/2008高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：B題 我們的參賽報名號為（如果賽區設置報名號的話）：所屬學校（請填寫完整的全名）：中北大學參賽隊員(打印并簽名)：1.張大朋2.郝冬冬3.夏正歡指導教師或指導教師組負責人(打印并簽名)：梅銀珍日期：2008年9月21日賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：2008高教社杯全國大學生數學建模競賽編號專用頁賽區評閱編號（由賽區組委會評閱前進行編號）：賽區評閱記錄（可供賽區評閱時使用）：評閱人評分備注全國統一編號（由賽區組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：高等教育的學費標準制定問題摘要高等教育的學費收取問題牽涉到國家、學校、家庭（或學生）三方的利益，學費的過高或者過低，都會造成三方利益的矛盾，所以要制定一個合理的學費收取標準，就必須使三方都盡可能達到滿意。首先，我們收集了大量的數據，通過分析發現學生的培養成本在很大程度上與學費呈正相關性,其次考慮到不同地區、不同教育層次、不同檔次的學校的不同的專業對一個學生的培養費用是不同的，在計算培養費用時進行了分類統計，同時在處理貧困生的學費問題時將獎、助學金等也作為培養成本的一個重要因素。然后根據學費、人均培養成本、家庭收入以及國家生均撥款等之間的了解建立了一個兼顧三方利益的多目標規劃模型，求解時利用隸屬度關系轉化為單目標規劃，通過幾類地區的實際數據計算驗證，與實際較為吻合，在保證教學質量的基礎上使國家、學校和家庭達到了一種利益的平衡。最后根據建模過程和結果為管理部門提供了關于高校收費問題的合理化的建議。關鍵詞：學費標準，多元化收費，生均成本，隸屬度主要符號表:生均培養費用:國家生均撥款:生均教師工資成本:生均行管與后勤服務人員工資成本:生均教輔人員工資:生均社會保險費:生均獎助學金成本:生均年學費標準:生均公務費成本:生均業務費成本:生均年土地成本:家庭可支配收入:在校大學生年均消費額、、、均表示比例系數。：i地區高校的人均培養成本占A、B、C三個地區高校的人均培養成本之和的比重，其中，i=1、2、3分別表示A地區、B地區、C地區。:j層次教育的人均培養成本占三個教育層次的人均培養成本之和的比重，其中，j=1、2、3分別表示研究生、本科生、專科生教育層次。：k類高校的人均培養成本占甲、乙、丙三類高校的人均培養成本之和的比重，其中k=1、2、3分別表示甲、乙、丙類高校。：第l專業的人均培養成本占熱門、一般、冷門三類專業的人均培養成本之和的比重，其中l=1、2、3分別表示熱門、一般、冷門專業。

1 問題的重述高等教育事關國家創新能力增強、高素質人才的培養、和諧社會建設的大局，高等教育的培養質量是高等教育的核心問題，培養質量需要有相應的經費作保證。高等教育是非義務教育，其經費由政府財政撥款、學校自籌、社會捐贈和學費收入等組成。學費自然成為學校、家庭和國家關注的焦點。焦點問題就是如何制定合理的收費標準。2 問題的分析高等教育總經費由政府財政撥款、學校自籌、社會捐贈和學費收入等幾部分組成。要提高教育，就必須有經費作保障，也就是說，一方面，國家必須撥款給學校，家庭(或學生)必須交學費給學校，同時還有一些企業單位會向學校提供一些捐助，而對于國家、家庭所關注的重點分別是教育質量的提高和教育的公平、教育質量的提高和能否支付得起高等教育的費用。國家的滿意度如何和學費建立關系。我們通過分析，一般地，不同層次的教育的投入成本越多其相應的收益越大，教育質量就越高，即教育質量和投入成本有正相關性[1]。另一方面，隨著人們對教育需求的不斷擴大，受教育者需要更多更高的教育，這樣就促使學校規模的擴大、師資隊伍的提高和教學設備的的更新，所以，學校所關注的重點在于是否有足夠的經費，以保證教學質量的前提下能夠加快自身的發展。