山東省煙臺市萊州土山鎮中學2022年高一數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數是偶函數，并且在（0，+∞）上為增函數的為（）A． B． C． D．y=﹣2x2+3參考答案：A【考點】利用導數研究函數的單調性；函數單調性的判斷與證明；函數奇偶性的判斷．【專題】探究型；定義法；函數的性質及應用．【分析】根據指數函數，對數函數，冪函數，二次函數的圖象和性質，分析函數的單調性和奇偶性，可得答案．【解答】解：函數是偶函數，由y′=＞0在（0，+∞）恒成立，可得函數在（0，+∞）上為增函數，函數是非奇非偶函數，函數是非奇非偶函數，函數y=﹣2x2+3偶函數，由y′=﹣4x＜0在（0，+∞）恒成立，可得函數在（0，+∞）上為減函數，故選：A．【點評】本題考查的知識點是函數的單調性的判斷與證明，函數的奇偶性，利用導數研究函數的單調性，難度中檔．2.若四個冪函數y=xa，y=xb，y=xc，y=xd在同一坐標系中的圖象如圖，則a、b、c、d的大小關系是（） A．d＞c＞b＞a B．a＞b＞c＞d C．d＞c＞a＞b D．a＞b＞d＞c參考答案：B【考點】冪函數的性質；不等式比較大小． 【專題】數形結合． 【分析】記住冪函數a=2，a=，a=﹣1，a=﹣的圖象，容易推出結果． 【解答】解：冪函數a=2，b=，c=﹣，d=﹣1的圖象，正好和題目所給的形式相符合， 在第一象限內，x=1的右側部分的圖象，圖象由下至上，冪指數增大，所以a＞b＞c＞d． 故選B． 【點評】本題考查冪函數的基本知識，在第一象限內，x＞1時，圖象由下至上，冪指數增大，是基礎題． 3.已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是(

)．A.若，，則 B.若，則C.若，則 D.若，則參考答案：D【分析】選項均可找到反例說明不恒成立；根據不等式的性質可知正確.【詳解】選項：若，，，，則，；此時，可知錯誤；選項：若，則，可知錯誤；選項：，則；若，則，可知錯誤；選項：若，根據不等式性質可知，正確.本題正確選項：【點睛】本題考查不等式的性質，可采用排除法得到結果，屬于基礎題.4.△ABC中，，，若，則m+n=（）A．B．C．D．1參考答案：B【考點】向量的線性運算性質及幾何意義．【分析】由向量的運算法則和題設條件知==，所以，由此能得到m+n的值．【解答】解：∵，，∴，?，∵，∴==，∴，∴．∴．故選B．5.設定義在R上的函數，，且對任意，滿足，，則（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先把轉化成，與進行加法運算，依次推倒，得到，再根據條件，得到，然后根據等式關系，用累加法計算得到結果.【詳解】∵，∴（1）∵（2）∴（1）+（2）得=，即（3）∴（1）+（3）得=，即，∵，∴∴===+++++3?22+3?20=2008+++++3?22+3?20==.考點：不等式性質；疊加法；等比數列前n項和公式；函數的求值【點睛】本題考查不等式同向相加的性質，考查累加法和等比數列前n項和公式，難度比較大，屬于難題.6.在等差數列{an}中，，那么方程的根的情況是（

）A．沒有實根

B．兩個相等實根

C．兩個不等的負根

D．兩個不等的正根參考答案：C由題意，根據等差數列通項公式的性質，得，則，又，由方程的差別式，則方程有兩個不等的實根，且，，故正解答案為C.

7.集合{1,2,3}的所有真子集的個數為（

）A．3

B．6

C．7

D．8參考答案：C8.（滿分10分）已知集合，,求.參考答案：解：由，知

故；………4分

由，知，或

故

……8分

因此………10分略9.若函數在區間上是減函數，在區間上是增函數則實數的值是

（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B10.設集合A＝{x|a－1＜x＜a＋1，x∈R}，B＝{x|1＜x＜5，x∈R}，若A∩B＝，則實數a的取值范圍是()A．{a|0≤a≤6}

B．{a}a≤2或a≥4}[C．{a|a≤0或a≥6}

D．{a|2≤a≤4}參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個扇形的面積為1，周長為4，則這個扇形的圓心角為__________．參考答案：2略12.在空間直角坐標系中，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的其中四個頂點的坐標分別是D（0，0，0），A（6，0，0），C（0，6，0），D（0，0，6），若一個球與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切，則該球的體積是．參考答案：36π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何．【分析】求出正方體的棱長為6，利用一個球與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切，可得球的半徑為3，即可求出球的體積．【解答】解：由題意，正方體的棱長為6，∵一個球與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的六個面都相切，∴球的半徑為3，∴球的體積是=36π．故答案為：36π．【點評】本題考查球的體積，考查學生的計算能力，正確求出球的半徑是關鍵．13.已知x，y滿足，則z=2x﹣y的最小值

