14/142021北京清華附中高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（共10小題；每小題4分共40分）1．設(shè)集合，集合，則等于A． B． C． D．2．”直線與拋物線相切”是“直線與拋物線只有一個公共點”的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件3．某物體做直線運動，位移（單位：與時間（單位：滿足關(guān)系式，那么該物體在時的瞬時速度是A． B． C． D．4．已知，，則A． B． C． D．5．設(shè)是非零向量，是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是A．與的方向相反 B．與的方向相同 C． D．6．已知圓截直線所得弦的長度為4，則實數(shù)的值是A． B． C． D．7．已知直線在兩坐標軸上的截距相等，則實數(shù)A．1 B． C．或1 D．2或18．如圖所示，是長方體，是的中點，直線交平面于點，則下列結(jié)論正確的是A．，，三點共線 B．，，，不共面 C．，，，不共面 D．，，，共面9．設(shè)的內(nèi)角，，所對邊的長分別是，，，且，，，則的值為A． B． C． D．10．如圖，正四棱柱滿足，點在線段上移動，點在線段上移動，并且滿足，則下列結(jié)論中正確的是A．直線與直線可能異面 B．直線與直線所成角隨著點位置的變化而變化 C．三角形可能是鈍角三角形 D．四棱錐的體積保持不變二、填空題（共5小題；每小題5分共25分）11．（5分）若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實數(shù)．12．（5分）若拋物線上一點到其焦點的距離為4．則點的橫坐標為．13．（5分）若直線與直線互相垂直，則實數(shù)．14．（5分）過雙曲線的右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，與雙曲線的漸近線交于，兩點，若，則雙曲線離心率的取值范圍為．15．（5分）定義在，上的函數(shù)滿足．（ⅰ）．（ⅱ）若方程有且只有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是．三、解答題（共6小題；共85分）16．（13分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期和的單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）當時，求函數(shù)的最小值及取得最小值時的值．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，為棱上的點，且．（1）若為棱的中點，求證：平面；（2）（ⅰ）求證平面；（ⅱ）設(shè)為棱上的點（不與，重合），且直線與平面所成角的正弦值為，求的值．18．（13分）已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間上的極值．19．（14分）已知橢圓短軸的兩個端點與橢圓的右焦點構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形．（Ⅰ）求橢圓的離心率及其標準方程；（Ⅱ）過點直線與橢圓交于，兩點，線段的中點為，問在軸上是否存定點，使得？若存在，求出的坐標；若不存在，請說明理由．20．（15分）已知函數(shù)，．（Ⅰ）過原點作曲線的切線，求切線的方程；（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）過原點作曲線，的切線，若切線的斜率與的斜率互為倒數(shù)，求證：．21．（15分）已知非空集合，如果存在，，，且，使得，則稱集合具有性質(zhì)．（Ⅰ）分別判斷下列集合是否具有性質(zhì)（2）并說明理由；①，2，3，；②，6，7，8，．（Ⅱ）設(shè)是正整數(shù)且，集合，，，，2，3，，，，求證：具有性質(zhì)（2）；（Ⅲ）求最小的正整數(shù)，使得對于任意滿足，2，3，，且的兩個集合和，其中至少有一個集合具有性質(zhì)．

參考答案一、選擇題（共10小題；每小題4分共40分）1．【分析】根據(jù)并集的定義解答即可．【解答】解：集合，，故選：．【點評】本題考查了并集運算，熟練掌握并集的定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，結(jié)合直線和拋物線的位置關(guān)系進行判斷即可．【解答】解：”直線與拋物線相切”能推出“直線與拋物線只有一個公共點”，是充分條件，而“直線與拋物線只有一個公共點”推不出”直線與拋物線相切”，不是必要條件，如圖示：，直線和拋物線的對稱軸平行時只有1個交點，但不相切，故選：．【點評】本題考查了充分必要條件，考查直線和拋物線的關(guān)系，是一道基礎(chǔ)題．3．【分析】根據(jù)題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，將代入計算可得答案．【解答】解：由，得，則時的瞬時速度．故選：．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的定義以及計算，注意導(dǎo)數(shù)的物理意義，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)求解．【解答】解：，故選：．【點評】本題主要考查了對數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．5．【分析】根據(jù)向量的幾何意義判斷即可．【解答】解：當時，與方向相同，故錯誤；，，與方向相同，故正確；當時，，故錯誤；是數(shù)，是向量，不能比較大小，故錯誤；故選：．