重點強化卷(三)萬有引力定律的應用(建議用時：60分鐘)一、選擇題1．(多選)下列關于地球同步衛星的說法正確的是()A．它的周期與地球自轉同步，但高度和速度可以選擇，高度增大，速度減小B．它的周期、高度、速度都是一定的C．我們國家發射的同步通訊衛星定點在北京上空D．我國發射的同步通訊衛星也定點在赤道上空【解析】同步衛星的軌道平面過地心，且相對地面靜止，只能在赤道上空，它的高度一定，速率一定，周期一定，與地球自轉同步，故選項B、D正確．【答案】BD2．過去幾千年來，人類對行星的認識與研究僅限于太陽系內，行星“51pegb”的發現拉開了研究太陽系外行星的序幕．“51pegb”繞其中心恒星做勻速圓周運動，周期約為4天，軌道半徑約為地球繞太陽運動半徑的eq\f(1,20).該中心恒星與太陽的質量比約為()\f(1,10)B．1C．5D．10【解析】行星繞中心恒星做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r，則eq\f(M1,M2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(T2,T1)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,20)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(365,4)))2≈1，選項B正確．【答案】B3．我國成功發射了“嫦娥三號”，關于“嫦娥三號”衛星的地面發射速度，以下說法正確的是()A．等于km/sB．介于km/s和km/s之間C．小于km/sD．介于km/s和km/s之間【解析】“嫦娥三號”探月衛星是以直奔38萬千米遠地點的方式發射的，所以其地面發射速度大于km/s，但由于它并沒有脫離地球的引力范圍，所以小于km/s，故B正確．【答案】B4．星球上的物體脫離該星球引力所需要的最小速度稱為第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2與第一宇宙速度v1的關系是v2＝eq\r(2)v1.已知某星球的半徑為r，它表面的重力加速度為地球表面重力加速度g的eq\f(1,6).不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度為()\r(\f(gr,3)) \r(\f(gr,6))\f(gr,3) \r(gr)【解析】該星球的第一宇宙速度：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v\o\al(2,1),r)在該星球表面處萬有引力等于重力：Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(g,6)由以上兩式得v1＝eq\r(\f(gr,6))，則第二宇宙速度v2＝eq\r(2)v1＝eq\r(2)×eq\r(\f(gr,6))＝eq\r(\f(gr,3))，故A正確．【答案】A5．如圖1所示，在同一軌道平面上的幾個人造地球衛星A、B、C繞地球做勻速圓周運動，某一時刻它們恰好在同一直線上，下列說法中正確的是()圖1A．根據v＝eq\r(gr)可知，運行速度滿足vA>vB>vCB．運轉角速度滿足ωA>ωB>ωCC．向心加速度滿足aA<aB<aCD．運動一周后，A最先回到圖示位置【解析】由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(v2,r)得，v＝eq\r(\f(GM,r))，r大，則v小，故vA<vB<vC，A錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝mω2r得，ω＝eq\r(\f(GM,r3))，r大，則ω小，故ωA<ωB<ωC，B錯誤；由Geq\f(Mm,r2)＝ma得，a＝eq\f(GM,r2)，r大，則a小，故aA<aB<aC，C正確；由Geq\f(Mm,r2)＝meq\f(4π2,T2)r得，T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，r大，則T大，故TA>TB>TC，因此運動一周后，C最先回到圖示位置，D錯誤．【答案】C6．(多選)據英國《衛報》網站2015年1月6日報道，在太陽系之外，科學家發現了一顆最適宜人類居住的類地行星，繞恒星橙矮星運行，命名為“開普勒438b”．假設該行星與地球繞恒星均做勻速圓周運動，其運行的周期為地球運行周期的p倍，橙矮星的質量為太陽的q倍．則該行星與地球的()A．軌道半徑之比為eq\r(3,p2q)B．軌道半徑之比為eq\r(3,p2)C．線速度之比為eq\r(3,\f(q,p))D．線速度之比為eq\r(\f(1,p))【解析】行星公轉的向心力由萬有引力提供，根據牛頓第二定律，有Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R，解得：R＝eq\r(3,\f(GMT2,4π2))，該行星與地球繞恒星均做勻速圓周運動，其運行的周期為地球運行周期的p倍，橙矮星的質量為太陽的q倍，故：eq\f(R橙,R太)＝eq\r(3,\f(M橙,M太)\f(T行,T地)2)＝eq\r(3,qp2)，故A正確，B錯誤；根據v＝eq\f(2πR,T)，有：eq\f(v行,v地)＝eq\f(R行,R地)·eq\f(T地,T行)＝eq\r(3,qp2)·eq\f(1,p)＝eq\r(3,\f(q,p))；故C正確，D錯誤．【答案】AC7．月球與地球質量之比約為1∶80，有研究者認為月球和地球可視為一個由兩質點構成的雙星系統，它們都圍繞地月連線上某點O做勻速圓周運動．據此觀點，可知月球與地球繞O點運動線速度大小之比約為()圖2A．1∶6400 B．1∶80C．80∶1 D．6400∶1【解析】月球和地球繞O點做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力提供各自的向心力，則地球和月球的向心力相等．