角平分線觀察領悟作法，探索思考證明方法：AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢＮ于．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內部交于Ｃ．３．作射線ＯＣ．射線ＯＣ即為所求．尺規作角的平分線AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？

OＯ想一想：已知：OM=ON，MC=NC。求證：OC平分∠AOB。證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB角平分線上的點到角兩邊的距離相等2、角的平分線的性質:OCB1A2PDEPD⊥OA，PE⊥OB∵

OC是∠AOB的平分線∴PD=PE用數學語言表述：已知：OC平分∠AOB，點P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E求證:PD=PEAOBEDPC例1：證:∵

OC平分∠AOB，

PD⊥OA，PE⊥OB

∴∠AOC=∠COB,∠PEO=PDO

∵

OP=OP

∴Rt△PDO≌Rt△PEO∴PD=PE條件結論性質定理一個點在角平分線上這個點到角兩邊的距離相等逆命題一個點到角兩邊的距離相等這個點在角平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．思考反過來，到一個角的兩邊的距離相等的點是否一定在這個角的平分線上呢？證明:∵

QD⊥OA，QE⊥OB（已知），∴∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定義）

在Rt△QDO和Rt△QEO中

QO＝QO（公共邊）

QD=QE

∴Rt△QDO≌Rt△QEO（HL）∴∠QOD＝∠QOE∴點Q在∠AOB的平分線上已知：如圖,QD⊥OA，QE⊥OB，點D、E為垂足，QD＝QE．求證：點Q在∠AOB的平分線上．判定：到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE∴點Q在∠AOB的平分線上．用數學語言表示為：性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE用數學語言表示為：如圖,△ABC的角平分線BM,CN相交于點P,

求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等∵BM是△ABC的角平分線,點P在BM上,ABCPMNDEF∴PD=PE

(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴PD＝PE=PF.即點P到三邊AB、BC、CA的距離相等證明：過點P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F證明：過點F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于MGHM∵點F在∠BCE的平分線上，FG⊥AE，FM⊥BC∴FG＝FM又∵點F在∠CBD的平分線上，FH⊥AD，FM⊥BC∴FM＝FH∴FG＝FH∴點F在∠DAE的平分線上如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點F，求證：點F在∠DAE的平分線上．利用結論，解決問題練一練

1、如圖，為了促進當地旅游發展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個度假村.要使這個度假村到三條公路的距離相等,應在何處修建?想一想

在確定度假村的位置時,一定要畫出三個角的平分線嗎?你是怎樣思考的?你是如何證明的?2、直線表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有:()

A.一處B.兩處

C.三處D.四處分析:由于沒有限制在何處選址,故要求的地址共有四處。拓展與延伸P1P2P3P4l1l2l3到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。∵

QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴點Q在∠AOB的平分線上．用數學語言表示為：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.∵

QD⊥OA,QE⊥OB,點Q在∠AOB的平分線上∴QD＝QE課堂小結用數學語言表示為：

1.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等

2.角平分線的判定定理:到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角平分線上。

3.角平分線的性質定理和角平分線的判定定理是證明角相等、線段相等的新途徑.3.9角的平分線ODEABPC定理1在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。定理2到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上。角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點的集合3.14線段的垂直平分線定理