．參考答案：﹣1【考點】簡單線性規劃．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義進行求解即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域如圖：由z=2x﹣y得y=2x﹣z，作出y=2x，的圖象，平移函數y=2x，由圖象知當曲線經過點A時，曲線在y軸上的截距最大，此時z最小，由得，即A（1，3），此時z=21﹣3=﹣1，故答案為：﹣1．14.函數f（x）=的最小正周期為．參考答案：2π【考點】三角函數的周期性及其求法．【專題】計算題；轉化思想；數形結合法；三角函數的求值．【分析】利用同角三角函數基本關系式化簡函數解析式可得f（x）=，又y=|sinx|的周期為π，cosx的周期為2π，結合函數的圖象化簡求得其周期．【解答】解：∵f（x）==，又y=|sinx|的周期為π，cosx的周期為2π，作出其圖象如下：∴可得函數f（x）==的最小正周期為2π．故答案為：2π．【點評】本題主要考查三角函數的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+φ）、y=Asin（ωx+φ）的周期等于，y=|Asin（ωx+φ）|、y=|Asin（ωx+φ）|的周期等于，屬于基礎題．15.已知兩條不同直線、，兩個不同平面、，給出下列命題：①若垂直于內的兩條相交直線，則⊥；②若∥，則平行于內的所有直線；③若，且⊥，則⊥；④若，，則⊥；⑤若，且∥，則∥；其中正確命題的序號是

．（把你認為正確命題的序號都填上）參考答案：④略16.已知扇形半徑為8，弧長為12，則中心角為

弧度，扇形面積是

．參考答案：17.若實數滿足，則的最大值為

．參考答案：4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某種產品的廣告費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間有如下對應數據：x24568y3040605070

（1）若廣告費與銷售額具有相關關系，求回歸直線方程；（2）在已有的五組數據中任意抽取兩組，求兩組數據其預測值與實際值之差的絕對值都不超過5的概率．參考答案：（1）；（2）.【分析】（1）首先求出x，y的平均數，利用最小二乘法做出線性回歸方程的系數，根據樣本中心點滿足線性回歸方程，代入已知數據求出a的值，寫出線性回歸方程．（2）由古典概型列舉基本事件求解即可【詳解】(1)

，因此，所求回歸直線方程為：.

(2)x24568y304060507030.543.55056.569.5

基本事件：共10個，

兩組數據其預測值與實際值之差的絕對值都不超過5：共3個所以兩組數據其預測值與實際值之差的絕對值都超過5的概率為.【點睛】本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查古典概型，是基礎題19.設函數f(x)=cos(2x+)+sin2x.(1)求函數f(x)的單調遞增區間；.(2)設A,B,C為△ABC的三個內角，若cosB=，，且C為銳角，求sinA的值.參考答案：（1）函數可化簡為：則：即：因此，單調遞增區間為（2）又C為銳角，因此20.已知是關于x的方程x2﹣kx+k2﹣3=0的兩個實根，且，求cosα+sinα的值．參考答案：【考點】7H：一元二次方程的根的分布與系數的關系；GG：同角三角函數間的基本關系．【分析】由根與系數關系得到=k，=1=k2﹣3，由后者解出k值，代入前等式，求出tanα的值．再由同角三角函數的基本關系求出角α的正弦與余弦值，代入求值．【解答】解：∵，∴k=±2，而，∴tanα＞0，得，∴，有tan2α﹣2tanα+1=0，解得tanα=1，∴，有，∴．21.（本小題滿分25分）已知數列{an}中的相鄰兩項a2k-1，a2k是關于x的方程x2－（3k+2k）x+3k×2k=0的兩個根.（1）求數列{an}的前2n項和S2n.（2）記f（n）=（+3），Tn=+++…+，求證：≤Tn≤（n∈N+）

參考答案：（I）解析：方程的兩個根為，，

………………（5分）．

………………（10分）(Ⅱ)證明：，所以，．

………………（15分）當時，，

………………（20分）同時，．綜上，當時，．

………………（25分）

22.已知函數g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1．設f（x）=．（1）求a、b的值；（2）若不等式f（2x）﹣k?2x≥0在x∈[﹣1，1]上恒成立，求實數k的取值范圍；（3）若f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．參考答案：【考點】函數恒成立問題；函數的零點與方程根的關系．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）由函數g（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a，a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故，由此解得a、b的值．（2）不等式可化為2x+﹣2≥k?2x，故有k≤t2﹣2t+1，t∈[，2]，求出h（t）=t2﹣2t+1的最小值，從而求得k的取值范圍．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0?|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，（|2x﹣1|≠0），令|2x﹣1|=t，則t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t≠0），構造函數h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），通過數形結合與等價轉化的思想即可求得k的范圍．【解答】解：（1）函數g（x）=ax2﹣2ax+b+1=a（x﹣1）2+1+b﹣a，因為a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故，即，解得．（2）由已知可得f（x）=x+﹣2，所以，不等式f（2x）﹣k?2x≥0可化為2x+﹣2≥k?2x，可化為1+（）2﹣2?≥k，令t=，則k≤t2﹣2t+1．因x∈[﹣1，1]，故t∈[，2]．故k≤t2﹣2t+1在t∈[，2]上恒成立．記h（t）=t2﹣2t+1，因為t∈[，2]，故h（t）min=h（1）=0，所以k的取值范圍是（﹣∞，0]．（3）方程f（|2k﹣1|）+k?﹣3k=0可化為：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1