《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》第一章概率論的基本概念§2．樣本空間、隨機(jī)事件1．事件間的關(guān)系A(chǔ)B則稱事件B包含事件A，指事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B發(fā)生ABxA或xB}稱為事件A與事件BA，B中至少有一個(gè)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生ABxA且xB}稱為事件A與事件B的積事件，指當(dāng)A，B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件AB發(fā)生A—BxA且xB}稱為事件A與事件BA發(fā)生、B不發(fā)生時(shí)，事件A—B發(fā)生AB，則稱事件A與B是互不相容的，或互斥的，指事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件是兩兩互不相容的ABSAB，則稱事件A與事件B互為逆事件，又稱事件且A與事件B互為對(duì)立事件2．運(yùn)算規(guī)則交換律ABBAABBA結(jié)合律(AB)CA(BC)(ABC(BC)分配律A（BC(A(AC)A(BC)(AB)(AC)—徳摩根律ABABABAB§3．頻率與概率定義nnA發(fā)生的次數(shù)n稱為事A件A發(fā)生的頻數(shù)，比值nnA稱為事件A發(fā)生的頻率E是隨機(jī)試驗(yàn)，SE的每一事件A（A稱為事件的概率1．概率P()滿足下列條件：（1）非負(fù)性：對(duì)于每一個(gè)事件APA)1（2）規(guī)范性：對(duì)于必然事件SP1nn（31,2,,nPA)PA)(（n可kk11k以取）2．概率的一些重要性質(zhì)：（i）P)0nn（ii）若1,2,,n是兩兩互不相容的事件，則有P)PA)A(（n可以取）kkk1（iii）設(shè)AB是兩個(gè)事件若AB，則P(B)P(B)P()，P(B)P(A)（iv）對(duì)于任意事件A，P()1（v）P()1P()（逆事件的概率）（vi）對(duì)于任意事件A，B有P(AB)P()P(B)P(AB)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：試驗(yàn)的樣本空間只包含有限個(gè)元素，試驗(yàn)中每個(gè)事件發(fā)生的可能性相同若事件A包含k個(gè)基本事件，即]1{e{}ik}A，里2i，ik，是中某個(gè)不同的數(shù)，則有ik2，n2,P()kj1Pe{i}kjn包含的基本事件數(shù)S中基本事件的總數(shù)§5．條件概率（1）A,BP()0()(B|)為事件A發(fā)生的條P()件下事件B發(fā)生的條件概率（2）條件概率符合概率定義中的三個(gè)條件1。非負(fù)性：對(duì)于某一事件B，有P(B|)02。規(guī)范性：對(duì)于必然事件S，P(S|)13可列可加性：設(shè)B,,是兩兩互不相容的事件，則有1B2PBiA)PBA(ii1i1)（3）乘法定理設(shè)P()0，則有P()P(B)P(A|B)稱為乘法公式n（4）全概率公式：P()i1PB)(|(iPABi)貝葉斯公式：P(Bk|)P(B)P(A|B)kknP(B)P(A|B)iii1§6．獨(dú)立性定義設(shè)ABP()P()P(B)A,B相互獨(dú)立定理一設(shè)A，B是兩事件，且P()0，若A，B相互獨(dú)立，則(B|)B————定理二A和B相互獨(dú)立，則下列各對(duì)事件也相互獨(dú)立：A與BA與A與B第二章隨機(jī)變量及其分布§1隨機(jī)變量定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S{e}.XX(e)是定義在樣本空間S上的實(shí)值單值函數(shù)，稱X為隨機(jī)變量§2離散性隨機(jī)變量及其分布律1．機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量Pk)滿足如下兩個(gè)條件（1）0(Xxpkp2）kk1P=1k2．三種重要的離散型隨機(jī)變量（1(0?1)分布設(shè)隨機(jī)變量X只能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是P(Xk)k1-k0pX服從以p為參數(shù)的(0?1)分布或兩點(diǎn)分布。（2）伯努利實(shí)驗(yàn)、二項(xiàng)分布—設(shè)實(shí)驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A與AE為伯努利實(shí)驗(yàn).設(shè)P(A)p0p1)，—此時(shí)P(A)1-p.將E獨(dú)立重復(fù)的進(jìn)行nn重伯努利實(shí)驗(yàn)。np2）P(Xkkn-k，k2n滿足條件（1）0)pqkkk1P=1注意kn到pkqn-kk是二項(xiàng)式pn的展開式中出現(xiàn)pk的那一項(xiàng)，我們稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為np的二項(xiàng)分布。