由于國家對不同地區（發達地區、一般地區和貧困地區）的不同高校的撥款不同，所以，不同地區不同高校不同專業的學生的人均培養費用不同，我們應該將全國按教育事業的發達程度分地區、分學校、分專業來討論生均培養成本。3 模型假設（1）國家經濟不會出現巨大波動，對教育投資不會產生較大影響；（2）學校教育資源可以得到充分利用；4模型的分析與建立 由前面的分析可知，確定收費標準我們需要從三個方面入手。首先，計算生均培養成本，它是影響學費標準的最直接因素，在計算中，把獎學金、助學金及勤工助學部分的資金作為其中重要的組成部分，充分顧及到貧困生因素；其次，按不同標準給出不同的分類，并確定分類中各項的比重；最后，以國家利益、學校利益、學生家庭利益分別作為目標建立多目標規劃的學費模型。 我們首先取特定分類中的一種統計數據作為樣本，計算其生均培養成本后，代入多目標規劃學費模型中求出該樣本類的學費標準，再將該學費標準乘以相應比例系數，即可得到上面分類中的其它各類的學費標準。4.1生均培養成本的計算本文采用的生均培養成本的界定是：教育機構為實現教育的基本職能(不包括其他職能),并達到教學質量的基本標準,在一定的會計期間(一年)所必須發生的,平均用于每個學生的直接支出和應計費用的總和[2]。 根據我國實際情況，生均培養成本主要由以下6大成本項目組成：人員工資、獎助學金支出、社會保障支出、公務費、業務費、固定資產折舊費。因此，將生均培養成本的計算也分由以下6個部分來計算：4.1.1人員經費的計算(1)專任教師人員經費成本生師比一般國家都有標準,如目前國家本科教育評價標準是14:1；計算公式如下::表示生均教師工資成本:表示專任教師年人均工資標準(2)行政管理和后勤服務人員經費成本:行政管理和后勤服務人員工資應以專任教師的工資為基礎,即:表示生均行管與后勤服務人員工資成本:表示行管人員和后勤服務人員占專任教師的比例，可根據國家有關標準確定,如教育部曾規定,高等學校事業編制的黨政工作人員人數應控制在全校教職工人數的15～20%)。:表示行管和后勤工資標準與專任教師工資標準的比,可以按70%左右確定。(3)教輔人員經費成本：表示生均教輔人員工資：教輔人員占專任教師的編制比例(一般為10～15%)：教輔人員工資占專任教師的工資的比例(一般為70%左右)(4)社會保障費成本按歷史經驗數據計量,即根據近年財務決算中離退休人員經費支出占在職教職工工資支出的比重測算。計量公式如下::生均社會保險費:各類社會保險、公積金等綜合費率:歷史的或經驗的離退休費用占在職職工工資比率4.1.2獎、助學金成本:生均獎助學金成本:生均年學費標準:獎助學金占學費的比重(一般按20%計算)4.1.3公務費成本公務費屬于管理性、消耗性費用,開支的內容繁多、項目復雜,絕大部分沒有統一的、細化的開支標準,只能按歷史數據測算。生均公務費計算公式如下::生均公務費成本:某地區(學校)近年公務費年平均數:某地區(學校)近年學生年均當量數4.1.4業務費成本:生均業務費成本:歷史統計的某一地區(學校)近年的業務費年均成本:年均學生當量數4.1.5土地使用及基礎設施建設成本按現行本科教學評價標準,生均0.1畝土地面積計算，生均土地成本計算公式如下::生均年土地成本:土地單位(每畝)價格,包括土地出讓金、各類補償費、拆遷費、“三通一平”費(水、電、路、平整地)、道路建設費、綠化費、規劃設計費等:土地價值攤銷年限,一般按50年攤銷4.1.6固定資產折舊費(1)房屋建筑物折舊成本根據國家現行本科教學評價辦法,生均12平方米的標準,房屋建筑物折舊生均成本計算公式如下::生均房屋建筑物折舊費:單位平方米工程造價I:房屋建筑物折舊年限(2)教學設備折舊成本國家規定了不同類型院校(專業)教學設備生均應擁有不同標準(4000-6000元不等),教學設備折舊一般要求較快,可采用5-10年左右的綜合折舊率,計算公式如下::生均設備成本:生均占有設備值(4000-6000元):設備折舊年限(5-10年)(3)圖書折舊成本圖書是教育的重要條件,國家也明確規定了生均圖書的擁有量。