高等固體物理維度第1頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四4.1半導體低維電子系統1.維度三維自由電子氣體，沿z方向對體系的尺寸限制：

zWn=1kn=2電子只占據n=1的子帶，二維體系n>1也占據，準二維體系第2頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2.Si反型層及GaAs-AlGaAs異質結第3頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第4頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四金屬SiO2耗盡層反型層導帶價帶價帶導帶z第5頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四Splitgatesandone-dimensionalelectrongasesThis"split-gatetechnique"waspioneeredbytheSemiconductorPhysicsGroupattheCavendishLaboratoryoftheUniversityofCambridge,inEngland,in1986,byTrevorThorntonandProfessorMichaelPepper.第6頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四3.量子化霍爾效應（QuantumHallEffects(QHE))(1)霍爾效應基礎E.Hall,Am.J.Math.2,287(1879)

=>HalleffectI+-V’VcurrentsourceresistivityHallvoltageBxyzd第7頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四根據德魯特電導理論,金屬中的電子在被雜質散射前的一段時間t內在電場下加速,散射后速度為零.t稱為弛豫時間.電子的平均遷移速度為:電流密度為:若存在外加靜磁場,則電導率和電阻率都變為張量此處仍成立有磁場時,加入羅侖茲力,電子遷移速度為第8頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四穩態時,,假定磁場沿z方向,在xy平面內易得如果,則當為0時也為0.

第9頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四另一方面由此,當時,,為霍爾電導在量子力學下（E沿x方向）選擇矢量勢波函數為經典回旋半徑第10頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四解為：Landau能級

Intwo-dimensionalsystems,theLandauenergylevelsarecompletelyseperatewhileinthree-dimensionalsystemsthespectrumiscontinuousduetothefreemovementofelectronsinthedirectionofthemagneticfield.

第11頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四計算平均速度與經典結果相同.在Landau能級上,縱向電流為0.(2)整數量子霍爾效應1975年S.Kawaji等首次測量了反型層的霍爾電導,1978年KlausvonKlitzing和Th.Englert發現霍爾平臺,但直到1980年,才注意到霍爾平臺的量子化單位,第12頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四K.vonKlitzing,G.Dorda,andM.Pepper,Phys.Rev.Lett.45,495(1980)

forasufficientlypureinterface(Si-MOSFET)=>integerquantumHalleffect

TheNobelPrizeinPhysics1985forthediscoveryofthequantizedHalleffect.

K.vonKlitzing（1943~）第13頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第14頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四實驗設置示意圖

實驗觀測到的霍爾電阻1,霍爾電阻有臺階,2,臺階高度為,i為整數,對應于占滿第i個Landau能級,精度大約為5ppm.3,臺階處縱向電阻為零.第15頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第16頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四Whentheselevelsarewellresolved,ifavoltageisappliedbetweentheendsofasample,thevoltagedropbetweenvoltageprobesalongtheedgeofasamplecangotozeroinparticularrangesofB,andtheHallresistancebecomesextremelyaccuratelyquantised第18頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四由于雜質的作用,Landau能級的態密度將展寬(如下圖).兩種狀態:擴展態和局域態只有擴展態可以傳導霍爾電流(0度下),因此若擴展態的占據數不變,則霍爾電流不變.當Fermi能級位于能隙中時,出現霍爾平臺.Laughlin(1981)和Halperin(1982)基于規范變換證明：第19頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四應用：(a)電阻標準第20頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四應用：(b)精細結構常數的測量第21頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四(3)分數量子霍爾效應1982年,崔琦,H.L.Stomer等發現具有分數量子數的霍爾平臺,一年后,R.B.Laughlin寫下了一個波函數,對分數量子霍爾效應給出了很好的解釋.D.C.Tsui,H.L.Stormer,andA.G.Gossard,Phys.Rev.Lett.48,1559(1982)

foranextremelypureinterface(GaAs/AlGaAsheterojunction)whereelectronscouldmoveballistically=>fractionalquantumHalleffectR.B.Laughlin,Phys.Rev.Lett.50,No.18(1983)TheNobelPrizeinPhysics1998RobertB.Laughlin(1950)DANIELC.TSUI(1939)HorstL.Stormer(1949)fortheirdiscoveryofanewformofquantumfluidwithfractionallychargedexcitations.第22頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四分數量子霍爾效應:崔琦,Stomer等發現,當Landau能級的占據數有霍爾平臺第23頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四分數量子霍爾效應不可能在單粒子圖象下解釋,引入相互作用在超強磁場下,電子位于第一Landau能級.其單粒子波函數為這一狀態對應于電子在一由下式給出的面積內運動Laughlin建議了如下形式的波函數這一狀態的占據數為第25頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四Laughlin計算了m=3,m=5時這一波函數的能量,發現比對應密度下CDW的能量要低.這一狀態稱為分數量子霍爾態,或Laughlin態,當密度改變從而偏離占據數1/3,1/5時,對應于準粒子激發,激發譜具有能隙,準粒子的電荷為分數(1/3,1/5).因此Laughlin態是一個不可壓縮的量子液體狀態.

FQHE態.綠球代表被暫時凍結的電子,藍色為代表性電子的電荷密度,黑色箭頭代表磁通線.第26頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四同IQHE一樣,Fermi能級處于能隙位置時,出現FQHE平臺.不同之處在于IHQE的能隙來源于單粒子態在強磁場中的量子化,而FQHE的能隙來源于多體關聯效應.

