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教材和參考書目：《教育與心理統計學》，張敏強主編，人教版《心理與教育統計學》，張厚粲主編，北師大版《心理學研究方法》三編，黃希庭主編，高教版《心理統計》英文9版，R.P.Runyon，人民郵電

2/6/20231JumpingRabbitStudio第9章方差分析9.1方差分析的基本原理及步驟9.2完全隨機設計的方差分析9.3隨機區組設計的方差分析9.4事后檢驗2/6/20232JumpingRabbitStudio方差分析（一）Outline:1Introduction2ThepointsofANOVA3Mainconceptions4TheprerequisiteofANOVA2/6/20233JumpingRabbitStudio專業A專業B專業C158158156156160162165160163162156163162155168165160163160157164155178163156168166160170158某學院每年招收三個專業的學生，每個專業隨機抽取9名同學，其身高如表所示，請問三個專業學生的身高是否有顯著差異？2/6/20234JumpingRabbitStudio1Introduction:

若將顯著性檢驗也視為兩總體間“差異”檢驗，則第六章所講t檢驗法主要適用于兩總體間均值差異的顯著性檢驗，但在實踐中經常會遇到要比較多個處理優劣的問題，即需進行多個均值間的差異顯著性檢驗。這時若仍采用t檢驗法有下列問題：WhycannotusemultipleTtesttoconductmultiplecomparisonamonggroups?為什么不能用t檢驗對多個平均數的差異進行比較？2/6/20235JumpingRabbitStudio比較組合次數多：Z、t檢驗的局限性：可靠性降低缺少綜合信息；缺乏整體信息。2/6/20236JumpingRabbitStudio

1、檢驗次數增加

例如，一實驗包含5個處理，采用t檢驗法要進行=10次兩兩均值的差異顯著性檢驗；若有k個處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗。

2、無統一的實驗誤差，誤差估計的精確性和檢驗的靈敏性低。每次檢驗的標準誤不同；自由度為充分利用。如5個處理，每個處理重復6次，共有30個觀測值。進行t檢驗時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估計誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用30個觀測值估計誤差，顯然估計的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25。用t檢法進行檢驗時，誤差自由度小，容易掩蓋差異的顯著性。2/6/20237JumpingRabbitStudio3、推斷可靠性低，檢驗的I型錯誤大

每次比較不會犯I型錯誤概率為1-α，K次比較為（1-α），則犯錯誤概率為1-（1-α）。

由于上述原因，多個平均數的差異顯著性檢驗不宜用t檢驗，須采用方差分析法。

2/6/20238JumpingRabbitStudio2ThepointsofANOVA方差分析(analysisofvariance，ANOVA)是由英國統計學家R.A.Fisher于1923年首先提出的。是目前應用最廣泛的統計分析法之一。Theladytastetea!Theprinciplesofexperimentdesign:RandomizationLocalcontrolRepetition2/6/20239JumpingRabbitStudio方差分析又稱為變異分析(analysisofvariance,ANOVA)，是由斯內德克根據費舍的早期工作發明的一種檢驗方法。分析實驗數據中不同來源的變異對總的變異的貢獻大小。用于分析兩種以上平均數的差異檢驗問題。2/6/202310JumpingRabbitStudio變異數分析的思路：變異(方差)反映了數據的變化，若能將數據變化的原因加以分解(方差可加性)，一部分為由于施加了自變量的不同水平或處理而導致的組間變異，另一部分為同一處理下各觀測值間的變異(認為是誤差)，則可以將兩部分變異進行比較(方差差異顯著性檢驗，F檢驗)以判斷組間變異是否顯著大于誤差變異，從而判斷組間因素的效應是否顯著。（1）平方和分解2/6/202311JumpingRabbitStudio2/6/202312JumpingRabbitStudio各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內均方，分別記為MSt（即）、MSb（即）和MSe（或）。即

（2）構造方差比（3）testIfF=12/6/202313JumpingRabbitStudio

1.自變量和因變量：因素，性質變量或分類變量；因變量，觀測指標。方差分析：自變量的不同水平或處理在因變量上的差異2.變異源：組間因素(自變量)、無關變量(系統誤差來源，需要控制)、隨機誤差(組內變異，比較的基礎，隨機化原則)3.因素的水平和實驗處理：方差分析的特點三個水平以上，處理即最小的實驗條件，各變量水平的組合(計算)

