本文格式為Word版，下載可任意編輯——方差分析與回歸分析

第八章方差分析與回歸分析

一、教材說(shuō)明

本章內(nèi)容包括：方差分析,多重比較,方差齊性檢驗(yàn),一元線性回歸,一元非線性回歸.主要陳述方差分析和一元線性回歸兩節(jié)內(nèi)容.

1、教學(xué)目的與教學(xué)要求

(1)了解方差分析的統(tǒng)計(jì)模型，把握平方和的分解，熟悉檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì)，會(huì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

（2）了解效應(yīng)差的置信區(qū)間的求法，了解多重比較問(wèn)題，把握重復(fù)數(shù)相等與不相等場(chǎng)合的方法，會(huì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

（3）熟練把握Hartley檢驗(yàn)，Bartlett檢驗(yàn)以及修正的Bartlett檢驗(yàn)三種檢驗(yàn)方法，會(huì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

（4）理解變量間的兩類關(guān)系，認(rèn)識(shí)一元線性和非線性回歸模型，熟悉回歸系數(shù)的估計(jì)方法，熟練把握回歸方程的顯著性檢驗(yàn).能用R軟件來(lái)進(jìn)行回歸分析，會(huì)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

2、本章的重點(diǎn)與難點(diǎn)

本章的重點(diǎn)是平方和的分解，檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì)、重復(fù)數(shù)相等與不相等場(chǎng)合的方法、檢驗(yàn)方法的把握，回歸系數(shù)的估計(jì)方法，回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，難點(diǎn)是檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì)，重復(fù)數(shù)相等與不相等場(chǎng)合的方法.實(shí)際問(wèn)題的檢驗(yàn)，回歸方程的顯著性檢驗(yàn).

二、教學(xué)內(nèi)容

本章共分方差分析,多重比較,方差齊性檢驗(yàn),一元線性回歸,一元非線性回歸等5節(jié)來(lái)陳述本章的基本內(nèi)容.

§8.1方差分析

教學(xué)目的：了解方差分析的統(tǒng)計(jì)模型，把握平方和的分解，熟悉檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì),會(huì)

解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)重點(diǎn)：平方和的分解，檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì)教學(xué)難點(diǎn)：檢驗(yàn)方法和參數(shù)估計(jì)

教學(xué)內(nèi)容：

本節(jié)包括方差分析問(wèn)題的提出,單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型,平方和分解,檢驗(yàn)方法,參數(shù)估計(jì),重復(fù)數(shù)不等情形.

8.1.1問(wèn)題的提出

在實(shí)際工作中經(jīng)常會(huì)遇到多個(gè)總體均值的比較問(wèn)題，處理這類問(wèn)題尋常采用方差分析方法.

例8.1.1

8.1.2單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型

在例8.1.1中，我們只考察一個(gè)因子，稱為單因子試驗(yàn).記因子為A，設(shè)其有r個(gè)水平，記為A1,,Ar，在每一水平下考察的指標(biāo)可看做一個(gè)總體，故有r個(gè)總體，假定

2（1）每一總體均為正態(tài)總體，記為N(?i,?i)，i?1,2,（2）各總體方差一致，即?1??2?22,r；

??r2??2

（3）每一總體中抽取的樣本相互獨(dú)立，即諸數(shù)據(jù)yij都相互獨(dú)立在這三個(gè)基本假定下，要檢驗(yàn)的假設(shè)是

H0:?1??2???r?H1:?1,?2,?,?r不全相等（8.1.1）

假使H0成立，因子A的r個(gè)水平均值一致，稱因子A的r個(gè)水平間沒(méi)有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A不顯著；反之，若H0不成立，因子A的r個(gè)水平均值不全一致，稱因子A的r個(gè)水平間有顯著差異，簡(jiǎn)稱因子A顯著.

在每一水平下各作m次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若記第i個(gè)水平下第j次重復(fù)的試驗(yàn)結(jié)果為yij，得到r?m個(gè)試驗(yàn)結(jié)果：yij,i=1,2,r,j=1,2,,m.

