2012考研基礎(chǔ)班高等數(shù)學(xué)講義

主講：汪麟義

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第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

§1.1函數(shù)

（甲）內(nèi)容要點(diǎn)

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃了,對(duì)每一個(gè)xe。，都能對(duì)應(yīng)惟一的

一個(gè)實(shí)數(shù)y,則這個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)劃/稱為定義在。上的一個(gè)函數(shù)，記以產(chǎn)式x）,稱x為函數(shù)的自

變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，。稱為函數(shù)的定義域，并把實(shí)數(shù)集

Z={y\y=f（x）,xeD}

稱為函數(shù)的值域。

2.分段函數(shù)

如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用兩上或兩個(gè)以

上的表達(dá)式來(lái)表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。

例如

x+1%<-1

y=/（%）=<x2-1<x<1

5xx>l

是一個(gè)分段函數(shù)，它有兩個(gè)分段點(diǎn)，x=—1和x=l,它們兩側(cè)的函數(shù)表達(dá)式不同，因此討

論函數(shù)>43）在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、

右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)。需要強(qiáng)調(diào)：分段函數(shù)一?般不是初等函數(shù)，不能用初等函數(shù)在定義域

內(nèi)皆連續(xù)這個(gè)定理。

3.隱函數(shù)

形如y/x）有函數(shù)稱為顯函數(shù)，由方程尸（x,y）=0確定的y=y（x）稱為隱函數(shù)，有些隱

函數(shù)可以化為顯函數(shù)（不一定是一個(gè)單值函數(shù)），而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。

4.反函數(shù)

如果y^x）可以解出x=/（y）是一個(gè)函數(shù)（單值），則稱它為.大外的反函數(shù)，記以

x=/T（y）。有時(shí)也用y=f-x（x）表示。

二、基本初等函數(shù)

1.常值函數(shù)y=C（常數(shù)）

2.募函數(shù)y（a常數(shù)）

3.指數(shù)函數(shù)y=ax（”>0,常數(shù)）

y="（e=2.7182…，無(wú)理數(shù)）

4.對(duì)數(shù)函數(shù)y=\ogaX（a>0,常數(shù)）

常用對(duì)數(shù)y=log］（）x=lgx

自然對(duì)數(shù)y=logex=Inx

5.三角函數(shù)y=sinx;y=cosx;y=tanx.

y=cotx",y=secx',y=escx.

6.反三角函數(shù)y-arcsinx;y-arccosx;

y=arctanx\y-arccotx.

基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)及其圖像非常重要，影響深遠(yuǎn)。例如以后經(jīng)常會(huì)用

limarctanx；limarctanx；limex；lime*；limInx等等，就需要對(duì)y=arctanx,

XT+8X->-00XfO*XT。*

y=",y=Inx的圖像很清晰。

三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

設(shè)y=/（M）定義域U

u=g（X）定義域X,值域U*

如果U*uU,則y=/［g（x）］是定義在X上的一個(gè)復(fù)合函數(shù)，其中“稱為中間變量。

2.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個(gè)分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱

為初等函數(shù)。

四、函數(shù)的幾種性質(zhì)

1.有界性：設(shè)函數(shù)y寸x）在X內(nèi)有定義，若存在正數(shù)M,使xwX都有,則

稱Ax）在X上是有界的。

2.奇偶性：設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)x€X,都有/（r）=-/（x）,購(gòu)爾/（x）

在X上是奇函數(shù)；若對(duì)xeX,都有〃r）=/（x）,則稱〃x）在X上是偶函數(shù)。奇函

數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

3.單調(diào)性：設(shè)/（x）在X上有定義，若對(duì)任意玉wX,x2&X陽(yáng)<々都有

〃王）<〃與）［/（玉）>/（々）］,則稱/（X）在x上是單調(diào)增加的［單調(diào)減少的］;若

對(duì)任意X1€X,x2eX玉<》2都有/（%）《/（々）［/（*）2/（9）］,則稱“X）在X

上是單調(diào)不減［單調(diào)不增］。

（注意:有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加;把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。）