（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2…，而取各個(gè)值的概率為P(Xk-ek)kk!,,其中0X服從參數(shù)為的泊松分布記為X~（）§3隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)P{X-x稱為X的分布函數(shù)分布函數(shù)F(x)P(Xx)，具有以下性質(zhì)(1)F(x)是一個(gè)不減函數(shù)（2）0F(x)，且F()F()1（3）F(xF(x),即F(x是右連續(xù)的§4連續(xù)性隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F（xf(x)，使x對(duì)于任意函數(shù)x有F(x)（t）dt,則稱x為連續(xù)性隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X-的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度1概率密度f(x)具有以下性質(zhì)，滿足（）()(2)()1fxfxdx；-x（3）P(xXx)f(x)4f(x)在點(diǎn)x處連續(xù)，則有(x)f(x)212x12,三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量(1)均勻分布若連續(xù)性隨機(jī)變量X具有概率密度1(xxb)，a)fX在區(qū)間(a,b)b-a0，其他均勻分布.記為X~（，b）(2)指數(shù)分布若連續(xù)性隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)1-xx0e，.其中0X0，其他服從參數(shù)為的指數(shù)分布。（3）正態(tài)分布(x）21f(x)e22-x若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為，，其中，（0)為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為，的正態(tài)分布或高斯分布，記為X~（，2）特別，當(dāng)，1時(shí)稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布§5隨機(jī)變量的函數(shù)的分布定理設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度x(x)-x,f，又設(shè)函數(shù)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù),(x)0，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為fh(y)h,(y),yf(y)XY0，其他第三章多維隨機(jī)變量§1二維隨機(jī)變量定義設(shè)ES{e}.XX(e)和Y是定義在S上XXY設(shè)（X，Y）是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y，二元函數(shù)P{(Xy)}P{XYy}稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）的分布函數(shù)Y，Y）是離散型的隨機(jī)變量。我們稱P(x，Yy)pj2為二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的Xjij分布律。Y（x使對(duì)于任意y有（，）（，），F(xiàn)xyfuvYyx--函數(shù)f（x，）稱為隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度，或稱為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率密度。§2邊緣分布XY.而X和Y都是隨機(jī)Xx),YXY）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)。iippP{Xxi2ppP{Yyj2ijijijj1i1分別稱pipj為（X，Y）關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律。X()(,）fxfxyfyfxyY()(,）分別稱fX(x)，f(y)Y為X，Y關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣概率密度。§3條件分布定義X，Y）是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的，若Yy}j{Xx,Yy}p{iij為在Yyj條件下

則稱PXxYy},iijjYy}pjj{Xx,Yy}p隨機(jī)變量XPYyXX},j{ijijji{Xx}pii為在Xx條件下隨機(jī)變量X的條件分布律。i設(shè)二維離散型隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度為f(,y)（X，Y）關(guān)于Y的邊緣概率密度為fY(y)，若對(duì)于固定的，fY(y)〉0，則稱f(x,y)f(y)Y為在Y=y的條件下X的條件概率密度，記為f(xy)X=Yf(x,y)f(y)Y§4相互獨(dú)立的隨機(jī)變量定義設(shè)及X(x)，Y(y)XY數(shù)及邊緣分布函數(shù).若對(duì)于所有x,y有{X,Y}{X}P{Yy}，即,}X(x，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的。F(y)Y對(duì)于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，YX和Y相互獨(dú)立的充要條件是參數(shù)0§5兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1，Z=X+Y的分布設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(,y).則Z=X+Y仍為連續(xù)性隨機(jī)變量，其概率密度為X()(,）或

