第頁共頁空間全柔性機構位置分析^p的剛度矩陣法空間全柔性機構位置分析^p的剛度矩陣法2023第一年6月第28卷第3期北京航空航天大學學報JournalofBeijingUniversityofAeronauticsandAstronauticsJune2023Vol.28No13空間全柔性機構位置分析^p的剛度矩陣法于靖軍畢樹生宗光華(北京航空航天大學機械工程及自動化學院)摘要:柔性機構是一種依靠構件元素的彈性變形傳輸所希望運動的機構.具有集中柔度的全柔性機構是其中的一種類型.由于空間全柔性機構中存在球副,使得目前通用的偽剛體模型法受到限制,為此提出了一種擴展偽剛體模型法.并以62RSS并聯全柔性機構為例對其位置解問題進展了分析^p:首先利用構造分析^p中的位移法建立起柔性鉸鏈的剛度模型，建立起機構的變形協調方程、,.該方法充分考慮了機構中彈性構件的變形,.鍵:;柔性鉸鏈;偽剛體模型:A文章編號:100125965(2023)0320323204柔性機構是一種靠構件元素具有的柔性來輸[1]出運動或力的機構.全柔性機構是其中的一種典型.它包括兩種:一種是集中柔度的全柔性機構,其特征是用柔性運動副代替全部傳統運動副,與構件合為一體,柔性分布集中在運動副上.另一類是分布柔度的全柔性機構,其特征是柔性相對平衡地分布在整個機構中.由于全柔性機構具有免于裝配、無間隙和摩擦等優點,故在微電機系統及微操作等領域中得到廣泛應用.在對集中柔度的全柔性機構研究中,文獻[2]推導了柔性鉸鏈的變形表達式;文獻[3],[4]對平面全柔性機構的分析^p與綜合問題進展了較為系統的研究,提出了一種“偽剛體模型”法.但球副等因素的存在限制了現有的偽剛體模型法在空間機構中的應用.國內也對全柔性機構進展了一定的探[5]索.從總體看,目前國內外對全柔性機構的研究仍處于起步階段,尤其對集中柔度的空間全柔性機構的分析^p尚缺乏有效的理論指導.為此提出了一種剛度矩陣法,主要擬對空間全柔性機構位置解問題進展討論.首先利用構造分析^p的位移法建立起柔性鉸鏈的剛度模型,在此根底上,通過坐標轉換,建立起單元節點與終端的力平衡方程、閉環位置方程及變形協調方程,聯立求解可得到機構的位置解.1偽剛體模型法偽剛體模型法可用于設計和分析^p具有短長度柔性轉動副的柔性機構,尤其合適于集中柔度的平面全柔性機構的分析^p與設計.該方法首先將彈性桿(或鉸鏈)模型等效簡化為相應的剛性桿模型,即重構機構的“偽剛體模型”,然后再沿用大家所熟悉的用于剛性體中對機構進展分析^p與綜合的方法(拓撲構造法、圖論、矢量分析^p法等),加之能量法(如虛功原理等)的運用,即可實如今保證了精度的同時也使問題的求解得以簡化.用以分析^p和設計平面全柔性機構運動學問題的這種偽剛體模型法已得到了較為系統的研究,但該方法對分析^p空間機構卻存在著“先天缺乏”.2柔性鉸鏈的剛度模型圖1給出了兩種型式的柔性鉸鏈.可以將柔性鉸鏈看作變截面的變形單元,承受拉彎扭組合的空間變形.下面建立一般形式柔性鉸鏈的變形剛度矩陣.柔性鉸鏈單元兩端的節點分別設為1和2,在受到節點力的作用下產生空間變形,根據構造分析^p的.位移法可建立以下形式的方程:Δ=FA(1)收稿日期:2000210208基金工程:國家自然科學基金資助工程(50075010);863方案資助工程(98204226)作者簡介:于靖軍(1974-),男,河北盧龍人,博士生,100083,北京.324北京航空航天大學學報2023年標軸方向與OAxAyAzA一致.C點坐標系{3}為OCxCyCzC.D點坐標系{4}為ODxDyDzD,E點坐標系{5}為OExEyEzE,F點的坐標系{6}為OFxFyFzF,{3}～{6}坐標系方向一致,z軸沿DE方向,其初始位置相對OAxAyAzA的方向余旋矩陣為R0.運動平臺上的參考點P的坐標系{P}為圖1柔性鉸鏈的類型K11K12K21KK11K12K21KTT1ΔOpxpypzp,相對參考坐標系的方向余旋矩陣為Rp.