4.周期性：設(shè)/（x）在X上有定義，如果存在常數(shù)THO,使得任意xeX,

x+TeX,都有/（x+T）=/（x）,則稱/（x）是周期函數(shù)，稱T為/（x）的周期。

由此可見，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中的最小正周期稱為周期。

（乙）典型例題

一、求函數(shù)的定義域

【例1】求函數(shù)/（x）=lnlnlnx+J100—x2的定義域。

解Inlnlnx要有定義，x>e,「

J100-X?要有定義,x2<100,|x|<10,

因此，/（X）的定義域?yàn)椋?10］

【例2】求y=）口彳+1的定義域。

-ln|x-5|

解要有定義,》21和工=（）

―J—f要有定義，XH5,x/4XH6,

ln|x-5|

因此,定義域?yàn)閧0}U［l，4）U（4,5）U（56）U（6+oo）

【例3】設(shè)“X）的定義域?yàn)椋邸?,〃］（4>0）,求/（r一1）的定義域。

解要求一oWd—1<〃，則1—。工工241+。，

當(dāng)。21時(shí)，「T—。W0,廠,廠W1+。，貝（I同WJl+a

當(dāng)0<。<1時(shí)，1一。>0,/.y/l-a<|x|<>Jl+a

也即J1-aWxWJ1+-或—Jl+aWxW—J1-a

【例4】設(shè)g（尤）=」'"一'<2求"x）=g（2x）+g（x-l）的定義域，并求

2,2VxW4

(I)

解g(x)的定義域?yàn)椋?,4］,要求0W2xW4,則0WxW2；要求04x-lW4,

則14x?5,于是〃x)的定義域?yàn)椋?,2］。

又嗚卜(3)+g［%2+l=3

二、求函數(shù)的值域

【例1】求y=e出的值域。

解我們先求出反函數(shù)，它的定義域就是原來(lái)函數(shù)的值域。

2K一再’

1=，1+，一,它的定義域」＞0,且ywl

所以原來(lái)函數(shù)的值域?yàn)?0,l)U(L+oo)。

三、求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式

1.已知兀￥)和g(R),求/[g(X)].

X1_

【例1】已知/(x)=——，求/

X-1/W-1

XI

解/(x)-l=---1=---------=X-1(XH1)

x-1x-1/W-1

1x—1x—1

于是，//(1)=(XW1,XH2)

/W-1(x—1)—1x—2

Y

【例2】設(shè)/(x)=k=^,求/[/(…/(幻)]：/“。).

V1+%2

X

y)\+(k+l)X2

X

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法可知，對(duì)正整數(shù)〃，fnw=.

Jl+nx1

2.已知g(x)和加(切，求於).

【例1】設(shè)〃/+l)=e2x+/+x,求危).

解令e"+l=〃，x=ln(w-l)

f(u)=(w-I)2+(w-l)+ln(w-1)=u2-w+ln(w-l)

于是/(x)=A:2-x+ln(x-l)

【例2】已知((")=泥一3且/⑴=0,求穴x).

解令/=t,x=lnf,因此/(/)=/?)=早，

/W-/(l)=小叫=；h/x

1)

?.?/(1)=0,.-./(x)=-ln2x

四、有關(guān)四種性質(zhì)

【例1】設(shè)尸(x)=/(x),則下列結(jié)論正確的是().

(A)若大x)為奇函數(shù)，則尸(x)為偶函數(shù)

(B)若九0為偶函數(shù)，則尸(x)為奇函數(shù)

(C)若人幻為周期函數(shù)，則F(x)為周期函數(shù)

(D)若大x)為單調(diào)函數(shù)，則F(x)為單調(diào)函數(shù)

解(B)不成立，反例/(x)=VF(x)=§+l

(C)不成立，反例/(x)=cox+l,F(x)=sinx+x

(D)不成立，反例/(%)=21,/7(1)=12在內(nèi)8,+00)

(A)成立。

證明尸(外=尸(0)+［；/。)力,/為奇函數(shù)，

F(-x)=F(O+)『7⑺由=F(0+^f(-u)d(-u)

=F(0>=F(x)F(x)為偶函數(shù)。

【例2】求/=f產(chǎn)+(，一e-1)ln(x+y/x2+l)]dx.

