第四章

數據分布特征的描述描述數據分布特征的指標主要有三大類：一是描述數據分布集中趨勢的指標；二是描述數據分布離散程度的指標；三是描述分布偏斜程度的指標。統計指標的分類總量指標（絕對數）—數量指標相對指標（相對數）—質量指標平均指標（平均數）—質量指標絕對數。現象的規模、水平一般以絕對數形式表現。相對數。相對數由兩個互相聯系的數值對比求得。常用的相對數包括：結構相對數、動態相對數、比較相對數、強度相對數、利用程度相對數、計劃完成相對數等。平均數。平均數反映現象總體的一般水平或分布的集中趨勢。第一節總量指標和相對指標一、總量指標（一）總量指標的概念和作用總量指標是反映現象在具體時間、地點、條件下的總規模或總水平的統計指標。總量指標也稱為絕對指標或絕對數。總量指標在社會經濟統計中的作用：①可以反映社會經濟和企業的基本情況，反映一個國家的基本國情和國力。②它是計算相對指標、平均指標等描述指標的基礎。③是制定政策、編制計劃、實行社會經濟管理的基本依據。（二）總量指標的種類1、總量指標按其反映的時間狀況不同，分為時期指標和時點指標。時期指標反映現象在某一時期發展過程的總數量；時點指標則反映現象在某一時刻上的狀況總量。2、總量指標按計量單位不同，分為實物量指標、價值量指標和勞動量指標。實物量指標是以所反映現象的實物單位為計量單位的總量指標；價值量指標是以貨幣為計量單位的總量指標；勞動量指標是以勞動時間為計量單位的總量指標。時期指標和時點指標的不同特點：①時期指標的數值是連續計數的；時點指標的數值則是間斷計數的。②時期指標具有累加性；時點指標則不具有。③時期指標數值的大小受時期長短的制約；時點指標數值的大小與時點的間隔長短無直接關系。二、相對指標（一）相對指標的概念和作用相對指標又稱相對數，它是兩個有聯系的指標數值對比的結果。注：用來對比的兩個數既可以是絕對數，也可以是平均數和相對數。相對指標的主要作用：①能具體表明社會經濟現象之間的比例關系。②能使一些不能直接對比的事物找出共同比較的基礎。③相對指標便于記憶、易于保密。相對指標的表現形式：有名數、無名數。有名數是將對比的分子指標和分母指標的計量單位結合起來使用。無名數是一種抽象化的數值，一般分為系數、倍數、成數、百分數、千分數等。（二）相對指標的種類和計算方法相對指標通常分為：結構相對指標、比例相對指標、比較相對指標、計劃完成相對指標、強度相對指標和動態相對指標。1、結構相對指標

