工程電磁場導論第二章矢量分析第一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六曲線正交坐標系dl第二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六單位矢量，，任意矢量A在直角坐標系下的表達式長度元矢量第三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六體積元面積元長度元dlx=dxdly=dydlz=dz第四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六第五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六單位矢量任意矢量A在直角坐標系下的表達式第六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六長度元面積元體積元第七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六柱坐標系的體積元第八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六球坐標系第九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六單位矢量任意矢量A在直角坐標系下的表達式第十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六長度元面積元體積元第十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六球坐標系的體積元第十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六矢量運算矢量加減運算則設2.矢量點乘與叉乘第十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六單位矢量點乘與叉乘第十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六計算題已知一半徑為，載電流為I的無限長直導線產生的磁場強度時，

試求：H的分布為2.已知點電荷q所產生場分布為試求:第十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.1標量場和矢量場

場是一個標量或一個矢量的位置函數,即場中任一個點都有一個確定的標量值或矢量.例如,在直角坐標下,標量場如溫度場,電位場,高度場等;矢量場如流速場,電場,渦流場等.第十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六形象描繪場分布的工具--場線矢量場--矢量線標量場--等值線(面).其方程為其方程為三維場在直角坐標下:二維場圖2.1.2矢量線圖2.1.1等值線在某一高度上沿什么方向高度變化最快？第十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.2標量場的梯度一.梯度設當,即與方向一致時,為最大.設一個標量函數(x,y,z),若函數在點P可微,則

在點P沿任意方向

的方向導數為:梯度(gradient)哈密頓算子式中則有:式中，，，分別是與x,y,z軸的夾角第十八頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六例1三維高度場的梯度例2電位場的梯度高度場的梯度與過該點的等高線垂直；數值等于該點位移的最大變化率；指向地勢升高的方向。電位場的梯度與過該點的等位線垂直；指向電位增加的方向。數值等于該點的最大方向導數；二.梯度的物理意義標量場的梯度是一個矢量,是空間坐標點的函數;梯度的方向為該點最大方向導數的方向,即與等值線（面）相垂直的方向，它指向函數的增加方向.梯度的大小為該點標量函數的最大變化率，即該點最大方向導數;圖2.2.1三維高度場的梯度圖2.2.2電位場的梯度第十九頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.3矢量場的通量與散度一、通量矢量E

沿有向曲面S的面積分>0(有正源)<0(有負源)=0(無源)圖2.3.1矢量場的通量圖0.3.2矢量場的通量若S為閉合曲面，可以根據凈通量的大小判斷閉合面中源的性質:第二十頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六二、散度如果包圍點P的閉合面S所圍區域V以任意方式縮小為點P時,通量與體積之比的極限存在，即散度(divergence)計算公式三、散度的物理意義散度代表矢量場的通量源的分布特性?

A=0(無源）?

A=0(負源)?

A=0(正源)在矢量場中，若?A=0，稱之為有源場，稱為(通量)源密度；若矢量場中處處?A=0，稱之為無源場。矢量的散度是一個標量，是空間坐標點的函數；第二十一頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六四、高斯公式(散度定理)高斯公式該公式表明了區域V中場A與邊界S上的場A之間的關系。矢量函數的面積分與體積分的互換。圖2.3.3散度定理由于是通量源密度，即穿過包圍單位體積的閉合面的通量，對體積分后，為穿出閉合面S的通量第二十二頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.4矢量場的環量與旋度一、環量該環量表示繞線旋轉趨勢的大小。水流沿平行于水管軸線方向流動=0，無渦旋運動流體做渦旋運動0，有產生渦旋的源矢量A沿空間有向閉合曲線L的線積分環量例：流速場圖0.4.2流速場圖2.4.1環量的計算第二十三頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六二、旋度1.環量密度過點P作一微小曲面S,它的邊界曲線記為L,面的法線方與曲線繞向成右手螺旋法則。當S點P時,存在極限環量密度取不同的路徑，其環量密度不同。2.旋度旋度是一個矢量，模值等于環量密度的最大值；方向為最大環量密度的方向。旋度(curl)它與環量密度的關系為在直角坐標系下第二十四頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六三、旋度的物理意義矢量的旋度仍為矢量，是空間坐標點的函數。點P的旋度的大小是該點環量密度的最大值。在矢量場中，若A=J0,稱之為旋度場(或渦旋場)，J

稱為旋度源(或渦旋源)；點P的旋度的方向是該點最大環量密度的方向。四、斯托克斯(Stockes)定理

A

是環量密度，即圍繞單位面積環路上的環量。因此，其面積分后，環量為Stocke’s定理在電磁場理論中，Gauss公式和Stockes公式是兩個非常重要的公式。矢量函數的線積分與面積分的互換。該公式表明了區域S中場A與邊界L上的場A之間的關系若矢量場處處A=0，稱之為無旋場。圖2.4.3斯托克斯定理第二十五頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六補充內容：無源場、無旋場、調和場拉普拉斯算子球坐標、柱坐標下各種算子表達式已知求已知求第二十六頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.5亥姆霍茨定理亥姆霍茨定理：在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度場域邊界條件在電磁場中電荷密度電流密度J場域邊界條件（矢量A唯一地確定）例：判斷矢量場的性質=0=0=000=0第二十七頁，共二十九頁，編輯于2023年，星期六2.6三種特殊形式的場1.平行平面場：如果在經過某一軸線(設為

Z軸)的一族平行平面上，場

F的分布都相同，即F=f(x,y)，則稱這個場為平行平面場。2.軸對稱場：如果在經過某一軸線(設為

Z軸)的一族子午面上，場

F的分布都相同，即F=f(r,