挑戰(zhàn)滿分大題專練(十六)一綜合練習(2)1.已知等差數(shù)列U｛a｝的前n項和為S，且a+S=20,(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式;(2)(2)設(shè)數(shù)列｛b｝滿足b=4，且b-b=4a，求數(shù)列｛n+1n n)的前n項和T.解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛a｝的公差為d, a2+S3=20,S6=2S/d=2(4彳+...a+d+3a+3dd=2(4彳+a=3+2(n-1)=2n+1.(2(2)設(shè)數(shù)列｛b｝滿足b=4n+1n則b則b=(b—b1)+(b1-b2)+ + (b2-b)+b1=4(2n-1+2n-3+ + 3)+4/(n-1)(2n-1+3) //=4x +4=4n2.b-14n2-12(2n-12n+1數(shù)列｛｝的前數(shù)列｛｝的前n項和T=i(1-1+1-1+ +n2 335)=2(1-2n+1且滿足2.已知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C所對的邊，且滿足a(sinA--sinB)=(sinC+sinB)(c-b)，若P為邊AB上靠近B的三等分點，CP=-，求:2 3(1)求cosC的值;(2)求b+2a的最大值.解：(1)由題意及正弦定理得到a(a-1b)=(c+b)(c-b),2由余弦定理可得cosC由余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab2ab4(2)作AD//BC角CP延長線于D所以AAPD^所以AAPD^ABPC，相似比AP2BP1因為AD=2a,可得DC2=AD2+AC2-2AD-AC-cos(A+B),所以1=4a2+b2+2x2ab?cosC,所以4a2+b=1-ab，可得(2a+b)2=1+3ab,所以4a2+b+ab2V4a2b2+ab=5ab，可得abl，當且僅當4a2=b2時取等號，58所以(2a+b)2=1洋3ab5,55所以255所以2a+b，艮即b+2a的最大值為.3.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PC=2,AC=BC=2<2,AC1BC,D為棱AB上一點，BD=3AD，棱AC的中點E在平面PAB上的射影F在線段PD上.(1)證明：AB±平面PDE；(2)求三棱錐P-AEF的體積.(1)證明：如圖，取AB的中點H，連接CH,BD=3AD，JD為AH的中點，則DE//CH，AC=BC,/.CH1AB，則ED±AB,又二?點E在平面PAB上的射影F在線段PD上，EF1平面PAB,而ABu平面PAB, EF1AB,EFED=E,EF、DEu平面PDE,ABp|平面PDE；(2)解：AB±平面PDE,PEu平面PDE,/.AB±PE,??點E為棱AC的中點，PA=PC,PE1AC,又ACAB=A,AC、ABu平面ABC,/.PE1平面ABC,

而DEu平面ABC,，PE1DE,PA=而DEu平面ABC,，PE1DE,PA=PC=2,AC=BC=2V2,AC1BC,PE=22,DE=1,PD=、3,在RtAPDE中3 3 百由RtADEFsRtADPE，得DF=——,3即PF=2FD,:.S =2SAPAF 3APAD?'匕一AEF 匕一PAF1］向<3=-x—x1xx-3=—,2 31, “1 <3<6 v2=S?EF=xx=3apaf3 3 3 9???三棱錐P-AEF的體積為—.4.2022年第24屆冬季奧林匹克運動會，簡稱“北京張家口冬奧會”，將在2022年02月04日?2022年02月20日在北京市和張家口市聯(lián)合舉行，這是中國歷史上第一次舉辦冬季奧運會，北京將承辦所有冰上項目，延慶和張家口將承辦所有的雪上項目.如表是截取了2月5日和2月6日兩天的賽程表:2022年北京冬奧會賽程表（第七版，發(fā)布自2020年11月）2022北京賽區(qū)延慶賽區(qū)張家口賽區(qū)年開冰冰速短花高有鋼無跳北越單冬1當2月閉壺球度道樣山舵架舵臺歐板季t目日幕滑速滑滑雪雪雪滑兩滑滑兩工弋決式冰滑冰雪橇車橇雪項雪雪項芋r賽1導數(shù)5（六）**11*11*1L66（日）**1*11111L7