解力(x)="—eT是奇函數(shù)，:/[(r)=e-￡—/=-/(x)/(x)=ln(x+Jx2+l)

是奇函數(shù)，

2

f2(-x)=ln(-x+-\lx+1)=In——^=r-

x+^Jx2+1

2

=In1-ln(x+Vx+1)=-f2(x)

因此x(ex-e-x)ln(x+y/x2+l)是奇函數(shù)。

于是/=f產(chǎn)6dx+o=2卜6dx=g。

【例3】?jī)蓚€(gè)周期函數(shù)之和是否仍是周期函數(shù)？

解不一定

XX

(1)f(x)=sin—+cos—

23

x

fx(x)=sin—周期為4n

r

f2W=COS—周期為6n

和6n的最小公倍數(shù)為12n

，/(x)是以12n為周期的函數(shù)

(2)f(x)=sin2x+cosTTX

f\(x)=sin2x周期為n

f2{x}=COS7TX周期為2

Vn和2沒(méi)有最小公倍數(shù)

/(X)不是周期函數(shù)

(3)/(x)=sin2x+(l-sin2x)

力(x)=sin2x周期為口

心(x)=l-sin2x周期為“

雖然力(x)，；2(x)不但都是周期函數(shù)，而且它們的周期有最小公倍數(shù)。

但是/(x)=/i(x)+/2(x)=l，卻不是周期函數(shù)。(因?yàn)闆](méi)有最小正周期。)

【例4】設(shè)f(x),g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且f'(x)ga)—f(x)g'(x)<0,則

當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論成立的是()

(A)/(x)g(b)>/(b)g(x)(B)/(x)g(a)〉/(a)g(x)

(C)/(x)g(x)>/(b)g(b)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

"'(x)g(x)-/(x)g'(x)]<0，,44單調(diào)減少

解

g(x)

于是x<6,則有_)>"),故(A)成立。

g(x)g(b)

§1.2極限

(甲)內(nèi)容要點(diǎn)

一、極限的概念與基本性質(zhì)

1.極限的定義

(1)limx“=A(稱數(shù)列｛x.｝收斂于A)

任給￡>0,存在正整數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí)，就有|X八-A|<￡.

(2)lim/(x)=A

X-?+oo

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)x>X時(shí)，就有|/(x)—川<￡.

(3)limf(x)=A

XT—

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)x>—XiH：就有|/。)一4卜￡.

(4)lim/(x)=4

X->00

任給￡>0,存在正整數(shù)X,當(dāng)lxl>X時(shí)，就有|/(x)-川<￡.

(5)lim/(x)=A

任給￡>0,存在正數(shù)b,當(dāng)0<卜一/|<6時(shí)，就有|/(x)-川<￡。

(6)lim/(x)=/l(用/(x0+0)表示)

任給￡>(),存在正數(shù)b,當(dāng)O<X-Xo<b時(shí)，，就有,(X)-A]<￡

(7)lim/(x)=A(用/(X。一0)表示)

任區(qū)合￡>0,存在正數(shù)6,當(dāng)一5<x—Xo<0時(shí)，就有|/(x)—川<￡。

其中〃/+0)稱為“X)在/處右極限值，"尤。-0)稱為“X)在4處左極限值。

有時(shí)我們用lim/(x)=A表示上述六類函數(shù)的極限，它具有的性質(zhì)，上述六類函數(shù)極

限皆具有這種性質(zhì)。有時(shí)我們把x“=/(〃)，即數(shù)列極限也看作這種抽象的變量的極限的特

例，以便于討論。

2.極限的基本性質(zhì)

定理1(極限的惟一性)設(shè)=limf(x)=B,具！JA=3。

定理2(極限的不等式性質(zhì))設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=3

若x變化一定以后，總有〃x)Ng(x),則AN8

反之，A>B,則x變化一定以后，有/(x)>g(x)

(注：當(dāng)g(x)三()，3=0情形也稱為極限的保號(hào)性)

