學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年新教材數(shù)學(xué)北師大版必修第一冊教師用書：第6章§33.2頻率分布直方圖含解析3.2頻率分布直方圖學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.學(xué)會(huì)用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)．（重點(diǎn)）2．能通過頻率分布表或頻率分布直方圖對數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計(jì)．（難點(diǎn)、易混點(diǎn))1．通過對頻率分布直方圖畫法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．通過與頻率分布直方圖有關(guān)的計(jì)算,培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．1．頻率分布直方圖頻率分布直方圖中每個(gè)矩形的底邊長是該組的組距，矩形的高是該組的頻率與組距的比,從而矩形的面積等于這個(gè)組的頻率，即矩形的面積＝組距×eq\f(頻率，組距）＝頻率．我們把這樣的圖叫作頻率分布直方圖．頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組的頻率的大小．2．頻率分布直方圖的應(yīng)用當(dāng)考慮數(shù)據(jù)落在若干個(gè)組內(nèi)的頻率之和時(shí)，可以用相應(yīng)矩形面積之和來表示．3．畫頻率分布直方圖的步驟(1）計(jì)算極差:即一組數(shù)據(jù)中最大值和最小值的差；（2）確定組距與組數(shù)：當(dāng)數(shù)據(jù)在120個(gè)以內(nèi)時(shí)，通常按照數(shù)據(jù)的多少分成5~12組，在實(shí)際操作中，一般要求各組的組距相等．（3)分組：按組距將數(shù)據(jù)分組，分組時(shí)，各組均為左閉右開區(qū)間，最后一組是閉區(qū)間．(4)列表:一般分四列：寬度分組、頻數(shù)、頻率、eq\f（頻率，組距）．其中頻數(shù)合計(jì)應(yīng)是樣本容量，頻率合計(jì)是1．（5)畫頻率分布直方圖:畫圖時(shí)，應(yīng)以橫軸表示分組，縱軸表示eq\f（頻率,組距），其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積．即每個(gè)小長方形的面積＝組距×eq\f（頻率,組距)＝頻率．4．頻率折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個(gè)區(qū)間．從所加的左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始,用線段依次連接各個(gè)矩形的頂端中點(diǎn)，直至右邊所加區(qū)間的中點(diǎn)，就可以得到一條折線，我們稱之為頻率折線圖．有時(shí)也用它來估計(jì)總體的分布情況．隨著樣本容量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長度則會(huì)相應(yīng)隨之減小，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來越接近于一條光滑曲線．思考：1.為什么需要用頻率分布直方圖對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行整理？［提示］因?yàn)橥ㄟ^抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)多而且雜亂，無法直接從中理解它們的含義，并提取信息，也不便于我們用它來傳遞信息．正因?yàn)槿绱宋覀儾庞妙l率分布直方圖來整理數(shù)據(jù)．2．為什么要對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分組？[提示]不分組很難看出樣本中的數(shù)字所包含的信息，分組后，計(jì)算出頻率，從而估計(jì)總體的分布特征．1．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為(）A．20B．30C．40D．50B[樣本數(shù)據(jù)落在[15,20]內(nèi)的頻數(shù)為100×［1－5×（0.04＋0。1）］＝30。]2．已知樣本10,8,10，8,6，13，11，10，12，7，9,8，12，9,11，12，9，10，11，10，那么頻率為0。2的范圍是()A．5.5～7.5 B．7。5～9。5C．9。5～11。5 D．11.5~13.5D［由題意知，共20個(gè)數(shù)據(jù)，頻率為0.2，在此范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)有20×0。2＝4個(gè)，只有在11.5～13.5范圍內(nèi)有4個(gè)數(shù)據(jù)：13，12，12，12，故選D。]3．某地為了了解該地區(qū)10000戶家庭的用電情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取了500戶家庭的月平均用電量，并根據(jù)這500戶家庭的月平均用電量畫出頻率分布直方圖如圖所示，則該地區(qū)10000戶家庭中月平均用電度數(shù)在[70，80)的家庭有________戶．1200[根據(jù)頻率分布直方圖得該地區(qū)10000戶家庭中月平均用電度數(shù)在[70，80)的家庭有10000×0。012×10＝1200（戶）.］頻率分布直方圖的繪制【例1】考察某校初二年級男生的身高，隨機(jī)抽取40名初二男生，實(shí)測身高數(shù)據(jù)(單位：cm）如下：171163163166166168168160168165171169167169151168170160168174165168174159167156157164169180176157162161158164163163167161（1）作出頻率分布表；（2)畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖．［解］(1)最低身高151,最高身高180,它們的極差為180－151＝29.確定組距為3，組數(shù)為10,列表如下：身高分組頻數(shù)頻率eq\f（頻率,組距）［150.5，153.5)10.0250.0083[153.5,156.5)10。0250。