2．3數學歸納法學習目標1.了解數學歸納法的原理．2．能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題．知能優化訓練課前自主學案

2．3課堂互動講練課前自主學案溫故夯基歸納推理的一般步驟(1)實驗、觀察：通過觀察________發現某些相同性質．(2)概括、推廣：從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題，并且在一般情況下，如果歸納的個別情況越多，越具有代表性，那么推廣的一般性結論也就越可靠．(3)猜測一般性結論：通過實例去分析、歸納問題的一般性命題．個別事物知新益能1．數學歸納法一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取第一個值_________時命題成立；(2)(歸納遞推)假設_________________時命題成立，證明當_______時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有_______都成立．上述證明方法叫做__________．n＝k＋1正整數n數學歸納法n0(n0∈N*)n＝k(k≥n0，k∈N*)2．用框圖表示數學歸納法的步驟問題探究數學歸納法的兩個步驟之間有怎樣的聯系？提示：第一步是驗證命題遞推的基礎，第二步是論證命題遞推的依據，這兩個步驟缺一不可．課堂互動講練用數學歸納法證明與正整數有關的等式命題時，關鍵在于“先看項”，弄清等式兩邊的構成規律，等式的兩邊各有多少項，項的多少與n的取值是否有關，由n＝k到n＝k＋1時，等式兩邊會增加多少項．考點突破考點一用數學歸納法證明恒等式例1【思路點撥】所以n＝k＋1時，等式也成立．由(1)(2)可得，對一切n∈N*，等式成立．【思維總結】運用數學歸納法證明等式問題應注意當n＝k＋1時添加了哪些項，并明確要證明的目標，以便分析思路，便于入手．變式訓練1用數學歸納法證明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．證明：(1)當n＝1時，左邊＝1，右邊＝1，等式成立；(2)假設n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1，則n＝k＋1時，左邊＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1)＝2k2＋2k＋1＝2(k＋1)2－2(k＋1)＋1，∴n＝k＋1時，等式成立，由(1)(2)知，等式對任何n∈N*都成立．(1)在利用數學歸納法證明不等式時，除直接應用不等式性質證明外，還經常用到不等式證明中的比較法、分析法、配方法、綜合法、放縮法等．(2)在由假設n＝k時成立，證明n＝k＋1成立時，一定要注意項的變化．考點二用數學歸納法證明不等式例2所以當n＝k＋1時，不等式也成立．綜上所述，對任意n≥2的正整數，不等式都成立．變式訓練2

求證：如果x是實數，x>－1且x≠0，n為大于1的自然數，那么(1＋x)n>1＋nx.證明：(1)當n＝2時，左邊＝(1＋x)2＝1＋2x＋x2，右邊＝1＋2x，因為x≠0，所以不等式成立．(2)假設當n＝k時不等式成立，即(1＋x)k>1＋kx.那么當n＝k＋1時，左邊＝(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)，因為x>－1，所以上式>(1＋kx)(1＋x)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1(k＋1)x.所以當n＝k＋1時，不等式成立．由(1)(2)及數學歸納法可知原不等式成立．用數學歸納法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k＋1個時，所證的幾何量將增加多少，還需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析，實在分析不出來的情況下，將n＝k＋1和n＝k分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加說明即可，這也是用數學歸納法證明幾何命題的一大技巧．考點三用數學歸納法證明幾何問題例3【思路點撥】找到從n＝k到n＝k＋1增加的交點的個數是解決本題的關鍵．【思維總結】用數學歸納法證明幾何問題時一要注意數形結合，二要注意有必要的文字說明．“歸納——猜想——證明”的問題是探索性命題，它是通過對特殊情況的觀察——歸納——猜想——證明這一完整的思路過程去探索和發現問題并證明所猜結論的正確性，這種方法更適用于已知數列的遞推公式求通項公式．考點四歸納——猜想——證明例4【思維總結】由已知求出數列的前幾項，做出猜想，然后再用數學歸納法證明，用不完全歸納法與數學歸納法相結合的一種重要的解決數列通項公式問題的方法，證明的關鍵是根據已知條件和假設尋找ak與ak＋1或Sk與Sk＋1之間的關系，使命題得證．變式訓練3

已知數列{an}的第一項a1＝5且Sn－1＝an(n≥2，n∈N*)．(1)求a2，a3，a4，并由此猜想an的表達式；(2)用數學歸納法證明{an}的通項公式．解：(1)a2＝S1＝a1＝5，a3＝S2＝a1＋a2＝10，a4＝S3＝a1＋a2＋a3＝5＋5＋10＝20，猜想an＝5×2n－2(n≥2，n∈N*)．方法技巧運用數學歸納法證明有關命題應注意以下幾點：(1)兩個步驟缺一不可．(2)在第一步中，n的初始值不一定從1取起，也不一定只取一個數(有時需取n＝n0，n0＋1等)，證明時應視具體情況而定．方法感悟(3)第二步中，證明n＝k＋1時，必須使用假設，否則就會打破數學歸納法步驟間的嚴密邏輯關系，造成推理無效．(4)證明n＝k＋1成立時，要明確求證的目標形式，一般要湊出假設里給出的形式，以便使用假設，然后再去湊出當n＝k＋1時的結論，這樣就能有效減少論證的盲目性．數學歸納法的理論根據是皮亞諾的歸納公理：任何一個正整數集A，若①1∈A；②由k∈A可推出k＋1∈A，則A含有所有的正整數．失誤防范1．數學歸納法第一步驗證的是n＝n0時