定理3(極限的局部有界性)設(shè)lim/(x)=4,則當(dāng)x變化一定以后，“X)有界

的。

定理4設(shè)lim/(x)=A,limg(x)=8

則(1)lim[/(x)+g(x)]=A+B

⑵lim[/(x)-g(x)]=4-B

⑶lim[/(x)g(x)]=AB

(4)lim^44=—(八0)

g(x)B')

(5)=A"(A>0)

二、無(wú)窮小量

1.無(wú)窮小量定義：若lim/(x)=(),則稱/(x)為無(wú)窮小量

(注:無(wú)窮小量與x的變化過(guò)程有關(guān)，lim」=0,當(dāng)x-8時(shí),為無(wú)窮小量，而xf5

XTrX

或其他時(shí)，!不是無(wú)窮小量)

X

2.無(wú)窮大量定義：任給M〉0,當(dāng)x變化一定以后，總有，則稱/(X)為

無(wú)窮大量，idlim/(x)=oo0

3.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系：在x的同一個(gè)變化過(guò)程中，若/(x)為無(wú)窮大量，則

才行為無(wú)窮小量，若“X)為無(wú)窮小量且/(X)HO,則宗J為無(wú)窮大量。

4.無(wú)窮小量與極限的關(guān)系

limf(x)=Ao/(x)=A+?(x)其中l(wèi)ima(x)=0

5.兩個(gè)無(wú)窮小量的比較

設(shè)lim/(x)=(),limg(x)=(),且lim/=/

(1)/=0,稱/(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小量，記以/(x)=o[g(x)]

稱g(x)是比“X)低階的無(wú)窮小量,

⑵00,稱“X)與g(x)是同階無(wú)窮小量。

(3)/=1,稱〃x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮小量,記以“X)g(x)

6.常見的等價(jià)無(wú)窮小量當(dāng)Xf0時(shí)

sinxx,tanxxarcsinxxarctanxx

(1，X,

1-cosx—x~,eT-lxln(l+x)x(l+x)(，-1ax(a為實(shí)常數(shù))。

2

7.無(wú)窮小量的重要性質(zhì)

有界變量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量。

三、求極限的方法

1.利用極限的四則運(yùn)算和幕指數(shù)運(yùn)算法則

2.兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則1單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在。

(1)若Zx(〃為正整數(shù))，又土之機(jī)(〃為正整數(shù))

則lim=A存在且A>m

n->oo

(2)若相+1(〃為正整數(shù))，又x“Wm(〃為正整數(shù))

則lim%=A存在且44加

”f8

準(zhǔn)則2(夾逼定理)設(shè)g(x)Kf(x)K〃(x)

若limg(x)=A,lim/i(x)=A?則lim/(x)=A

3.兩個(gè)重要公式

公式2lim|1+—j=e；limf1+—|=e；lim(l+vV=e

?->oo(幾jM—>ooIJv—>0'

4.用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換

5.用泰勒公式(比用等價(jià)無(wú)窮小量更深刻)

2

y-

當(dāng)x—0時(shí)e*=l+x+—十…，*+。(當(dāng)

2!

爐5y2”+l

.AAr/t\n2,,+l

sinx=X------F----F???+(-l/~r+o(x)

3!5!v7(2n+l)!''

[XX/\n

COSX—\----------1-----------?,4-1—11乙+。(一)

2!4!')

ln(l+x)=+------+(T)'""+"x")

n')

35丫2〃+1

xx/n〃2n+

arctanx=x----+-------+一1-+o(x')

35V72〃+1')

.a31Hg-(〃-明"為實(shí)常

(1+x)=l+ax+---------+??