在水平Ai下的試驗(yàn)結(jié)果yij與該水平下的均值?i的差距?ij=yij-?i稱為隨機(jī)誤差.于是有

yij=?ij+?i，（8.1.2）

該式稱為試驗(yàn)結(jié)果yij的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式.

把三個(gè)假定用于數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)式就得到單因子方差分析的統(tǒng)計(jì)模型：

??yij=?ij+?i,i=1,2,r,j=1,2,,m;（8.1.3）?2??諸?ij相互獨(dú)立，且都聽(tīng)從N(0,?)1稱諸?i的平均?=(?1+r1r+?r)=??i為總均值，第i水平下均值?i與總均值的差

ri=1rai=?i-?稱為因子A的第i水平的主效應(yīng)，簡(jiǎn)稱為Ai的主效應(yīng).則有?ai=0,?i=?+ai.

i=1統(tǒng)計(jì)模型（8.1.3）可改寫(xiě)為

?yij=?+ai+?ij,i=1,2,r,j=1,2,,m;?r???ai=0;?i=1?諸?相互獨(dú)立，且都聽(tīng)從N(0,?2)?ij假設(shè)（8.1.1）可改寫(xiě)為

H0:a1?a2??ar=0?H1:a1,a2,?,ar不全為0.

8.1.3平方和分解

一試驗(yàn)數(shù)據(jù)

在單因子方差分析中可將試驗(yàn)數(shù)據(jù)列成如下表格形式

因子水平試驗(yàn)數(shù)據(jù)和平均

A1y11y12?y1mT1y1

A2y21y22?y2mT2y2

????

Aryr1yr2?yrmTryr

合計(jì)Ty二組內(nèi)偏差與組間偏差

1m1r1rmyij-y=(yij-yi)+(yi-y)，記?i=??ij,?=??i=???ij，yij-yi稱為組內(nèi)偏

mj=1ri=1ni=1=1j差，yi-y稱為組間偏差.

三偏差平方和及其自由度在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，把k個(gè)數(shù)據(jù)y1,k,yk分別對(duì)其均值y=(y1++yk)/k的偏差平方和

Q=?(yi-y)2稱為k個(gè)數(shù)據(jù)的偏差平方和，簡(jiǎn)稱平方和.

i=1由于

?(y-y)=0，說(shuō)明在Q中獨(dú)立的偏差只有k-1個(gè)，稱為該平方和的自由度，記為

ii=1kf，fQ=k-1.

四總平方和分解公式

各yij間總的差異大小可用總偏差平方和ST表示為

ST???(yij?y)2,fT=n-1.（8.1.3）

i?1j?1rm僅由隨機(jī)誤差引起的數(shù)據(jù)間差異可用組內(nèi)偏差平方和，也稱誤差偏差平方和，記為Se，

Se???(yij?yi)2,fe=r(m-1)=n-r.（8.1.4）

i?1j?1rm由效應(yīng)不同引起的數(shù)據(jù)差異可用組間偏差平方和表示，也稱為因子A的偏差平方和，

記為SA，SA?m?(yi?1ri?y)2,fA=r-1.（8.1.5）

定理8.1.1在上述符號(hào)下，總平方和ST可分解為因子平方和SA.與誤差平方和Se之和，其自由度也有相應(yīng)分解公式：ST=SA?Se,fT=fA+fe.（8.1.6）

稱為總平方和分解式.

8．1.4檢驗(yàn)方法

為了度量一組數(shù)據(jù)的離散程度，稱MS?Q/fQ為均方和.

由均方和的概念，得到MSA?SA/fA，MSe?Se/fe，用F?MSA/MSe作為檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，為給出檢驗(yàn)拒絕域，需要如下定理：

定理8.1.2在單因子方差分析模型及前述符號(hào)下，有

（1）

se?22~?（n-r),從而E(Se)=(n-r)?2

(2)E(SA)=(r-1)?+m2?ai=1r2i,若H0成立，則有

SA?2~?2(r?1)

（3）SA與Se相互獨(dú)立.由定理8.1.2知F?MSA/MSeF(fA,fe)，從而可得檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)?/p>

W?{F?F1??(fA,fe)}.

將上述結(jié)果列成表格，稱為方差分析表

來(lái)源平方和自由度均方和F比

因子SAfA?r?1M