=F1F(2)詳細如圖2所示.式中K=為柔性鉸鏈單元剛度矩Δ陣;Δ=Δ1F=F1F為柔性鉸鏈單元節點位移;TδixiziΔi=δ=Fi=fxifyifzimximyimi=1,2T(3)(4)圖262RSS機構分支構造及坐標系的建立文獻[6]給出了確定柔性鉸鏈單元變形矩陣的方法和詳細表達式.由此很容易確定具有柔性鉸鏈型式的轉動副和球副的剛度矩陣表達式.各坐標系的方向余旋矩陣表示如下:iRi+1=Rθi,θi,θixyzRi+1=R0Ri+1=Ii=1,3,5i=2i=43位置分析^p的擴展偽剛體法本質上,空間全柔性機構是一種構造體,因此采用構造分析^p的方法應更為適宜些.但構造本身的復雜性勢必帶來分析^p上的不便,為簡化運動分析^p并考慮到這類機構多用于微動,可提出以下假設:機構中只有柔性鉸鏈產生彈性變形,且變形在線彈性極限之內,構件本身視為剛性;另外,在運動學分析^p時可忽略慣性力的影響.基于以上假設,下面給出了兩種全柔性機構位置分析^p的方法.前者采用的是剛度矩陣法,而后者在應用剛度矩陣法的同時還利用了偽剛體模型假設.為與前面所提的偽剛體模型法相統一,本文將這兩種方法均稱為“擴展偽剛體模型法”.3.1全柔性機構位置分析^p的剛度矩陣法為方便分析^p并不失一般性,本節以一詳細的空間全柔性機構為例,說明這種機構的位置分析^p方法.該機構采用62RSS空間并聯型式.給定輸入T角位移Ω=<1<2<3<4<5<,運動平臺的輸出位置P=xpypzpφpθpψ3.1.1坐標系的建立Tii(5)3.1.2力平衡方程在相鄰單元共同的節點上,所受的節點力應滿足平衡條件.由平衡條件得到:(1F2)0+(3F2)0=0(6)(3F4)0+(5F4)0=0(7)而分支中各柔性鉸鏈單元(AB,CD,EF)變形方程為ii(8)Fi=Ki,i+1Δi+1iFi+1=Ki+1,i+1Δi+1i(9)分支中各剛性構件單元(BC,DE,FP)變形方程可由下面公式得到:i+1i+1(10)Fi+1=SiFi式中(iΔi+1)0=0TiiΔi+1(iFi+1)0=0TiiFi+1(iFi)0=0Ti-1iFi+1(11)(12)(13).其中選定其中一分支,參考坐標系為Oxyz,A點坐標系{1}為OAxAyAzA,其坐標軸的方向與參考坐標系一致.B點坐標系{2}為OBxByBzB,其初始坐Ti=Ri00-IDiRSi=0-(14)第3期于靖軍等:空間全柔性機構位置分析^p的剛度矩陣法i325Fi+1為坐標系{i+1}原點相對坐標系{i}所受節ii類似.詳細如圖3所示.點力;(Fi+1)0為Fi+1在參考坐標系中的表示;Si為轉移矩陣;Di為3×3維常數陣,僅與桿長有關;I為3×3維單位陣.以上公式中i=1,3,5.將式(8)～(14)代入式(6)及(7)中,可得到如下形式的關系式:13(15)A11(Δ2)0=A12(Δ4)0A21(Δ4)0=A22(Δ6)0635(16)機構運動平臺在靜力平衡下滿足合力為零.Fw=k=1∑(PF6k)0(17)圖式中Fw為作用在運動平臺上的外力,一般情況下;(F6k)0力;k為分支數.中,5于(Δ6k)0A31(Δ6k)0+A32=05p:0,13iR2=R0R4=IRi+1=Rθi,θi,θii=2,4xyz(23)(18)3.1.3空間矢量閉環位置方程OA+AB+BC+CD+DE+EF+FP=OP3.2.2力平衡方程(19)代入相關公式可得到如下形式的方程:(1Δ2p)0+(3Δ4p)0+(5Δ6p)0+A40=0(20)3.1.4變形協調方程在相鄰單元共同的節點上,所受的節點力應滿足平衡條件.對于節點3,可由平衡條件得到:(2F3)0+(4F3)0=0(24)分支中柔性鉸鏈單元(CD,EF)變形方程可由式(8)和(9)計算(公式中i=2,4),剛性構件單元DE變形方程可由公式(10)得到(公式中i=3).