且月球和地球與O點始終共線，說明月球和地球有相同的角速度和周期．因此有mω2r＝Mω2R，所以eq\f(v,v′)＝eq\f(r,R)＝eq\f(M,m)，線速度和質量成反比，正確答案為C.【答案】C8.(多選)P1、P2為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛星s1、s2做勻速圓周運動．圖中縱坐標表示行星對周圍空間各處物體的引力產生的加速度a，橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2周圍的a與r2的反比關系，它們左端點橫坐標相同．則()圖3A．P1的平均密度比P2的大B．P1的“第一宇宙速度”比P2的小C．s1的向心加速度比s2的大D．s1的公轉周期比s2的大【解析】由圖象左端點橫坐標相同可知，P1、P2兩行星的半徑R相等，對于兩行星的近地衛星：Geq\f(Mm,R2)＝ma，得行星的質量M＝eq\f(R2a,G)，由a-r2圖象可知P1的近地衛星的向心加速度大，所以P1的質量大，平均密度大，選項A正確；根據Geq\f(Mm,R2)＝eq\f(mv2,R)得，行星的第一宇宙速度v＝eq\r(\f(GM,R))，由于P1的質量大，所以P1的第一宇宙速度大，選項B錯誤；s1、s2的軌道半徑相等，由a-r2圖象可知s1的向心加速度大，選項C正確；根據Geq\f(Mm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r得，衛星的公轉周期T＝2πeq\r(\f(r3,GM))，由于P1的質量大，故s1的公轉周期小，選項D錯誤．【答案】AC9．(多選)為紀念伽利略將望遠鏡用于天文觀測400周年，2023年被定為以“探索我的宇宙”為主題的國際天文年．我國發射的“嫦娥一號”衛星繞月球經過一年多的運行，完成了既定任務，于2009年3月1日16時13分成功撞月．如圖4為“嫦娥一號”衛星撞月的模擬圖，衛星在控制點1開始進入撞月軌道．假設衛星繞月球做圓周運動的軌道半徑為R，周期為T，引力常量為G.根據題中信息，以下說法正確的是()圖4A．可以求出月球的質量B．可以求出月球對“嫦娥一號”衛星的引力C．“嫦娥一號”衛星在控制點1處應減速D．“嫦娥一號”在地面的發射速度大于km/s【解析】由Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(4π2,T2)R可得M＝eq\f(4π2R3,GT2)，選項A正確；月球對“嫦娥一號”衛星的引力F＝Geq\f(Mm,R2)，因不知道衛星的質量，故月球對衛星的引力不能求得，選項B錯誤；衛星在控制點1減速時，萬有引力大于向心力，衛星做向心運動，半徑減小，進入撞月軌道，選項C正確；若發射速度大于km/s，會脫離地球的束縛，不可能繞月球轉動，選項D錯誤．【答案】AC二、計算題10．一顆人造地球衛星在離地面高度等于地球半徑的圓形軌道上運行，已知地球的第一宇宙速度是v1＝km/s，(g取m/s2)問：(1)這顆衛星運行的線速度多大？(2)它繞地球運行的向心加速度多大？(3)質量為1kg的儀器放在衛星內的平臺上，儀器的重力多大？它對平臺的壓力多大？【解析】(1)衛星近地運行時，有：Geq\f(Mm,R2)＝meq\f(v\o\al(2,1),R)，衛星離地高度為R時，有：Geq\f(Mm,4R2)＝meq\f(v\o\al(2,2),2R)，從而可得v2＝km/s.(2)衛星離地高度為R時，有：Geq\f(Mm,4R2)＝ma；靠近地面時，有：Geq\f(Mm,R2)＝mg，從而可得a＝eq\f(g,4)＝m/s2.(3)在衛星內，儀器的重力就是地球對它的吸引力，則：G′＝mg′＝ma＝N；由于衛星內儀器的重力充當向心力，儀器處于完全失重狀態，所以儀器對平臺的壓力為零．【答案】(1)km/s(2)m/s2(3)N011．質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L.已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側．引力常量為G.圖5(1)求兩星球做圓周運動的周期；(2)在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行的周期記為T1.但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2.已知地球和月球的質量分別為×1024kg和×1022kg.求T2與T1兩者平方之比．(結果保留三位小數)【導學號：35390048】【解析】(1)兩星球圍繞同一點O做勻速圓周運動，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由兩者間的萬有引力提供，設OB為r1，OA為r2，則對于星球B：Geq\f(Mm,L2)＝Meq\f(4π2,T2)r1對于星球A：Geq\f(Mm,L2)＝meq\f(4π2,T2)r2其中r1＋r2＝L由以上三式可得T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m)).(2)對于地月系統，若認為地球和月球都圍繞中心連線某點O做勻速圓周運動，由(1)可知地球和月球的運行周期T1＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))若認為月球圍繞地心做勻速圓周運動，由萬有引力與天體運動的關系：Geq\f(Mm,L2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))L解得T2＝2πeq\r(\f(L3,GM))則eq\f(T\o\al(2,2),T\o\al(2,1))＝eq\f(M＋m,M)＝.【答案】(1)2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)12．有兩顆人造衛星，都繞地球做勻速圓周運動，已知它們的軌道半徑之比r1∶r2＝4∶1，求這兩顆衛星的：【導學號：353900