Haldane和Halperin,利用級聯模型,指出Laughlin態的準粒子和準空穴激發將凝聚為高階分數態,如從1/3態出發,加入準粒子導致2/5態,加入空穴導致2/7態.準粒子由這些態激發出來并凝聚為下一級的態.P為偶數,對應于粒子型元激發對應于空穴型元激發第27頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四級聯模型的特點:

1.無法解釋那一個子態是較強的態.2.幾次級聯后,準粒子的數目將超過電子的數目.3.系統在分數占據數之間沒有定義.4.準粒子具有分數電荷.復合費米子模型(CF)

一個復合費米子由一個電子和偶數個磁通線構成.復合費米子包含了所有的多體相互作用.FQHE是CF在一個有效磁場下的IQHE.

CF具有整數電荷.

CF模型可以給出所有觀察到的分數態,包括這些態的相對強度及當減小溫度,提高樣品質量時出現的次序.CF指出:v=1/2態,對應的有效磁場為0,是具有金屬特征的特殊狀態.第28頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第30頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四新進展觀察到分數電荷漲落.FQHE的GinsburgLandau理論.費米,玻色和分數統計.邊緣態和共形場論.…利用一維結觀察分數電荷C.L.KaneandM.P.A.Fisher,ShotintheArmforFractionalCharge,Nature389,119(1997).第34頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四TheQuantumHalleffect(QHE)isoneexampleofaquantumphenomenonthatoccursonatrulymacroscopicscale.ThesignatureofQHEisthequantizationplateausintheHallresistance(Rxy)andvanishingmagnetoresistance(Rxx)inamagneticfield.TheQHE,exclusivetotwo-dimensionalmetals,hasledtotheestablishmentofanewmetrologicalstandard,theresistancequantum,,thatcontainsonlyfundamentalconstant.Aswithmanyotherquantumphenomena,theobservationoftheQHEusuallyrequireslowtemperatures(previouslyreportedhighesttemperaturewas30K).Ingraphene,asingleatomiclayerofgraphite,however,wehaveobservedawell-definedQHEatroomtemperatureowingtotheunusualelectronicbandstructureandtherelativisticnatureofthechargecarriersofgraphene.Room-TemperatureQuantumHallEffectinGraphenePI:PhilipKim,DepartmentofPhysics,ColumbiaUniverstySupportedbyNSF(No.DMR-03-52738andNo.CHE-0117752),NYSTARDOE(No.DE-AIO2-04ER46133andNo.DE-FG02-05ER46215),andKeckFoundationNHMFLT=300KB=45TNovoselov,K.S.;Jiang,Z.;Zhang,Y.;Morozov,S.V.;Stormer,H.L.;Zeitler,U.;Maan,J.C.;Boebinger,G.S.;Kim,P.andGeim,A.K.,

Science,315(5817),1379(2007).Figure:Magnetoresistance(Rxx)andHallresistance(Rxy)ofgrapheneasafunctionofthebackgatevoltage(Vg)inamagneticfieldofB=45Tatroomtemperature.第35頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四4.2二維體系中的相變連續相變的描述：序參量非零零維度對相變、臨界行為有重要影響一維體系，T>0時，體系總是無序，不存在長程序，無相變二維體系？相變取決于序參量的自由度數N=1,有相變，如二維Ising模型N=3,無相變，如二維Heisenberg模型N=2:序參量為零，但可有準長程序，Kosterlitz-Thouless(K-T)相變相變概念的拓寬第36頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四序參量自由度n=2的二維系統：

自旋X-Y模型，二維超流體、二維超導體及二維晶體等低溫下，自旋的關聯隨距離作代數式的衰減。對有限尺寸的樣品，二維X-Y模型的低溫相就呈現出表觀的長程序（準長程序），到高溫，則為沒有長程序的無序相所取代，期間有無相變？1970年：Brezinskii提出渦旋對松解所對應的連續相變思想(Z.Eksp.Tev.Fiz.,59,907(1970))1973年：Kosterlitz和Thouless討論二維超流相變，獨立提出類似想法并發展為較完整理論（J.Phys.C,6,1181(1973))基本思想：拓撲缺陷(如渦旋（Vortex))介入的相變第37頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四拓撲激發：二維點陣格點：格點i上的自旋與X軸夾角為通過任意一些格點，劃一閉合回路L，沿此回路逆時針方向繞行一周，相鄰兩格點的方向角之差：拓撲激發和非拓撲激發可分開來討論第38頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四自旋渦旋正渦旋負渦旋第39頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四拓撲性元激發之間的相互作用二維靜電場二維點電荷：第40頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四K-T相變正渦旋負渦旋渦旋對低溫下，正負渦旋構成束縛對，對長程的自旋排列影響不大，系統具有拓撲長程序。高于某臨界溫度，系統中產生大量的單個渦旋，導致拓撲長程序被破壞。第41頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四第42頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四考慮低溫下存在具有有限能量的束縛渦旋對（可由熱激發，不破壞長程的自旋序)渦旋對類似于屏蔽正負電荷相互作用的電介質的作用K-T理論是對屏蔽效應的重正化群的處理。自由能的第n級微商在相變點出現突變就稱為第n級相變K-T相變是無窮級第43頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四TwodimensionalheliumSinceheliumisattractedtoalmostanything*,itwillforma2Dfilm.Mostlong-rangeorderisforbiddenin2D(Mermin-Wagnertheorem),e.g.BECnotallowedforT>0becausethesystemissusceptibletolong-rangephasedecoherence.However,itdoesbecomeasuperfluid.ThetransitioniscalledtheKosterlitz-Thoulesstransition.Superfluid-normalfluidtransitioniscausedbyvortex-anti-vortexunbinding.KTpredictsalgebraicdecayofsingleparticledensitymatrix*exceptforCs第44頁，共50頁，2023年，2月20日，星期四2dheliumenergeticsIncontrastto3Dtheenergyisasmoothfunctionoftemperature.BumpinCvabovethetransition.Nofeatureatthetransition(onlyanessentialsingularity)第45頁，共50頁，2023年，2月20日，星期