第五節連續介質地震波運動學

Section5ContinuousMediumSeismicWaveKinetics思考題連續介質中的時距方程與層狀介質中的射線和時距方程有何不同？連續介質情況下直達波有何特點？主要內容地震波在連續介質中傳播時的射線和等時線方程速度規律為v(z)=v0(1+βz)時射線和等時線的具體形式連續介質情況下的“直達波”（回折波）覆蓋層為連續介質時的反射波在沉積巖地區，地震波傳播速度的分布規律具有成層性，因此可以近似地把地層看成是層狀介質。但是通過地震勘探的大量研究，人們發現，對于較深的界面，把它的覆蓋介質的波速看成隨深度連續變化，更接近于真實情況，因此本節討論地震波在連續介質中的傳播規律。根據這一基本思想，把連續介質簡化為許多厚度為△z的水平薄層。于是從震源O出發的射線，其路程必滿足折射定律。若在各薄層的入射角為α0，α1，α2…αn，則有：對于某一條射線，α0為某個定值，P值也就為某一定值。對從O點出發的不同射線，它們入射到第一層和第二層分界面時，入射角α0的值是不相同的，因而P值也不相同，稱P值為射線參數。一條射線的α0值或P值都能表示這條射線的方向特征。運用微積分的基本思想，令水平薄層的數目無限增加，薄層厚度△z無限減少，則層狀介質就過渡到連續介質。同時，射線的軌跡也就由折線過渡到曲線。這時，射線在每一深度的入射角都會不同，即射線的入射角α變為深度z的連續函數α(z)。最后，射線參數P的表達式也變為：

P＝sinα(z)/v(z)一般說來當速度連續變化時，射線已不是直線或折線，而是曲線了。這曲線的具體形狀當然與速度變化的具體規律v(z)有關。從數學上說，要決定射線的形狀，就要導出射線的方程式。在x－z平面內射線的方程式也就是射線上各點的坐標應滿足的函數關系x=f(z，P)，這個函數關系是必然與v(z)有關的。為了得出射線的方程，仍從微積分的基本思想出發，先研究曲射線的任意一段很短的單元這時可把這一小段看成直線。可得:

所謂等時線就是一族以時間t為參數的曲線。等時線方程在x-z平面內就是以t為參數的等時線應滿足的函數關系x=g(z，t)。為了導出等時線方程，先求出波沿射段ds傳播的時間dt。顯然，dt應等于ds除以這段路程上的速度v(z)。2速度規律為時射線和等時線的具體形式上面得出的是在v＝v(z)時地震波的射線和等時線的一般表達式，從這些公式還不能看出射線和等時線的具體形狀，只有把速度隨深度變化的具體規律，即速度函數v(z)的具體形式代入上述公式后，才能找出地震波射線和等時線的具體形狀。下面討論在的條件下，射線和等時線的方程以及它們的幾何形狀。（1）射線方程及其形狀這就是在速度隨深度線性增加的情況下，地震波射線的方程式。為了能更清楚地看出射線的幾何形狀，可以對(1-5-8)式進行適當的變換，使它變為標準形式的曲線方程。射線參數改用α0表示，變換后的結果是：實際上，為了在x－z平面中畫出射線，可以這樣進行，在z軸的負方向作一條與Ox平行、相距Ox為1/β的直線AB，在AB上取任一點x1為圓心,x1O為半徑作一圓弧，就得到一條射線。用同樣方法，以x2、x3，…圓心，可以作出一系列的射線。3連續介質情況下的“直達波”(回折波)

當速度隨深度線性增加時，地震波的射線是圓弧。如果在地面上觀測，可以接收到一種波，它和均勻介質中的直達波相似：都是從震源出發沒有遇到界面，直接傳到地面各觀測點的；但是，它和均勻介質中的直達波又有不同，波不是從震源出發沿直線傳到地面各觀測點的，而是沿著一條圓弧形的射線，先向下到達某一深度后又向上拐回地面，到達觀測點。根據這一特點，把這種“直達波”稱為回折波。回折波的每條射線都有自己的最大穿透深度zmax，到達這一深度之后開始向上拐。一條射線的最大穿透深度zmax，等于該射線圓弧的半徑減去1/β。回折波時距曲線方程可以用下面步驟導出：當給定v(z)＝v0(1+βz)中v0＝1880m/s，β＝0.00026/m時，利用(1-5-16)計算出回折波時距曲線數據列于表。它的形狀如圖所示。它是一條向下彎的曲線，在x不太大時，它同速度等于v0的均勻介質中的直達波時距曲線(直線)是基本上重合的。4覆蓋層為連續介質時的反射波設在z=H處有一界面，上部是連續介質，其速度為v(z)=v0(1+βz)，下面是速度值為v2的均勻介質，在這個界面上就可能形成反射波。可以把等時線方程理解為在地下任一點波的到達時間t與該點坐標(x，z)之間的關系。如果地下有一個水平界面，深度為H，那么把z=H代入等時線方程，就可得到在界面上各點波的到達時間t與這些點的x坐標的關系。水平界面反射波的入射線與反射線是對稱的。因此，把波到達界面上各點的時間t乘2，把各入射點的x坐標乘2，最終得出的t與x的關系就是反射波時距曲線方程了。設反射波時間為t’，地面接收點坐標為x’，則：

t’=2t,t=0.5t’；x’=2x,x=0.5x’

把它們代入(1-5-15)式，并令式中z=H有：由(1-5-17)式所表示的時距曲線也不是一條雙曲線。我們可以用類似于討論水平層狀介質情況下反射波時距曲線性質的辦法對它進行研究。設v(z)=v0(1+βz)，v0=1880m/s，β=0.00026/m，H=2000m。利用(1-5-17)式計算出反射波時距曲線的數據表，畫出時距曲線的具體形狀。為了分析這條時距曲線是否可以在一定條件下近似看成雙曲線，也用具有平均速度為vav(H=2000)、厚度H=2000m的均勻介質來代替這組連續介質，并計算這種情況下的反射波時距曲線。連續介質的平均速度的計算公式是：強調說明：我們討論的反射波是“覆蓋介質為連續介質時的反射波”。如圖所示，界面R上部是速度連續變化的介質，在R界面上速度是“突變的”，即v2≠v(H)。注意!我們不是討論“在一個速度連續變化的層內地震波的反射問題”。區別：“覆蓋介質為連續介質時的反射波”與“在一個速度連續變化的層內地震波的反射”。為了把這兩種情況區別開，在下圖上有三個地層：第I層速度是常數v1，第Ⅲ層速度也是常數v2，但II層的速度是連續變化的：從z=H1處的v1