0083［156.5，159.5）40.10。0333［159.5，162。5）50.1250.0417[162.5，165。5)80.20。0667［165。5,168。5)110。2750。0917［168.5，171.5）60.150.05［171.5,174。5)20。050.0167[174。5，177。5）10.0250。0083［177。5，180.5］10.0250.0083（2)頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示．繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問題(1）在繪制出頻率分布表后,畫頻率分布直方圖的關(guān)鍵就是確定小矩形的高．一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長度是不一致的，合理的定高方法是“以一個(gè)恰當(dāng)?shù)膯挝婚L度”（沒有統(tǒng)一規(guī)定）,然后以各組的“eq\f(頻率,組距）”所占的比例來定高．如我們預(yù)先設(shè)定以“”為1個(gè)單位長度，代表“0.1”,則若一個(gè)組的eq\f（頻率，組距）為0.2，則該小矩形的高就是“”(占兩個(gè)單位長度)，如此類推．(2)數(shù)據(jù)要合理分組，組距要選取恰當(dāng)，一般盡量取整，數(shù)據(jù)為30～100個(gè)左右時(shí),應(yīng)分成5～12組，在頻率分布直方圖中，各個(gè)小長方形的面積等于各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和為1.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練］)1．如表所示給出了在某校500名12歲男孩中，用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高（單位：cm)。區(qū)間界限[122，126）［126，130)［130，134)［134，138)［138，142)人數(shù)58102233區(qū)間界限［142，146)［146，150)[150，154）[154，158]人數(shù)201165(1）列出樣本頻率分布表;（2）畫出頻率分布直方圖;(3)估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比．［解]（1)樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[122，126)50.04［126，130）80。07[130，134)100.08[134，138）220.18［138，142)330.28［142,146）200。17［146，150）110。09[150,154）60。05［154，158］50。04合計(jì)1201.00（2)其頻率分布直方圖如下：（3)由樣本頻率分布表可知，身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0。04＋0。07＋0.08＝0.19，所以我們估計(jì)身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%。頻率分布直方圖的應(yīng)用【例2】為了了解高一年級學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試,將所得數(shù)據(jù)整理后,畫出頻率分布直方圖(如圖所示)，圖中從左到右各小矩形的面積之比為2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小組的頻數(shù)為12.（1)第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？(2)若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，則該校全體高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？［解］(1）第二小組的頻率為eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0。08。又因?yàn)榈诙〗M的頻率＝eq\f（第二小組的頻數(shù),樣本容量）,所以樣本容量＝eq\f（第二小組的頻數(shù),第二小組的頻率）＝eq\f（12，0。08)＝150.（2)由直方圖可估計(jì)該校高一年級學(xué)生的達(dá)標(biāo)率為eq\f（17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3）×100％＝88％。頻率分布直方圖的性質(zhì)(1）因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f(頻率,組距）＝頻率，所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小．(2)在頻率分布直方圖中，各小矩形的面積之和等于1。（3）樣本容量＝eq\f（頻數(shù),相應(yīng)的頻率）.eq\a\vs4\al([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是[17。5，30］，樣本數(shù)據(jù)分組為［17.5,20），[20，22。5)，［22.5，25)，[25,27.5)，[27。5，30]。根據(jù)直方圖,這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22。5小時(shí)的人數(shù)是（）A.56B．60C．120D．140D［由頻率分布直方圖可知每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的頻率為（0.16＋0.08＋0。04)×2.5＝0。7，故每周自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)為0.7×200＝140。故選D。]頻率分布與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用［探究問題]1．什么是一組數(shù)據(jù)的眾數(shù),中位數(shù)，平均數(shù)？