計算各組總量占總體或樣本總量的比重，用以反映總體或樣本結構狀況的綜合指標。1、結構相對指標①可以反映總體內部結構的特征。②通過不同時期相對數的變動，可以看出事物的變化過程及其發展趨勢。③結構相對數一般用百分數表示。④各組結構相對數之和等于100%或1。例：我國規模以上工業增加值的輕重工業構成表2、比例相對指標比例相對數是總體或樣本中不同部分加以對比，用以反映總體或樣本內部的比例關系和協調關系的綜合指標。例：我國規模以上工業增加值的輕重工業構成表（2007年）3、比較相對指標反映某一現象在同一時期內或同一時點上不同空間下的不平衡程度的綜合指標。比較相對數可以是兩個總量指標對比，也可以是相對指標或平均指標對比。4、計劃完成相對數長期計劃的檢查：5、強度相對指標概念：是性質不同但又有內在聯系的兩個絕對指標的對比，是用以反映某現象的強度、密度或普遍程度的綜合指標。強度相對數的兩種表示方法：(1)一般用無名數表示。(2)少數用百分數或千分數表示。注：強度相對數不是平均數，不是同類指標數值之比。例：表現社會服務能力的強度相對數是用服務單位數與人口比較。表現現象普遍成都的強度相對數，如人口密度、公路網密度等。6、動態相對指標概念：是不同時期同一指標數值之比，用以反映現象在不同時期發展變化程度的綜合指標。動態相對數的計算結果用百分數或倍數表示。例：我國2001-2007年若干統計指標資料相對指標的種類和計算方法數據分布的特征描述數據分布的特征：一、集中趨勢:反映數據向其中心靠攏或聚集程度；二、離散趨勢:數據遠離中心的趨勢；三、偏態和峰態:偏態是對數據分布對稱性的度量；峰度是指數據分布的平峰或尖峰程度（形狀）。數據分布的特征集中趨勢(平均指標)(位置)離散趨勢(變異指標)(分散程度)偏態和峰度（形狀）數據分布的特征和測度數據的特征和測度分布的形狀集中趨勢離散程度眾數中位數均數離散系數方差和標準差四分位差偏態峰度數據的特征和測度集中趨勢離散程度第二節平均指標數據分布集中程度的描述指標1.概念也稱平均指標或平均數。用來反映標志值的典型水平或標志值分布的中心位置或集中趨勢2.作用反映變量分布的集中趨勢和一般水平。可用來比較同一總體在不同空間的發展水平可用來分析現象之間的依存關系是統計推斷中一個重要的統計量。第二節平均指標集中趨勢

(centraltendency)一組數據向其中心值靠攏的傾向和程度測量集中趨勢就是尋找數據水平的代表值或中心值不同類型的數據用不同的集中趨勢測度值集中趨勢指標的分類數值平均數算術平均數調和平均數幾何平均數位置平均數眾數中位數及其他分位數一、算術平均數算術平均數的基本公式（最基本指標）：分為：簡單算術平均數：加權算術平均數：（一）簡單算術平均數把每項數據直接加總后除以它們的項數通常用于對未分組的數據計算算術平均數計算公式：Xi代表變量，代表算數平均數，n變量值個數，∑求和分組例題：采用簡單算術平均法計算，即全體隊員的平均年齡為（單位：周歲）：若采用簡單平均：分組數據不能簡單平均！因為各組變量值的次數不等！（二）加權算術平均數加權算術平均數的計算公式：加權—為了體現各變量值輕重不同的影響作用，對各個變量值賦予不盡相同的權數（fi

）.（二）加權算術平均數設分組后各組的變量值或組中值為：x1

，x2

，…，xn相應的頻數為：f1，f2，…，fn正確的計算是：[例]表某班級40名同學統計學原始成績（單位：分）簡單算術平均數算式：表40名同學統計學成績匯總表（單位：分）加權算術平均數算式：55×2+65×8+75×16+85×10+95×4=3060權數（fi

，也稱權重）權數——指在計算總體平均數或綜合水平的過程中對各個數據起著權衡輕重作用的變量。可以是絕對數形式，也可以是比重形式（如頻率）表示。事實上比重權數更能夠直接表明權數權衡輕重作用當權數完全相等（f1=f2=…=fn）時，加權算術平均數就成了簡單算術平均數。一種是以絕對數表示，稱次數或頻數f；另一種是以比重表示，稱頻率。用頻率計算的公式和直接用次數計算的公式在內容上是相等的，即變量數列的權數有兩種形式：（三）算術平均數的數學性質1、各個變量值與算術平均數的離差之和等于零。2、各個變量值與算術平均數的離差平方之和等于最小值。算術平均數有兩點不足：1、算術平均數易受極端變量值的影響，使的代表性變小，而且受極大值的影響大于受極小值的影響。2、當組距數列為開口組時，由于組中值不易確定，使的代表性也不很可靠。二、調和平均數1.集中趨勢的測度值之一；2.算術平均數的另一種表現形式；3.易受極端值的影響；4.有簡單調和平均數和加權調和平均數。原來只是計算時使用了倒數調和平均數又稱“倒數平均數”，它是各個變量值倒數的算術平均數的倒數。簡單調和平均數和加權調和平均數二、調和平均數【例】1、簡單調和平均數應用條件：資料未分組，各變量值次數都是1。計算公式:舉例:一個人步行兩里，走第一里時速度為每小時候10里，走第二里時為每小時20里，則平均速度為：2、加權調和平均數應用條件：資料經過分組，各組次數不同。計算公式：3、調和平均數特點：①如果數列中有一標志值等于零，則無法計算；②它作為一種數值平均數，受所有標志值的影響，它受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術平均數，受極端值的影響要小。三、幾何平均數概念：幾何平均數又稱“對數平均數”，它是若干項變量值連乘積開其項數次方的算術根。（一）簡單幾何平均數在實際工作中，常用即幾何平均數是各個變量值對數的算術平均數的反對數。