目前,規定的標準是生均100冊,照此計算,高校生均圖書成本公式如下::表示生均圖書成本:圖書折舊年限(一般5-10年):單位圖書平均購價(一般可采用20～30元)(4)運動場地折舊成本按現行本科教學評價標準要求,生均運動場地為3。照此標準計算,運動場地成本公式如下::表示生均運動場地成本:運動場地折舊年限:運動場地單位造價綜上得：生均培養成本=人員經費+獎助學金+公務費+業務費+土地使用費+固定資產折舊即： (4.1)因此，通過查找相應的統計數據分別計算出(4.1)式中，代入上式即可求出相應的生均培養成本。高等教育的多元性分類考慮到不同地區、不同教育層次、不同檔次的學校的不同專業對一個學生的培養費用的影響，所以在計算生均培養費用時進行了不同的分類（圖1）。4.2.1 高校所在地區的劃分通過對2003年至2007年中國統計年鑒中的教育經費的查詢可以發現，國家對不同省份的財政性教育撥款不同，而且不同省份的社會捐助，以及社會團體和公民個人辦學經費的多少都不相同。同時，中國統計年鑒中的經濟和教育方面的數據也表明，上述的不同很大程度上和各個省份的經濟發達程度有關，所以，我們可以根據全國各個省份的經濟發達程度將全國省份分為A、B、C三個地區，分別表示發達地區、一般地區和貧困地區。根據各地區高校的生均成本的不同得到以下關系式：=，=，且，i=1,2；其中，表示A地區高校的生均成本占A、B、C三個地區高校的生均成本之和的比重；表示B地區高校的生均成本占A、B、C三個地區高校的生均成本之和的比重；表示C地區高校的生均成本占A、B、C三個地區高校的生均成本之和的比重；表示比例系數。我們通過數據資料的查找及對2003年至2007年的數據進行處理得到表3：表3在教育層次和學校類別等都相等的條件下的不同地區的生均成本 地區生均成本A地區B地區C地區總計生均培養成本(單位：元)1199010560880031350所以有：=0.38，=，=；進一步可以得到：，。全國所有高校全國所有高校A地區高校B地區高校研究生教育本科生教育專科生教育甲類高校乙類學校丙類學校熱門專業一般專業冷門專業┅┅┅┅┅C地區高校┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅圖1高等教育的多元劃分示意圖4.2.2 高等教育層次的劃分目前，我們國家的高等教育一般分為研究生教育、本科生教育和專科生教育三種教育層次。通過資料查詢及對數據的處理可以得到以下數據：表1學歷與未來年收益之間的數據關系（單位：元） 年份年收益學歷20032004200520062007研究生3243633928335523549840332本科生1738818187185881966621456專科生1527615978159961692316920注意：這里所說的未來年收益，是指某一學歷的畢業生第一年工作的收益。表2學歷與年教育成本之間的關系（單位：元） 年份年成本學歷20032004200520062007研究生19499.919670.319592.122183.721329.4本科生10833.39593.59493.612923.112465.3專科生10215.49382.19248.310769.210455.6由上表可知，教育層次與教育成本及其未來收益在一定程度上是成正相關的，也就是說，三個不同層次的教育將直接給受教育者帶來個人預期收入的差異，隨著學歷的遞增而遞增，其成本投入也隨著學歷的遞增而遞增，甚至成倍的遞增。根據各教育層次的高校的生均成本的不同可以得到以下關系式：=,=，且，j=1,2。其中，表示研究生教育的生均成本占三個教育層次的生均成本之和的比重；表示本科生教育的生均成本占三個教育層次的生均成本之和的比重；表示專科生教育的生均成本占三個教育層次的生均成本之和的比重；表示比例系數。