4.實驗設計分類：不同的設計使用不同的方差分析(主要是方差分解不同)，單因素(單向)、二因素、多因素(析因)；從控制無關變量(一般是機體變量)多少分完全隨機化、隨機區組(單個被試作為區組)、拉丁方；被試接受處理數分被試間、被試內(重復測量)和混合設計。3MainConceptions2/6/202314JumpingRabbitStudio假設某研究者要研究若干種心理治療方法的效果，考察的方法包括:RealityTherapy,BehaviorTherapy,Psychoanalysis,GestaltTherapy.Q1:如何進行實驗設計？設有20名被試。Q2:實驗包括幾個處理？自變量有幾個水平？指標是什么？——自我概念量表得分變化。Q3:可能的變異源有哪些？Q4:若增加對被試性別效應的考察，實驗設計如何變化？Q5:若考慮到自我概念的起始水平不同，如何變化？Example12/6/202315JumpingRabbitStudioDoyouknowhowarrangethesubjectstoallthetreatmentwiththoseabovedesign?完全隨機化設計(上左)和隨機區組設計(上右)都試被試間設計，不節省被試，只有被試內設計(下右)才節省被試。2/6/202316JumpingRabbitStudio1正態總體：2Additivityofeffectsorvariation(可加性)3homogeneityofvariancewithineachtreatment——Levene’stest（同質性）4TheprerequisiteofANOVA2/6/202317JumpingRabbitStudio9.1方差分析的基本原理（一）綜合的虛無假設與部分虛無假設綜合虛無假設：樣本所歸屬的所有總體的平均數都相等。H0：μ1=μ2=μ3部分虛無假設：部分樣本對應的總體的平均數相等。H0：μ1=μ2

μ2=μ3

μ1=μ32/6/202318JumpingRabbitStudio（二）方差的可分解性方差分析依據的基本原理是方差（或變異）的可加性原則，將總的平方和分解為幾個不同來源的平方和。平方和指觀測數據與平均數離差的平方總和。求5，6，10，13，7，9，4的平方和2/6/202319JumpingRabbitStudio方差的可分解性總平方和組間平方和組內平方和2/6/202320JumpingRabbitStudioF檢驗組間方差組內方差F單側檢驗2/6/202321JumpingRabbitStudio方差分析的基本過程⑴．提出假設⑵．選擇檢驗統計量并計算①．分解平方和SS②．分解自由度df③．計算方差MS④．計算F值⑶．作出統計結論并列方差分析表2/6/202322JumpingRabbitStudio1.總體正態分布2.變異的相互獨立3.各個實驗處理內的方差一致方差分析的基本假定：方差齊性檢驗：若說明方差不齊性2/6/202323JumpingRabbitStudio實驗設計與方差分析T檢驗用于只有兩種實驗處理的實驗設計。方差分析適用于三種及其以上實驗處理的情況，可以分為組間設計、組內設計和混合設計。組間設計，也稱為被試間設計、完全隨機設計，將被試隨機分為若干組，每組被試分別接受一種實驗處理。2/6/202324JumpingRabbitStudio組內設計，又稱為被試內設計、重復測量設計，每個被試接受所有自變量的實驗處理。混合設計一般涉及兩個以上的自變量，其中既有被試內變量也有被試間變量。2/6/202325JumpingRabbitStudio9.2完全隨機設計的方差分析完全隨機設計的方差分析，是對單因素的組間設計的方差分析，實驗安排被試如下：處理1處理2……處理k被試11被試21……被試k1被試12被試22……被試k2被試13被試23……被試k3……………………2/6/202326JumpingRabbitStudio分析步驟1.提出虛無假設H0：μ1=μ2=μ3……H1：μ1≠μ2≠μ3……H0：各班的平均身高是相等的H1：各班的平均身高是不相等的2/6/202327JumpingRabbitStudio2.求平方和組內求和組間求和2/6/202328JumpingRabbitStudio3.計算自由度總的自由度：組間自由度：組內自由度：2/6/202329JumpingRabbitStudio4.計算均方組間方差：組內方差：5.計算F值2/6/202330JumpingRabbitStudioＦ檢驗統計決斷規則F與臨界值比較P值顯著性檢驗結果F＜F(dfB,dfW)0.05P＞0.05不顯著保留H0，拒絕H1F(dfB,dfW)0.05≤F＜