說明：“*”代表當日有不是決賽的比賽；數(shù)字代表當日有相應數(shù)量的決賽.(I)(i)若在這兩天每天隨機觀看一個比賽項目，求恰好看到冰壺和冰球的概率；(ii)若在這兩天每天隨機觀看一場決賽，求兩場決賽恰好在同一賽區(qū)的概率；(II)若在2月6日(星期日)的所有決賽中觀看三場，記X為賽區(qū)的個數(shù)，求X的分布列及期望E(X).解：(I)(i)記“在這兩天每天隨機觀看一個項目，恰好看到冰壺冰球”為事件A.由表可知，在這兩天每天隨機觀看一個項目，共有10x10=100種不同方法，其中恰好看到冰壺冰球，共有2種不同方法.所以，恰好看到冰壺和冰球的概率P(A)=二-=—.10050(ii)記“在這兩天每天隨機觀看一場決賽，兩場決賽恰好在同一賽區(qū)”為事件B.由表可知，在這兩天每天隨機觀看一場決賽共有6x7=42 種不同方法，其中兩場決賽恰好在北京賽區(qū)共有2種不同方法，在張家口賽區(qū)共有4x4=16.所以P(B)=26=3.42 7(II)隨機變量X的所有可能取值為1,2,3.,一一、 C34根據(jù)題意，P(X=1)=<=—C3357…c、C1-C2+C1-C2+C1C2+C2C11+6+12+423P(X=2)=-2 1__4 2-^ 2-^= =一C3 35 3573)35C：.C：.c11"343)3574357435隨機變量X的分布列是:X123P4238353535數(shù)學期望E(X)=1x—+2x23+3x—=35 35 35.已知橢圓C:上+”=1的右焦點為F，過點F的直線/與橢圓C交于A,B兩點.9 8(1)若直線/的傾斜角為45。，求IABI的值;(2)記橢圓C的右頂點為D，若點M(9,yM),N(9.yj分別在直線AD,BD上，求證:

FM1FN.解：(1)由橢圓的方程可得右焦點F(1,0),由題意可得直線l的方程為：y=%-1,設(shè)A(xi,甲,B(x2，y2)，聯(lián)立整理可得：17x聯(lián)立整理可得：17x2-18x-63=0，所以x+x=1763xx=-17所以弦長IAB1=小+k2-Ix-xI=1++1?\(x+x)2-4xx=2-'2?J2-+-+4x—=—；1 2 12 12 \172 17 17(2)證明：由題意可得右頂點D(3,0)，當直線l的斜率不存在時x=1，可以求得M(9,-8)，N(9,8)，8—0-8—0 1所以kFM?kFN 所以kFM?kFN9-19-1所以可證得FM1FN；當直線l的斜率存在時設(shè)直線l的方程為：y=k(x-1)，設(shè)A(x1，y1)，B(xy=k(x-1)聯(lián)立=1聯(lián)立=1整理可得：(8+9k2)x2-18k2x+9k2-72=0，18k18k2x+x= ，1 2 8+9k29k2-72xx= ，12 8+9k2yy=k(x-1)?k(x-1)=k2xx-k2(x+x)+k2，M共線，yr—0y—M-—0x-M共線，yr—0y—M-—0x-39-3N共線，y—0yir-—0,x2-39-3,FN的斜率之積kFM?kFN由D，A，由D，B，故直線FM9k2[，解得y=-6yL，Mx-3解得y=-61-，Nx2-3y-0y-0y?y=M N =—MN9-1 9-1 649y1y216(x-3)(x-3)1 29k2[xx.-(x+x.)+1]16[xx-3(x+x)+9]9k2-728+9k218k28+9k2+1]…9k2-72018k216[ 3? 8+9k2 8+9k2+9]所以可證得：FM1FN.已知函數(shù)f(x)=(x+3)e-x+2x.(1)證明：/(x)恰有兩個極值點;(2)若/(幻QX2+3,求〃的取值范圍.解：(1)證陳f\x)=e-x-(x+3>-x+2=(-x-2)e-x+2,所以r(0)=0,所以〃(x)="(x+l),所以當x<-1時，ff\x)<0,r(x)單調(diào)遞減，當九〉-1時，廣⑴〉0，廣(%)單調(diào)遞增，所以「(幻=/X-l)=-e+2<0,min1(-2)=2〉0，所以存在唯一X￡(-2,-1)使得/(X)=0,0 0所以當時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，0當x<犬<0時，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減，0當0<x時，f\x)>0,/(x)單調(diào)遞增，所以/(幻有2個極值點.(2)令g(x)=y(x)-ax2-3-(x+3)e-x+2x-ax^-3,g'(x)=e-x(-x-2)-2ax+2,g〃(x)=e-x(x+l)-2a,因為g(0)=0,5(0)=0，所以若g(x)0,則g〃(0)0,所以e。(0+ 2a0,即圣—，下面證明當〃 /