我們通過數據資料的查找及對2003年至2007年的數據進行處理得到下表：表4在地區和學校類別等都相同的條件下的不同教育層次的生均成本 教育層次生均成本研究生教育本科生教育專科生教育總計生均培養成本(單位：元)20455110611001441530所以=，=，=進一步可以得到：，4.2.3 高校的類別劃分對于不同教育層次的高校又有不同質量的高校，根據高校的具體情況及差異，有不同的分類方法，在此我們按高校的排名將全國的高校分為甲類、乙類、丙類三類高校，其中，甲類為排名前30名的高校，乙類為排名在30至150名之間的高校，丙類為150名以后的高校。顯然，這三類高校的教學設備的先進程度、教學人員的教學素養、教育資源的利用率、學生的素質和學習的環境等都有明顯的差別。根據各個等級的高校的生均成本的不同可以得到以下關系式：=，=，且，k=1，2。其中，表示甲類高校的生均成本占甲、乙、丙三類高校的生均成本之和的比重；表示乙類高校的生均成本占甲、乙、丙三類高校的生均成本之和的比重；表示丙類高校的生均成本占甲、乙、丙三類高校的生均成本之和的比重；表示比例系數。我們通過數據資料的查找及對2003年至2007年的數據進行處理得到下表：表5在地區、教育層次等都相同的條件下的不同學校類別的生均成本 高校類別生均成本甲類高校乙類高校丙類高校總計生均培養成本（單位：元）13629111731034835150按上述同樣方法可以算得：=0.39，=0.32，=0.29；=1.34，=1.11。4.2.4 專業的類別劃分考慮到教育質量與教育的成本，以及未來預期收益這三者之間有一定程度的正相關性，也就是說，在其它條件不變的情況下，一個學生所接受的高等教育的質量越高，對其投入的教育成本就越多，同時他個人預期的收益就越高，反之亦然。所以我們可以根據高等教育中的個人收益的高低及就業前景的好壞，將高等教育的專業分為熱門專業、一般熱門專業和冷門專業這三類專業。在一般情況下，畢業于熱門專業的學生，其個人預期收益要比畢業于一般專業的學生的個人預期收益要高，而畢業于一般專業的學生的個人預期收益又要比畢業于冷門專業的學生的個人預期收益要高一些。根據各個專業的生均成本的不同可以得到以下關系式：=，=，且，l=1，2。其中，表示熱門專業的生均成本占熱門、一般、冷門三類專業的生均成本之和的比重；表示一般專業的生均成本占熱門、一般、冷門三類專業的生均成本之和的比重；表示冷門專業的生均成本占熱門、一般、冷門三類專業的生均成本之和的比重；表示比例系數。我們通過數據資料的查找及對2003年至2007年的數據進行處理得到下表：表6在地區、教育層次和學校都相同的條件下的不同專業的生均成本 專業生均成本熱門專業一般專業冷門專業總計生均培養成本（單位：元）14238112971007335608同理可得：=0.40，=0.32，=0.28；，。所以，我們可以將C地區的丙類高校中冷門專業的專科生的生均成本占總培養成本的比重表示為b=，那么，對于任何一個地區的某一類高校中的某一教育層次的某一類專業的學生的生均成本的比重可以折算成的形式，比如，A地區中乙類高校中熱門專業的本科生的生均成本的比重可以表示為(其中，=2.47)。也就是說，任何一種接受高等教育的學生的生均成本都可以用b來表示，或者與b互相進行比例轉化。學費標準模型對于國家來說，它關注的是高等教育的質量，即國家希望教育質量更好。而教育的質量需要經費來作保障，根據前面的假設可知教育質量與教育經費之間在一定程度上有正相關性，而教育經費又決定了生均成本，所以要使教育質量更好，也就是使教育經費更多，從而可以轉化為使生均成本更高，所以可得到一個目標函數：,表國家利益目標。對于學校來說，它關注的是在保證教育質量的前提下，有更多的經費用于自身的發展，據此可以得到另一個目標函數：，表學校利益目標。對于家庭（或學生）來說，關注的是對學費和生活費等的支付能力，因此，我們可以得到最后一個目標函數：，表學生家庭利益目標。