''2!〃！17

數(shù))

6.洛必達(dá)法則

號(hào)型)設(shè)(1)limf(x)=0,limg(x)=0

法則1

(2)x變化過(guò)程中，/(x),g〈x)皆存在

(3)lim'=4(或oo)

g'(x)

則lim'=A(或oo)

g(x)

(注：如果lim勺?不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出limg?不存在且不是

S(x)g(x)

無(wú)窮大量情形)

法則2—型|設(shè)(1)lim/(x)=oo,limg(x)=oo

(2)x變化過(guò)程中,f'(x),g'(x)皆存在

(3)lim=A(或oo)

g'(x)

則lim=A(或8)

g(x)

7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限

基本公式：lim［如果存在］

8.利用定積分定義求極限

基本公式：則岳D?(x)dx

［如果存在］

9.其他綜合方法

10.求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法

(乙)典型例題

-、通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限

amX'"+am-\X"'+^()

【例1】設(shè)R0,b”H0,求lim

x-?oo…+3+瓦

解hm」2-----如一：--------!-----2-

0n

ifhnx+bn_}x+---+btx+b0

m+即廠"']

1.x-"\ain,+ain—ni|/+…+ai.x'-'"u

=lim----------：---------：-------------

n

isb,x+…+〃+bQx

0當(dāng)時(shí)

=<—當(dāng)時(shí)m-n

b〃

00當(dāng)時(shí)機(jī)〉〃

【例2】設(shè)Irl<1,求lim(Q+〃r+???+ar'i).

11n-><x

解lim(a+〃〃+???+arn~])=alim------=------

〃一>8n—>ooi一廠]—r

特例：(1)求lim+(|)—…+(_1)"’(|)

2

2272

解例2中取,r=——,可知原式=

335

n

i+i+...+m

(2)lim-------------2_4

區(qū)-=

"TOO|1T3

1d----+

332

nn+1r\n

【例3】求limJ

"fg2用+3"

解分子、分母用3"除之,

3-f2T

原式=!吧/一=3

<3j+1

（注：主要用當(dāng)卜|<1時(shí),limr"=0)

n->x

”1

【例4】設(shè)/是正整數(shù),求limV---------

…七k(k+l)

111

解

k(k+1)l\kk+l

n1

?N—Id1-…-l-----------

k=lk(k+l)/2/H+1〃+/

因此原式=711+5H-----FjJ

特例：(1)limV-----------=1(/=1)

…白人(攵+1)

"11(]、3

(2)limY---=-1+-(1=2)

，一占左伏+2)212)4

_.、門八、]①皿_11+d1+(〃-Y)d

【例6】設(shè)d>0為常數(shù)，求hm—+——+???+———------

8n-nn-

解原式=lim—^{1+[1+(〃—l)d]}二萬(wàn)

特例：[d—1)lim--H—^+?,?H--=一

“一8nn"n2

zjc、r]327i—11

(d=2)lim—+—+???+———=1

isnnn

【例7】求下列各極限

rJ1+X—yj\-X.A/1+X—yJl—X

(1)lim---------------------(2)hm---------------------

XTO%KTO%

原式用匹=2=1

解(1)解-

“f°Jl+x+Jl-x)2

(Jl+冗-1)

解二原式=lim

x->0X

等價(jià)無(wú)窮小量代換「

----------------lim=1

XTOX

解三用洛必達(dá)法則1

1__j(-1)]

原式=lim2歸L匕了引=]

x->01

(l+x)_0_x)______________2

(2)解一原式=hm—

x->0

x標(biāo)y+(m)尸)+尸

解二類似(1)中解二用等價(jià)無(wú)窮小量代換

解三類似(1)中解三用洛必達(dá)法則

【例8】求下列極限

(1)設(shè)卜|<1,lim(l4-r)(l+/)…(1+/)

1一/1

解(1)分子分母都乘l-r,則原式=lim------=——

〃->81一r1-r

(2)原式=++q…(1--)(1"1—

..1324〃一1幾+1..〃+11

=hm------------------=lim----=—

282233nn〃―002n2

二、用兩個(gè)重要公式

XXX

[例1]求limcos—cos---cos—。

i242〃

解當(dāng)x=0時(shí)，原式二1

2.XXXX

2sin——cos—cos---cos——

當(dāng)XW0時(shí)，原式二lim-----或——Z一------

-02nsin—

X

?-lXXX.X

n2cos-cos---cos——sin——

二lim______2_4_____空r―空r

…2/fsin—

T

X

sinx「sinx2n_sinx

hm-------=hm----

"T8x〃T8x

，sin—

T

vlim———=1

”->8.X

【例2】求下列極限

⑵1*)

2(x+10)