fzfzyyfzfxzxX()(,）YY又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別為f(xf(y)X則YX()(）y)和zfzyffX()(）()這兩個(gè)公式稱為YXYYXYzfxfzxffX,f的卷積公式Y(jié)有限個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布Y2，ZZXY設(shè)(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，它具有概率密度f(,y)，則ZZXY()(,)X仍為連續(xù)性隨機(jī)變量其概率密度分別為fzxfx1zf)f(,)又若X和Y相互獨(dú)立，設(shè)（X，Y）關(guān)于X，Y的邊緣密度分別(zxxxX則可化為fYXzfXxfYY為f(xf(y)(()())1zf()()(z)fxfXYxx3MNX,Y設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為F(xF(y)X由于YM不大于zX和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又由于X和Y相互獨(dú)立，得到M的分布函數(shù)為(z)F(z)F(z)FXYNXY的分布函數(shù)為()11()1(),}zFzFzFXY第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征§1．?dāng)?shù)學(xué)期望定義設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為{Xxk}pkk=1,2k1x絕對(duì)kpkk1x的和為隨機(jī)變量XE(X)kpEX)xkpkki設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為f(x)(x)dx()的值為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E(X)，即xdxE(X)(x)dx定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))（iX{Xx}pkkpg(x）kk=1,2kk1絕對(duì)收斂則有E(Y)E(g(X))k1g(）xkpk（iiX是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分概率密度為f(x)g(x)f(x)dx絕對(duì)收斂則有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx數(shù)學(xué)期望的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有E(C)C2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有E)CE(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有E(XY)E(X)EY)；4設(shè)X，Y是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有E()E(X)EY)§2方差定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若()}存在，則稱()}XEXEXEX為X的方22差，記為D（x）即Dx）=()}EXEX，在應(yīng)用上還引入量D(x)，記為(x)，2稱為標(biāo)準(zhǔn)差或均方差。(X)E(XE(X))2E(X)()22方差的幾個(gè)重要性質(zhì)1設(shè)C是常數(shù)，則有DC)2設(shè)X是隨機(jī)變量，C是常數(shù)，則有D)C2(X)，D(XC)D(X)3設(shè)X,Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有D(XY)D(X)2E{(X-E(X))(Y-特別，若X,Y相互獨(dú)立，則有D(XY)D(X)DY)4D(X)0的充要條件是X以概率1取常數(shù)，即{XE(X)}1切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X具有數(shù)學(xué)期望E)，則對(duì)于任意正數(shù)，不等式(X2P{X-2}成立2§3協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)定義量{[XE(XYEY)]}稱為隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差為Cov(X,Y)，即(X,Y)XE(XYEYE()E(X)EY)而Cov(X，Y）稱為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)D(X)

對(duì)于任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y，D(XY)D(X)DY)Cov(X,Y)

_協(xié)方差具有下述性質(zhì)1Cov(X,Y)CovY,X),Cov(aX,bY)abCov(X,Y)2(1X,Y)(X,Y)(X,Y)X212定理1121的充要條件是，存在常數(shù)a,b使Ya}1當(dāng)0時(shí)，稱X和Y不相關(guān)附：幾種常用的概率分布表分布參數(shù)分布律或概率密度數(shù)學(xué)期望方差兩點(diǎn)分布0p1{Xk)pkp)k,k，ppp)二項(xiàng)式分布n1(nk，npp))kk0pPXkCnpp),kn1泊松分布ke0(,PXk)kk!幾何分布0pP(Xk)p)k1p,k11p1p2p均勻分布ab1,f)，(xbaaxb0，其他a2bba)2指數(shù)分布0f1x(xe,x0)0,其他2正態(tài)分布0(x