【點評】本題考查了向量的基本知識，考查向量的模和向量有關(guān)的基本概念，是一道基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)題意，將圓的方程變形為標準方程，分析其圓心與半徑，求出圓心到直線的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得，計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，圓，即，其圓心為，半徑，圓心到直線的距離，又由圓截直線所得弦的長度為4，則有，解可得；故選：．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，涉及弦長的計算，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)題意討論直線它在兩坐標軸上的截距為0和在兩坐標軸上的截距不為0時，求出對應(yīng)的值．【解答】解：，即時，直線化為，它在兩坐標軸上的截距為0，滿足題意；，即時，直線化為，它在兩坐標軸上的截距為，解得；綜上所述，實數(shù)或．故選：．【點評】本題考查了直線在兩坐標軸上的截距應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．8．【分析】本題利用直接法進行判斷．先觀察圖形判斷，，三點共線，為了要證明，，三點共線，先將看成是在平面與平面的交線上，利用同樣的方法證明點、也是在平面與平面的交線上，從而證明三點共線．【解答】解：連接，，則，、、、四點共面，平面，，平面，又平面，在平面與平面的交線上，同理在平面與平面的交線上，、、三點共線．故選：．【點評】本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論、三點共線及空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題．9．【分析】利用正弦定理，可得，再利用余弦定理，即可求的值．【解答】解：，，，，，；故選：．【點評】本題考查余弦定理、考查正弦定理，考查二倍角公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．10．【分析】如圖所示，連接有關(guān)線段．設(shè)，為，的中點，的中點為，可得與都是以為中點，由此可判定錯誤；利用線面垂直可以得到，從而否定；利用勾股定理和三角形銳角鈍角的判定條件計算可以判定為銳角三角形，從而否定；利用體積轉(zhuǎn)化，分解方法，結(jié)合線面平行的性質(zhì)可以判定．【解答】解：如圖所示，連接有關(guān)線段．設(shè)，為，的中點，即為上下底面的中心，的中點為，則的中點也是，又，由對稱性可得也是的中點，所以與交于點，故不是異面直線，故錯誤；由正四棱柱的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的判定定理易得平面，因為平面，，故錯誤；設(shè)，則，設(shè)，，易得，，，因為，則為銳角；因為，則為銳角，因為，當時取得最小值為，則為銳角，故為銳角三角形，故錯誤；三棱錐也可以看作和的組合體，由于是固定的，，到平面的距離是不變的易知，平行與平面，故體積不變，故正確．故選：．【點評】本題主要考查異面直線所成的角，異面直線的判定，棱柱的結(jié)構(gòu)特征等知識，屬于中等題．二、填空題（共5小題；每小題5分共25分）11．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，然后由實部等于0求得的值．【解答】解：，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得．故答案為：．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．12．【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的，已知，則到準線的距離也為3，即點的橫坐標，將的值代入，進而求出．【解答】解：拋物線，，由拋物線定義可知，拋物線上任一點到焦點的距離與到準線的距離是相等的，，，故答案為：3．【點評】活用拋物線的定義是解決拋物線問題最基本的方法．拋物線上的點到焦點的距離，叫焦半徑．到焦點的距離常轉(zhuǎn)化為到準線的距離求解．13．【分析】求出兩條直線的斜率；利用兩直線垂直斜率之積為，列出方程求出的值．【解答】解：直線的斜率為直線的斜率為兩直線垂直解得故答案為：1【點評】本題考查由直線方程的一般式求直線的斜率、考查兩直線垂直斜率之積為．14．【分析】利用已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于、的不等式，然后求解離心率的范圍即可．【解答】解：易知，因為漸近線，所以，由化簡得，即，所以，從而，解得．故答案為：．【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．15．【分析】根據(jù)解析式，利用遞推法即可得出；利用圖象的平移變換得到函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法求得．【解答】解：；因為時，，所以的圖象由在，之間的拋物線的一部分逐次向右平移1個單位，向下平移2個單位得到，如圖所示，已知，，的斜率依次為1，，，由圖可知若方程有且只有兩個解，則實數(shù)的取值范圍是，，，故答案為：；，，．【點評】本題考查了函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，遞推求值，屬于中檔題．三、解答題（共6小題；共85分）16．【分析】（Ⅰ）利用輔助角公式進行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．（Ⅱ）求出角的范圍，利用三角函數(shù)的最值進行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），則函數(shù)的最小正周期，由，，得，，即，，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，，（Ⅱ）當時，，，則，，則當，即，即時，函數(shù)取得最小值，最小值．