(2)解一

解二lim

x->0

【例3】

4

(1)lim(l+tanx)colr(2)lim尤a

.t->0

(3)lim(cosx)cot

解(1)令tanx=f則cotx=L當(dāng)x->0時(shí)ff0

于是lim(l+tanx)cotx=lim(l+r)f=e

x->0t->0

(2)令x-l=E則工=1+1，當(dāng)x-1時(shí)，t-^0

44r!-|4

于是limxr-1=lim(l+f)'=lim(1+/V

x->l，T0/->0,

cos2x]COS?》

lim(cosx)corx=lim(l-sin2x)2sin2r=lim「l+(-sin2x)~|卜加。)(F

x->0X->0X->0L」

JI

=e5

三、用夾逼定理求極限

【例1】求lim(一1乙3一52/7-1

"T82462n

1352n-\242n

解令、"=5百

2n352/?+1

1

則Ooc<y,于是0<x?<xv=-----

nn〃〃"2n+l

由夾逼定理可知limx：=0,于是原極限為o.

XTco

【例2】求下列極限

1

(1)limV(2)limV----

+k〃+°普7廠+〃+左

n/1n

解(1)v.<y

J/+〃&=1J/仙J"+1

n1

而1v1m,----==lim,=1

>00n2+n

lim

由夾逼定理可知limV/

…仁城+女

.1+2+…+〃k1+2+…+〃

(2)---------<-----------

2

n+〃+〃k=l

1/八

-?(?+1)]

..1+2+…+〃].

而lim----z--------=lim

“TOOn+2〃〃一>8〃(〃+2)2

1/八

—H(H+1)

..1+2+…+〃「

lim——----------=lim

“T8n~+n+l“T8/+〃+12

則夾逼定理可知limY

/+〃+左2

四、用定積分定義求數(shù)列的極限

【例1】求陽(yáng)

分析如果還想用夾逼定理中方法來(lái)考慮

22

nfinn

—<y-------<------

幾2+k2n2+12

右」，加二=1

而lim

“Toon+n2w-*°°n+1

由此可見，無(wú)法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來(lái)考慮.

1n1

limYnlim—V

解2

+k?"Toofl

/dxii71

-----=arctanx\

J)l+x2104

1P+21'+...ip

[例2]設(shè)p>l,求lim—~~+t-

'〃+O九P+1

解原式=lim,￡(8丫

—°〃臺(tái)⑺

=xpdx

1

P+1

五、用洛必達(dá)法則求極限

000

1,型和“一”型.

0oo

【例1】求lim^^——產(chǎn).

.18.31

sin*—

n

解離散型不能直接用洛必達(dá)法則，故考慮

x-sinx「x-sinx

limlim--------

33

XT。sinxI)Y

1-cosxsinx1

=lim-------=lim----=一

103r“T06x6

原式=L

_￡

2

【例2】求lim=

Dx10

解若直接用3型洛必達(dá)法則1,則得lim（不好辦了，分

ox->0

母X的次數(shù)反而增加），為了避免分子求導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜性，我們先用變量替換，令二=f

X

ex~etoo

于是lim—=lim—=lim—(“一”型)

XTO'fT+00/QQ

=lim——=???=lim—=0

-d/-?■+<?/

2.“8-8”型和“0?8”型.

［例I］求lim-———

ex-\)

x

A..rii)—i)—xo］

解7Jlim--------=lim-------——(/“a一”型)

xx

x—oIxe-\)ioX(e-1)0

=lim-----------=lim-----------

k-oxexx->oex+e*+xex

=lim----=—

x—>o2+x2

if?/1cos-x.

【例2】求hm(——------3—).

XT°sinxx

2—si?n2xcos2x

解原式=lim~~2

x->0xsinx

x2--sin22x

4

4.

2x——sin2xcos2x

=lim----------------

104X

1.4

x——sin4x

=lim——---

io2x3

..1-cos4x..4sin4x4

=lim-------=hm-------=—

2

I。6xXT。12x3

［例3］求limsin2xlnx.

