總體離散程度的估計第九章

統計1.理解方差、標準差的含義，會計算方差和標準差.2.掌握求分層隨機抽樣總樣本的平均數及方差的方法.第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環數78889乙命中環數1061068現有甲，乙兩名射擊手，測試成績統計如下：012234546810成績（環）射擊次序(2)請根據這兩名射擊手的測試成績在圖中畫出折線統計圖；(1)請分別計算兩名射手的平均成績；極差是刻畫數據離散程度最簡單的統計量，但僅有兩個數據評判一組數據是不科學的.(3)要挑選一名射擊手參加比賽，若你是教練，你認為挑選哪一位比較適宜？為什么？誰的穩定性好？應以什么數據來衡量？甲射擊成績與平均成績的偏差的和：(7－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(8－8)＋(9－8)＝0；乙射擊成績與平均成績的偏差的和：(10－8)＋(6－8)＋(10－8)＋(6－8)＋(8－8)＝0.甲射擊成績與平均成績的偏差的平方和：乙射擊成績與平均成績的偏差的平方和：找到啦！有區別了！(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＝2；(10－8)2＋(6－8)2＋(10－8)2＋(6－8)2＋(8－8)2＝16.想一想：上述各偏差的平方和的大小還與什么有關？與射擊次數有關！所以要進一步用各偏差平方的平均數來衡量數據的穩定性.1方差、標準差1.假設一組數據為x1，x2，…，xn，則這組數據的平均數

＝

，方差為s2＝

，標準差s＝

.2.如果總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體平均數為

，則稱S2＝

為總體方差，S＝

為總體標準差.如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數為fi(i＝1，2，…，k)，則總體方差為S2＝

.方差、標準差與數據的離散程度或波動幅度有怎樣的關系？提示：標準差刻畫了數據的離散程度或波動幅度，標準差越大，數據的離散程度越大；標準差越小，數據的離散程度越小.顯然，在刻畫數據的分散程度上，方差和標準差是一樣的.但在解決實際問題中，一般多采用標準差.1

某班20位女同學平均分為甲、乙兩組，她們的勞動技術課考試成績(單位：分)如下：甲組60，90，85，75，65，70，80，90，95，80；乙組85，95，75，70，85，80，85，65，90，85.試分別計算兩組數據的極差、方差和標準差；例1解

甲組：最高分為95，最低分為60，極差為95－60＝35，乙組：最高分為95，最低分為65，極差為95－65＝30，本例條件不變，試問哪一組的成績較穩定？解由于乙組的方差(標準差)小于甲組的方差(標準差)，因此乙組的成績較穩定.從極差也可看出乙組的成績比較穩定.延伸探究在實際問題中，僅靠平均數不能完全反映問題，還要研究方差，方差描述了數據相對平均數的離散程度.在平均數相同的情況下，方差越大，離散程度越大，數據波動性越大，穩定性越差；方差越小，數據越集中，越穩定.

隨著北京冬奧會的圓滿舉辦，某西餐廳推出了以下線上促銷活動.A套餐(在下列食品中6選2)西式面點：蔓越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麥吐司.中式面點：豆包、桂花糕.B套餐：醬牛肉、老味燒雞熟食類組合.北京冬奧會后，某一周兩種套餐的日銷售量(單位：份)如下表所示.

星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日A套餐11121418221923B套餐6131515372041跟蹤訓練1

根據上面一周的銷量，分別計算A套餐和B套餐銷量的平均數和方差，并根據所得數據評價兩種套餐的銷售情況.跟蹤訓練12方差、標準差與統計圖表的綜合應用

甲、乙兩人參加某體育項目訓練，近期的五次測試成績得分情況如圖所示.(1)分別求出兩人得分的平均數與方差；解由題圖可得，甲、乙兩人五次測試的成績分別為甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14.例2(2)根據圖形和(1)中計算結果，對兩人的訓練成績作出評價.從折線圖看，甲的成績基本呈上升狀態，而乙的成績上下波動，可知甲的成績在不斷提高，而乙的成績則無明顯提高.例2根據折線統計圖研究樣本數據的數字特征與橫坐標和縱坐標的統計意義有關，但一般情況下，整體分布位置較高的平均數大，數據波動性小的方差小.折線統計圖中數字特征的求解技巧

甲、乙、丙三名學生在一項集訓中的40次測試分數都在[50，100]內，將他們的測試分數分別繪制成頻率分布直方圖，如圖所示，記甲、乙、丙的分數標準差分別為s1，s2，s3，則它們的大小關系為A.s1>s2>s3

B.s1>s3>s2

C.s3>s1>s2

D.s3>s2>s1√跟蹤訓練2解析

比較三個頻率分布直方圖知，甲為“雙峰”直方圖，兩端數據最多，最分散，方差最大；乙為“單峰”直方圖，數據最集中，方差最小；丙為“單峰”直方圖，但數據分布相對均勻，方差介于甲、乙之間.綜上可知s1>s3>s2.3分層隨機抽樣的方差分層隨機抽樣的方差如何計算？2

在對樹人中學高一年級學生身高的調查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數據，只知道抽取了男生23人，其平均數和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數據計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？例3根據方差的定義，總樣本方差為公式復雜分解計算把已知的男生、女生樣本平均數和方差的取值代入①，可得我們可以計算出總樣本的方差為51.4862，并據此估計高一年級學生身高的總體方差為51.4862.

甲、乙兩支田徑隊隊員的體檢結果為：甲隊隊員體重的平均數為60kg，方差為200，乙隊隊員體重的平均數為70kg，方差為300，已知甲、乙兩隊的隊員人數之比為1∶4，求甲、乙兩隊全部隊員體重的平均數和方差.簡單的分層抽樣跟蹤訓練31.知識清單：(1)方差、極差的計算與應用.(2)分層隨機抽樣的方差.2.方法歸納：數據統計、數據分析.3.常見誤區：方差、標準差易混淆.4隨堂演練下列數字特征不能反映樣本數據的分散程度、波動情況的是A.極差

B.平均數

C.方差

D.標準差√解析已知一個樣本中的數據為1，2，3，4，5，則該樣本的標準差為√(多選)甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統計計算后填入下表：班級參加人數中位數方差平均數甲55149191135乙55151110135某同學根據表中數據分析得出的結論正確的是解析A.甲、乙兩班學生成績的平均數相同B.甲班的成績波動比乙班的成績波動大C.乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數(每分鐘輸入漢字數≥150為優秀)D.甲班成績的眾數小于乙班成績的眾數√√√甲、乙兩班學生成績的平均數都是135，故兩班成績的平