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，利用輔助角公式進行化簡，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和最值性是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．17．【分析】（1）取的中點，連接，，由平行四邊形的判定和性質(zhì)，以及線面平行的判定定理，即可得證；（2）（ⅰ）以為坐標原點，，，所在直線為，，軸，建立空間直角坐標系．由向量法，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，以及線面垂直的判定定理可得證明；（ⅱ）由線面垂直可得可作為平面的法向量，求得的坐標，由向量的夾角公式，結(jié)合已知條件，解方程可得所求值．【解答】解：（1）取的中點，連接，，，，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（2）（ⅰ）因為平面，平面，平面，所以，，又因為，則以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．由已知可得，0，，，0，，，4，，，2，，，0，，，1，，所以，，，，4，，，0，，因為，，所以，，由，平面，平面，所以平面．（ⅱ）由（ⅰ）可知平面，，，可作為平面的法向量，設(shè)，即，，，所以，，，即有，，，因為直線與平面所成角的正弦值為，所以，．即，解得，即．【點評】本題考查線面平行與垂直的判定和線面角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．18．【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率列出方程，切點在切線上也在曲線上，列出方程，求解，即可．（2）利用導(dǎo)函數(shù)切線極值點，判斷函數(shù)的單調(diào)性推出函數(shù)的極值即可．【解答】解：（1）因為，所以，．所以，曲線在處的切線方程的斜率．又因為，所以，①又因為（1）所以，②聯(lián)立①②解得，．所以，．（2）由（1）知，，令得，，當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減；當，，單調(diào)遞增．所以在區(qū)間上的極小值為（3），極大值為．【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的切線方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．19．【分析】（Ⅰ）由三角形的面積和等腰直角三角形可得，進而可得的值，寫出橢圓的方程及橢圓的離心率的值；（Ⅱ）分類討論當直線的斜率不存在和斜率存在兩種情況，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程，與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出的中點的坐標及弦長的表達式，假設(shè)存在定點的坐標，求出的表達式，滿足條件整理可得，由各項的系數(shù)相等可得的坐標．【解答】解：（Ⅰ）橢圓短軸的兩個端點與橢圓的右焦點構(gòu)成面積為1的等腰直角三角形，可得，可得，且，可得，，所以橢圓的方程為：，離心率，所以橢圓的離心率為；其標準方程為：；（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由題意可得直線的方程為，可得，且的中點為為原點，這時當與或重合時使得，即存在為短軸的頂點時滿足條件；當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，，，，整理可得：，可得，，，可得，的中點，，假設(shè)存在，滿足條件，則，，因為，則，整理可得：，所以，解得，所以定點，綜上所述：存在定點滿足條件．【點評】本題考查求橢圓的標準方程及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，三角形面積的應(yīng)用，恒過定點的求法，屬于中檔題．20．【分析】（Ⅰ）設(shè)切線的方程為，切點為，，根據(jù)切點求出切線方程，再將原點代替方程求解即可；（Ⅱ）先求導(dǎo)函數(shù)，對分情況討論求單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）先求出直線的斜率，再利用切線，的斜率互為倒數(shù)，求出直線的斜率，從而求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)并分析函數(shù)的單調(diào)性，從而求出的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)切線的方程為，切點為，，則，，所以，，則，由題意知，切線的方程為，（Ⅱ）依題意，函數(shù)的定義域為，對求導(dǎo)，得，①若，對一切有，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，②若，當時，；當，時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，；（Ⅲ）證明：設(shè)與曲線的切點為，，切線的斜率與的斜率互為倒數(shù)，，所以，所以，又因為，消去和后，整理得，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若，因為，（1），所以，，而，在，上單調(diào)遞減，所以，若，因為在上單調(diào)遞增，且（e），則，所以（舍去），綜上可知：．【點評】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，是難題．21．【分析】按照定義判斷是否存在，，使得成立即可；結(jié)合題意，由判斷存在，即證結(jié)論；根據(jù)題意，2，3，，時，至少有一個集合具有性質(zhì)，即