X->o+

cInxoo

解原式=limxInx=lim(“一”型)

x->0+.r->0+X00

X

lim-----=0

Xfo+-2x

3.?rw型，“o°”型和“8°”型

這類都是lim[/(x)]gU)形式,可化為Jmg*)間"刈，而]img(x)ln[/(x)]齷“0?8'

型，按2的情形處理.

【例1】求lim/春.

x->0+

解令y=/n2x,iny=sin2xlnx

limIny=limsin2xlnx=0(見2中例3)

.r->0+x->0+

limy=e0=I

A->0+

【例2】求15(COSX『門(前面已用重要公式的方法).

Co[2]

解令y=(cosx)3iny=cot2xlncosx

.....21「Incosx..Incosx

lim\ny=limcotxIncosx=lim------=lim------

.soX-OXT°tan-xXT°x

(“一”型)=lim------=——,/.limy=e

0I。2x2so

【例3】求lim

si/+"

解令丁=sin—+cos—，lny=xln

kxx)XX)

Insin—+cos—.

「11.Ixx)ln(sinr+cosz)

limIny=lim---------------=lvim------------

XTOOXT81Z->0f

X

「cosz-sinr

=lim--------------=1t

…°sin/+cos/

Alimy-e

XT8

六、用無(wú)窮小量重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小量代換

r.-川寸〃~+〃+l.r~2r

[例1]求hm---------sin+1.

”->°03〃+1

3111

&力4〃~+〃+i-/八.r-2r八

解?lim-------------=Iim-----------------=0,sin\/?24-1<1

“T83〃+1〃f83+1

n

根據(jù)有界變量乘無(wú)窮小量仍是無(wú)窮小量，可知原式=0.

分—(1-cos2x)arctan3x

［例2］求hm-------------------------.

(ex-1)ln(1+2x)sin5x

解用等價(jià)無(wú)窮小量代換

l(2x)2(3x)a

原式=lim----------------—

i>x(2x)(5x)5

.1

3asinx+x-2cos—

【例3】求lim-------------------心.

1。(1+cosx)ln(l+x)

解這個(gè)極限雖是“9”型，但分子、分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛

0

必達(dá)法則.

「sinx1

13--------+XCOS—3

原式=limxx

i01+cosxln(l+x)2

x

七、用泰勒公式求極限

13

sinx-x+一丁

【例1】求lim---------一一

XTOX

工3Y5

解sinx=x------1-----F)(當(dāng)x—0時(shí))

3!5!

5

x、

一+o（x5）

原式加「一I1

=12=

2。X55!120

八、用導(dǎo)數(shù)定義求極限

【例"設(shè)小。）=2,求㈣/&3"）7上2-）.

解原式一lim［/（/+3Ax）一/（/）］一［/（/一26）一/（入0）］

AVTOM

=3/(x°+3Ar)-/(Xo)」(為一一

lim+2lim2A07(%)

Arf0

加TO3Ax(-2Ax)

=3/(玉))+2/'(/)=5/'(%)=1

2

【例2】設(shè)曲線丁=/。）與〉=國(guó)11不在原點(diǎn)相切，求1加4（一）?

?->0°n

解由題設(shè)可知,/■(())=0,f'(0)=(sinx)140=1

噌二（0）

了是lim22r(0)=2

“T82一0

n

九、求遞歸數(shù)列的極限

1a、1

【例1】設(shè)。>0,西b>0,一再1+一+----求

2-〃一?oo

x\)Xn-\>

解???X〃>y[a>0（算術(shù)平均值）幾何平均值）

又引十1<0,則x〃+i4x”

2X"

因此｛4｝單調(diào)減少，又有下界，根據(jù)準(zhǔn)則1,limx.=A存在

、

把/=；+—a兩邊取極限，得A+qa

X"-l

Xn-\)24

2

A=afVA>0,.??取/1=夜，于是lim%=夜

n—>00

卜、求分段函數(shù)的極限

【例1】求下列函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限

sin2x

x<0

X

/(x)=,

X"2

x>0

1-cosx

sin2x「sin2x.

解/(O-O)=limlim2-----=2

KT。一xXT。-2x

Y2

/(O+O)=lim-----------l-im--二2

90+1-COSXXTO*1,

_JC

2

：.lim/(x)=2