原命題的逆命題，可判斷①；根據充要條件的定義，可判斷②；寫出原命題的否定，可判斷③；判斷函數的零點個數，可判斷④．【解答】解：命題“若x=，則sinx=”的逆命題為“若sinx=，則x=”，為假命題，故①錯誤；設a，b是實數，則a＜b時，a2＜b2不一定成立，a2＜b2時，a＜b不一定成立，故a＜b是a2＜b2的既不充分而不必要條件，故②錯誤；命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“?x∈R，都有x2+x+1≥0”，故③錯誤；函數f（x）=lnx+x﹣在區間（1，2）上單調遞增，且f（1）?f（2）=?（ln2+）＜0，故函數f（x）=lnx+x﹣在區間（1，2）上有且僅有一個零點，故④正確；故錯誤的結論有：①②③，故答案為：①②③【點評】本題以命題的真假判斷為載體，考查了四種命題，充要條件，存在性命題的否定，零點存在定理，難度中檔．14.若函數f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2時取得最小值，則實數m的取值范圍是．參考答案：[5，+∞）【考點】函數的最值及其幾何意義．【分析】根據條件可得，化為分段函數，根據函數的單調性和函數值即可得到則解得即可．【解答】解：當x＜1時，f（x）=1﹣x+2m﹣mx+18﹣6x=19+2m﹣（m+7）x，當1≤x＜2時，f（x）=x﹣1+2m﹣m，x+18﹣6x=17+2m﹣（m+5）x，f（1）=12+m，2≤x＜3時，f（x）=x﹣1+mx﹣2m+18﹣6x=17﹣2m+（m﹣5）x，f（2）=7，當x≥3時，f（x）=x﹣1+mz﹣2m+6x﹣18=﹣19﹣2m+（m+7）x，f（3）=m+2，若函數f（x）=|x﹣1|+m|x﹣2|+6|x﹣3|在x=2時取得最小值，則解得m≥5，故m的取值范圍為[5，+∞），故答案為：[5，+∞），15.已知滿足，則函數的最小值是__________。參考答案：

答案:16.如圖所示，是定義在區間上的奇函數，令，并有關于函數的四個論斷：①若，對于內的任意實數，恒成立；②函數是奇函數的充要條件是；③任意，的導函數有兩個零點；④若，則方程必有3個實數根；其中，所有正確結論的序號是________參考答案：①②17.已知函數，若函數的圖象在點處切線的傾斜角為，則___________.參考答案：【知識點】利用導數研究曲線上某點切線方程．B114

解析：由題意，函數在點處的切線斜率是，即，又，所以，即.故答案為：4.【思路點撥】先求出函數f（x）的導函數，然后根據函數f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率等于1，建立關于a的方程，解之即可．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分14分）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥AC，PA=PB=PC=3，AB=，AC=2．(Ⅰ)求證：平面PBC⊥平面ABC；(Ⅱ)求二面角A-PB-C的正切值． 參考答案：(Ⅰ)設D為BC的中點，連結AD，DP. 因為AD⊥AC，所以DA=DB=DC.……………2分 因為PA=PB=PC，所以△PAD≌△PBD≌△PCD， 所以∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°，即PD⊥平面ABC ……………5分 因為PD平面PBC，所以平面PBC⊥平面ABC.

……………7分 (Ⅱ)證明：過A作AE⊥BC于E，過E作EG⊥PB于G，連結AG.由(Ⅰ)平面PBC⊥平面ABC，且平面PBC∩平面ABC=BC，所以AE⊥平面PBC，∴AE⊥PB，

…………… 9分 又EG⊥PB，且AE，EG平面AEG，AE∩EG=E，所以PB⊥平面AEG， 又AG平面AEG，所以PB⊥AG；

所以∠AGE即為二面角A-PB-C的平面角.

…………… 11分在Rt△ABC中，AB=，AC=2，可得∠ABC=30°，AD=2，所以AE=，BE=3，PD=，在等腰△PBC中，PB=3，AC=2，可得sin∠PBC=，所以EG=，所以，在Rt△AEG中，tan∠AGE=，即二面角A-PB-C的正切值為.………………… 14分19.某地區進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當地有N人，若逐個檢驗就需要檢驗N次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有k個人，把這個k個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這k個人的血液全為陰性，因而這k個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個k個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這k個人再逐個進行檢驗，這時k個人的檢驗次數為k+1次.假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為p.（Ⅰ）為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若，求3人中恰好有1人檢測結果為陽性的概率；（Ⅱ）設為k個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數.①當，時，求的分布列；②是運用統計概率的相關知識，求當k和p滿足什么關系時，用分組的辦法能減少檢驗次數.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析，②當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.【分析】（Ⅰ）根據獨立重復試驗概率公式得結果;（Ⅱ）①先確定隨機變量，再分別計算對應概率，列表可得分布列，②先求數學期望，再根據條件列不等式，解得結果.【詳解】（Ⅰ）對3人進行檢驗，且檢驗結果是獨立的，設事件：3人中恰有1人檢測結果陽性，則其概率

（Ⅱ）①當，時，則5人一組混合檢驗結果為陰性的概率為，每人所檢驗的次數為次，若混合檢驗結果為陽性，則其概率為，則每人所檢驗的次數為次，故的分布列為

②分組時，每人檢驗次數的期望如下∴不分組時，每人檢驗次數為1次，要使分組辦法能減少檢驗次數，需即所以當時，用分組的辦法能減少檢驗次數.【點睛】求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，第二步是“探求概率”，第三步是“寫分布列”，第四步是“求期望值”.20.本小題滿分12分）2000輛汽車通過某一段公路時的時速的頻率分布直方圖如右圖所示.問；（Ⅰ）時速在的汽車大約有多少輛？（Ⅱ）如果每個時段取中值來代表這個時段的平均速度，如時速在的汽車其速度視為55，請估算出這2000輛汽車的平均速度.參考答案：解：（Ⅰ）據表知，時速在的頻率為0.3所以時速在的汽車約有2000×0.3=600輛------------------------------4分（Ⅱ）據表可知速度為45的汽車約占總數的0.1速度為55的汽車約占總數的0.3速度為65的汽車約占總數的0.4速度為75的汽車約占總數的0.2

--------------------------------------------8分所以這2000輛汽車的速度之和為（速度單位）所以平均速度約為（速度單位）---------------------------------------------12分21.已知