F(dfB,dfW)0.010.05≥P＞0.01顯著＊在0.05顯著性水平拒絕H0，接受H1F≥F(dfB,dfW)0.01P≤0.01極其顯著＊＊在0.01顯著性水平拒絕H0，接受H16.作出決斷2/6/202331JumpingRabbitStudio7．列出完全隨機設計的方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異SSBdfBMSBP組內變異SSwdfwMSw總變異SSTdfT完全隨機設計方差分析表2/6/202332JumpingRabbitStudio某學院每年招收三個專業的學生，每個專業隨機抽取9名同學，其身高如表所示，請問三個專業學生的身高是否有顯著差異？專業A專業B專業CXX2XX2XX2158249641582496415624336156243361602560016226244165272251602560016326569162262441562433616326569162262441552402516828224165272251602560016326569160256001572464916426896155240251783168416326569156243361682822416627556160256001702890015824964Σ159925579916222635821626264496(ΣX)22556801263088426438762/6/202333JumpingRabbitStudio設虛無假設和備擇假設分別如下：H0：μ1=μ2=μ3H1：μ1≠μ2≠μ32/6/202334JumpingRabbitStudio計算平方和2/6/202335JumpingRabbitStudio3.計算自由度總的自由度：組間自由度：組內自由度：2/6/202336JumpingRabbitStudio4.計算均方組間方差：組內方差：5.計算F值由于所以三個專業的身高沒有顯著差異2/6/202337JumpingRabbitStudio變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異43221.50.805>0.05組內變異7212726.7總變異76429三專業身高的方差分析表2/6/202338JumpingRabbitStudio9.3隨機區組設計的方差分析隨機區組設計的方差分析，就是重復測量設計的方差分析（repeatedmeasuresanalysisofvaricace），或稱為組內設計的方差分析。隨機區組設計的方差分析，是對多個相關樣本平均數的差異進行顯著性檢驗。2/6/202339JumpingRabbitStudio在檢驗某一因素多種不同水平（即不同實驗處理）之間差異的顯著性時，為了減少被試間個別差異對結果的影響，把從同一個總體中抽取的被試按條件相同的原則分成各個組（稱為區組），使每個區組內的被試盡量保持同質。2/6/202340JumpingRabbitStudio在對各區組施以多種實驗處理之后，用方差分析法對這多個相關樣本平均數差異所進行的顯著性檢驗，稱為隨機區組設計的方差分析。2/6/202341JumpingRabbitStudio隨機區組設計的原則是同一區組內的被試應盡量“同質”，每一區組內被試的人數分配有以下三種方式：⑴．每一個被試作為一個區組，所有的被試都要分別接受各種實驗處理；處理1處理2處理32/6/202342JumpingRabbitStudio⑵．每一區組內的被試人數是實驗處理數的整倍數。同一區組內的每幾個被試可以隨機接受同一種實驗處理；111222333區組1區組2區組3處理1處理2處理33332221112/6/202343JumpingRabbitStudio（3）區組內的基本單位不是個別被試，而是一個團隊為單位學校A學校B學校Ca班b班c班a班b班c班a班b班c班處理1處理2處理32/6/202344JumpingRabbitStudio隨機區組設計的方差分析中，接受各種實驗處理的是同一區組，故個別差異可以從組內差異中分離出來，從而減少由個別差異造成的誤差，增加實驗的信息，提高實驗的效率。2/6/202345JumpingRabbitStudio隨機區組設計的方差分析將變異來源分解為組間變異、區組變異和誤差變異三部分：2/6/202346JumpingRabbitStudio3．隨機區組設計方差分析的計算公式⑴．分解平方和

總平方和組間平方和2/6/202347JumpingRabbitStudio區組平方和

公式中：R表示某一區組在某種處理的分數n表示區組數，K表示處理數誤差平方和

2/6/202348JumpingRabbitStudio⑵．分解自由度總自由度可以分解為組間、區組和誤差自由度：總自由度組間自由度區組自由度誤差自由度2/6/202349JumpingRabbitStudio⑶．計算方差組間方差區組方差

誤差方差

2/6/202350JumpingRabbitStudio⑷．計算Ｆ值組間方差與誤差方差的Ｆ比值區組方差與誤差方差的Ｆ比值2/6/202351JumpingRabbitStudio⑸．隨機區組設計的方差分析表變異來源平方和自由度方差F值概率組間變異SSBdfBMSBPP區組變異SSRdfRMSR誤差變異SSEdfEMSE總變異SSTdfT表14－1隨機區組設計方差分析表2/6/202352JumpingRabbitStudio5名被試在4種不同的環境條件下參加某一心理測驗，結果如下。問不同測驗環境是否對這一測試成績有顯著影響。被試測試環境IIIIIIIV1302816162141810103242018184383420205262814142/6/202353JumpingRabbitStudio解題過程1.提出假設H0:μ1=μ2=μ3=μ4

H1:至少有兩組平均數不等2.選擇檢驗統計量并計算5名學生是從同一個總體中抽出的4個區組,他們在三個測驗上的得分是三組相關樣本，因此可選用隨機區組設計的方差分析對三組測驗結果平均數差異進行檢驗。2/6/202354JumpingRabbitStudio5名被試在4種環境中的測試成績被試測試環境ΣRIIIIIIIV130281616108214181010643242018189243834202013652628141498ΣX13212878160498ΣX23792344812765376

2/6/202355JumpingRabbitStudio計算⑴.分解平方和總平方和組間平方和2/6/202356Jum