將以上所得結果代入到式(24),可得到如下形式的關系式:24A11(Δ3)0+A12(Δ5)0=0(25)考慮到柔性鉸鏈單元CD相對柔性鉸鏈單元EF的角度關系,可建立起如下形式的關系式:(3Δ4r)0+(5Δ6r)0+A50=0(21)式中(Δi+1)0=i(iΔi+1p)0(iΔi+1r)0i=1,3,5(22)在微動條件下機構上平臺滿足靜力平衡條件,故在參考點P處合力為零.代入相關公式到4式(17)中,可得到該式是關于(Δ5k)0的方程:A21(Δ5k)0+A22=04(16)、(18)、(20)和(21)組成方聯立式(15)、(26)程組,總共有108個未知變量,108個方程,方程可解.根據此方程組可求得62RSS全柔性機器人機構的位置正反解.顯然,方程組的求解是非常復雜的,不過可通過數值法求得結果.3.2基于偽剛體模型法的全柔性機構位置分析^p本節的分析^p仍以62RSS空間全柔性機構為例.機構的根本參數設定與上一節一致,而且在分析^p方法上也根本一致,不同之處在于對R副(轉動副)的處理上.根據偽剛體模型法的假設,可將柔性R副等效為繞某一點轉動的剛性桿(剛度為keq).3.2.1坐標系的建立3.2.3空間矢量閉環位置方程OA+AC+CD+DE+EF+FP=OP(27)代入相關公式可得到如下形式的方程:(2Δ3p)0+(4Δ5p)0+A30=0(28)3.2.4變形協調方程考慮到柔性鉸鏈單元CD相對柔性鉸鏈單元EF的角度關系,可建立起如下形式的關系式:(2Δ3r)0+(4Δ5r)0+A40=0(29)聯立式(28)和(29)可得(2Δ3)0+(4Δ5)0+A50=0(30)選定其中一分支,坐標系建立方式與3.1.1節(26)和(30)組成方程組,總共有78聯立式(25)、個未知變量,78個方程,顯然方程組可解.根據此326北京航空航天大學學報2023年cation,andabstractionsofpliantmechanisms[J].TransactionsoftheASME,JournalofMechanicalDesign,1994,116(1):270～279.[2]ParosJM,WeisbordL.Howtodesignflexurehinges[J].MachineDesign,1965,37(27):151～156.[3]HerI,ChangJC.Alinearschemeforthedisplacementanalysisofmicropositioningstageswithflexurehinges[J].TransactionsoftheASME,JournalofMechanicalDesign,1994,116(3):770～776.[4]HowellLL,MidhaA.Amethodforthedesignofpliantmecha2nismswithsmall2lengthflexuralpivots[J].TransactionsoftheASME,JournalofMechanicalDesign,1994,116(1):280～290.[5]安輝.壓電陶瓷驅動六自由度并聯微動機器人的研究[D].哈爾濱:,1995.[]:燕山大學機械方程組可求得機構的位置解.4結論本文從柔性鉸鏈的剛度矩陣出發,對空間全柔性機構的位置解求解方法進展了討論.同以前處理空間全柔性機構運動學問題所應用的方法相比,本文提出的求解方法充分考慮了機構的彈性變形,所建立的數學模型更接近于實際.由于本文討論的重點是在求解方法的研究上,所以并未給出其算例.參考文獻[1]MidhaA,NortonTW,HowellLL.the,2StiffnessMatrixMethodforDisplacementAnalysisofFullySpatialpliantMechanismsYUJing2junBIShu2shengZONGGuang2hua(BeijingUniversi