提示：設(shè)一組數(shù)據(jù)為x1,x2，…,xn，則其中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù),把這n個(gè)數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列,最“中間”的數(shù)就是中位數(shù)，即當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間的一個(gè)數(shù)就是本組數(shù)據(jù)的中位數(shù);當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間的兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)就是本組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．本組數(shù)據(jù)的平均數(shù)eq\x\to(x)＝eq\f(x1＋x2＋…＋xn,n）。2．如何利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)?提示：（1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；(2）中位數(shù)左右兩側(cè)小矩形的面積相等；(3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．【例3】某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0。30，0。40，0.15，0。10，0。05.求:（1）高一參賽學(xué)生成績的眾數(shù)、中位數(shù)；(2）高一參賽學(xué)生的平均成績．[思路點(diǎn)撥］(1）根據(jù)頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，最高小矩形的底邊中點(diǎn)就是數(shù)據(jù)的眾數(shù)，數(shù)據(jù)的中位數(shù)左右兩邊的面積和相等，都等于0.5；（2）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．［解](1）由題圖可知眾數(shù)為65，又∵第一個(gè)小矩形的面積為0。3，∴設(shè)中位數(shù)為60＋x,則0.3＋x×0。04＝0.5，得x＝5,∴中位數(shù)為60＋5＝65。(2)依題意，eq\x\to（x)＝55×0.3＋65×0。4＋75×0。15＋85×0。1＋95×0。05＝67，∴平均成績約為67分．1．在本例中若高一參賽學(xué)生的人數(shù)為1000，若規(guī)定成績不低于80分者為優(yōu)秀選手，那么高一年級參賽學(xué)生中共有多少名優(yōu)秀選手？[解]由頻率分布直方圖可知，高一年級參賽學(xué)生中的優(yōu)秀選手共有1000×10(0.005＋0.01）＝150（名).2．若本例中的頻率分布直方圖換為下圖．（1）求圖中的數(shù)字;(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．［解］(1）由10(0。005＋a＋0。025＋0。035＋0。01＋0。01）＝1，解得a＝0。015。（2）由頻率分布直方圖可知第1組的頻率為0.05，第2組的頻率為0。15，第3組的頻率為0.25，第4組的頻率為0。35,所以設(shè)該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為70＋x，則0.45＋x×0。035＝0。5，得x≈1.43，∴中位數(shù)為70＋1。43＝71.43。1．利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)字特征（1)眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；（2）中位數(shù)左右兩側(cè)小矩形的面積相等;（3）平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．2．利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為估計(jì)值，與實(shí)際數(shù)據(jù)可能不一致．1．總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布．2．當(dāng)總體中的個(gè)體取值較多時(shí)，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組,用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖．3．繪制頻率分布直方圖的步驟：(1）計(jì)算極差，(2）決定組距與組數(shù)，（3）分組,(4）列頻率分布表，（5）繪制頻率分布直方圖．1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）(1)頻率分布直方圖中小長方形的高表示該組上的個(gè)體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值． （）（2）頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的個(gè)體數(shù)． （)(3)頻率分布直方圖中所有小長方形面積之和為1。 （）［提示]（1）正確．（2)錯(cuò)誤．頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻率．（3)正確．［答案]（1）√(2)×(3)√2．為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kPa）的分組區(qū)間為[12，13)，［13，14），［14，15），[15，16)，[16,17］，將其按從左到右的順序分別編號為第一組,第二組，…,第五組,如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為(）A。6B．8C．12D．18C［志愿者的總?cè)藬?shù)為eq\f(20,（0.24＋0。16）×1)＝50,所以第三組人數(shù)為50×0.36×1＝18，所以有療效的人數(shù)為18－6＝12。］3．某中學(xué)舉辦電腦知識競賽，滿分為100分，80分以上為優(yōu)秀（含80分）。現(xiàn)將高一兩個(gè)班參賽學(xué)生的成績進(jìn)行整理后分成5組，繪制成頻率分布直方圖如圖所示．已知圖中從左到右的第一、三、四、五小組的頻率分別為0.30、0.15、0。10、0。05,而第二小組的頻數(shù)是40，則參賽的人數(shù)是________，成績優(yōu)秀的頻率是