表6某工業產品產量平均發展速度計算表（二）加權幾何平均數當各個變量值的次數（權數）不相同時，應采用加權幾何平均數，其計算公式為：將公式兩邊取對數，則為表7某投資銀行年平均利率計算表幾何平均數特點：①如果數列中有一個標志值等于零或負值，就無法計算；②受極端值影響較算術平均數和調和平均數小，故較穩健。四、中位數和其他分位數（一）中位數1、概念：現象總體中各單位標志值按大小順序排列，居于中間位置的那個標志值就是中位數。Me50%50%2、特點：①集中趨勢的測度值之一；②排序后處于中間位置上的值；③不受極端值的影響；④主要用于定序數據，也可用數值型數據，但不能用于定類數據；⑤各變量值與中位數的離差絕對值之和最小。3、中位數位置的確定未分組數據：分組數據：①未分組數據的中位數(計算公式)4、中位數的計算數值型未分組數據的中位數

(5個數據的算例)原始數據: 2422212620中位數Me=

22

排序:

2021222426

位置:

123

45數值型未分組數據的中位數

(6個數據的算例)原始數據:105 91268排序:56891012位置: 123456②由分組資料確定中位數（例）方法：計算各組的累計次數(向上累計次數或向下累計次數)根據中位數位置找出中位數。結果：中位數為第40名的日產量[24件]根據位置公式確定中位數所在的組采用下列近似公式計算該公式假定中位數組的頻數在該組內均勻分布③由組距式分組計算中位數L:中位數所在組下限；Sm-1前一組累計頻數；fm本組頻數；h組距數值型分組數據的中位數(例)【例】根據表3-5中的數據，計算50名工人日加工零件數的中位數中位數的特點：①是一種位置平均數，不受極端值及開口組的影響，具有穩健性。②難獲得數據資料時，某些不具有數學特點或不能用數字測定的現象，可以使用中位數作為這種數據的平均值。③各單位標志值與中位數離差的絕對值之和為最小值。④不能進行代數運算，很少用于高級統計分析。。（二）其他分位數中位數是從中間點將全部數據等分為兩部分。與中位數類似的還有：四分位數（quartile）十分位數（decile）百分位數（percentile）等。它們分別是用3個點、9個點和99個點將數據四等分、10等分和100等分后各分位點上的值。四分位數①排序后處于25%和75%位置上的值。②不受極端值的影響③主要用于定序數據，也可用于數值型數據，但不能用于定類數據QLQMQU25%25%25%25%QLQMQU25%25%25%25%四分位數(位置的確定)未分組數據：組距分組數據：數值型未分組數據的四分位數原始數據:

2321 3032 282526QL=23QU=30

排序:

21232526283032

位置:

1 234567數值型分組數據的四分位數

(計算公式)上四分位數:

下四分位數:

數值型未分組數據的四分位數

(6個（N+1不能被4整除）數據的算例)原始數據:

2321 30 282526排序:

212325262830位置:

1

2

3

4 56QL=21+0.75(23-21)=

22.5QU=28+0.25(30-28)

=28.5數值型分組數據的四分位數

(計算示例)QL位置＝50/4＝12.5QU位置＝3×50/4＝37.5【例】根據表3-5中的數據，計算50名工人日加工零件數的四分位數