下面我們來討論約束條件：在保證教育質量的情況下，學校不能虧本，據此可得約束條件：；為了滿足某一家庭的學生能順利的上學，即家庭能夠提供的起學費和生活費，所以可得一約束條件：國家文件規定:學費不超過生均培養費的25%。所以我們可以得到以下多目標規劃模型： （4.2）5模型求解5.1某B區的學校作為樣本來計算其生均培養成本表7中國2004年分地區中央部門普通高等學校教育經費支出明細統計（部分）地區省1省2總計64735101671129個人部分2562497750430基本工資393084138276補助工資382540121008其他工資777136172769職工福利會保障費605046206179獎貸助學金26219188437公用部分3041798787659公務費668753214400業務費351999151434設備購置費678932156350修繕費40548976699校舍建設費11335710664其他費用936625188776基建支出869215133040自籌基建支出668667115330通過查詢中國統計年鑒知2004年在校高校生人數為892018，將上表中數據代入公式（4.1），可求出該區生均培養費為：C=1.477(萬元)5.2求解該樣本的學費標準查詢中國統計年鑒可得2004年該樣本的預算內教育經費為774717.633萬元，從而得到生均國家撥款B=0.868(萬元)，Q=0.826(萬元)。 考察該樣本的平均每戶家庭每年可支配收入J=9421.61*2.98=2.81（萬元）20004年國內生產總值GDP=136875.9億元，教育經費占GDP的百分比查詢數據：2004年A區的在校大學生年均生活消費額S=5021元2004年B區的在校大學生年均生活消費額S=4637元下面求解多目標規劃問題4.2，直接求解較復雜，應將多目標轉化為單目標，然后進行求解。首先應建立三個目標函數的隸屬度關系函數。隸屬度在本文中指所求得的對約束條件的滿意度[3]。目標的隸屬度函數的交集，可以表示為如下形式：，其中，分別表示解、目標和約束的隸屬度函數，所以，含有L個目標（本文中L=3）和k個約束的多目標規劃模型的解為：其最優解為：所以求解多目標線性規劃的重點是求隸屬度函數，而要求隸屬度函數就必須先求出函數的偏離上限值和偏離下限值。為了更好的求出隸屬度函數以及函數的偏離上限值和偏離下限值，在此我們采用各個目標的隸屬度函數為降半階梯形分布的隸屬度函數[2]，為的隸屬度函數，當約束條件完全滿足時，；當約束條件被嚴重違反時，；隨著約束從嚴重違反到完全滿足，從0單調地增加到1，則相應的圖形表示如圖1所示：的隸屬度函數圖相應的目標函數隸屬度函數的數學表達式為如下：在上述表達式中，是第L個目標函數的值，分別表示相應目標函數的偏離上限值和偏離下限值。所以可以將本文要求解的多目標線性規劃轉化為以下三個求最小值的多目標線性規劃問題：約束條件不變,依然為：采用Zimmemann求解方，每次選擇一個目標函數在所有的約束條件在分別求出最大值和最小值；用LINGO軟件可求下列結果：；為了求得符合以上三個目標的最優解，我們引入變量，，且使目標，由上述可知的值越大，滿意度越大，方案的可行性越高。因此，本文中的多目標線性規劃模型轉化為如下容易求解的單目標線性規劃模型：；通過某A區一類高校的各項統計數據，帶入本篇論文的模型，得出A區學費元，滿意度=0.72；將某B區的一類高校的各項統計數據，帶入模型，得出B區學費元，=0.69。通過對以上的結果分析得出，上述兩所高校處于經濟發展不相同的兩個地區，但是同屬于一種檔次的學校，兩者的學費存在差異。由此，我們可以考慮高等教育，針對不同的地區、不同的專業采取不同的收費，實現教育的均衡發展。同時，這種學費標準與實際能夠較好的吻合，且在上面的約束下保證了其合理與公平。同時可以看到，它們的滿意度都在較高的水平，可以使得社