第二章有導體時的靜電場導體：導電能力極強的物體。絕緣體（電介質）：導電能力極微弱或者不能導電的物體。半導體：導電能力介于兩者之間的物體。導體和電介質放入靜電場后，靜電場不僅要影響導體和電介質中電荷的分布，而且電荷分布變化后，反過來又要影響電場的分布。導體和絕緣體有著完全不同的靜電特性，靜電現象的一切應用，實際上是導體和電介質靜電特性的運用。研究導體和電介質的靜電特性以及導體和電介質內外電場分布的圖像，具有重要意義。幾個常用的術語：總（凈）電量不為零的導體叫做帶電導體；總（凈）電量為零的導體叫做中性導體；與其他物體距離足夠遠的導體叫做孤立導體。這里的足夠遠是指其他物體的電荷在我們所關心的場點上激發的場強小到可以忽略。本章討論靜電場中有金屬導體存在時的各種問題，并介紹幾個新的物理量。§1靜電場中的導體一、導體的靜電平衡金屬導體是以金屬鍵結合的晶體，由許多小晶粒組成，每個晶粒內的原子作有序排列而構成晶格點陣。組成晶體時，晶格結點上的原子很容易失去外層的價電子，成為正離子。而脫離原子核束縛的價電子則可以在整個金屬晶體中自由運動，稱為自由電子。金屬導體在電結構上的重要特征就是具有大量的自由電子。導體不帶電或不受外電場作用時，自由電子只作熱運動，不發生宏觀電量的遷移，自由電子和晶格點陣的正電荷互相中和，因而整個金屬導體的任何宏觀部分都呈電中性狀態。金屬導體放入電場強度為E0的靜電場中，金屬的自由電子在外電場的作用下相對于晶格作定向運動，并在導體的一個側面集結，使該側面出現負電荷。而相對的另一側面則出現正電荷，這就是靜電感應現象。由此產生的電荷稱為感應電荷。相對側面上的感應電荷電量相等而符號相反。感應電荷在空間必然產生電場，該電場與原來的電場疊加，改變了空間各處的電場分布。我們把感應電荷產生的電場稱為附加電場，用E'表示。空間任意一點的場強可表示為：E=E+Ee0在導體內部，附加電場E，與外電場E0方向相反，只要Ef不足以抵消E0，導體內部的自由電子的定向運動就會繼續，感應電荷增加，E，相應增大，直至Ef與E完0全抵消，導體內部的電場為零。在金屬導體中，自由電子沒有定向運動的狀態，稱為靜電平衡狀態。導體靜電平衡的必要條件就是導體內任一點的電場強度都等于零。金屬導體建立的靜電平衡過程是靜電感應發生并達到穩定的過程。實際上，這個過程是在極短的時間內完成的，故我們不討論靜電平衡過程，而僅討論導體處于靜電平衡狀態的性質。感應電荷激發的附加電場Ef，不僅導致導體內部的場強為零，改變了導體外部空間各處原來電場的大小和方向，甚至還會改變產生原外加電場E0的帶電體上的電荷分布。根據靜電平衡時金屬導體內部不存在電場，自由電子沒有定向運動的特點，處于靜電平衡的金屬導體具有如下的性質：整個導體是等勢體，導體表面是等勢面。在導體內部任取兩點P和Q，它們之間的電勢差可以表示為Pp—甲Q=JqE-dl(E=0)因為處于靜電平衡的導體內部電場強度為零，上面的積分必定為零，所以甲P=PQ可見導體內部任意兩點的電勢都相等，整個導體必定是等勢體，等勢體的表面必定是等勢面。導體表面附近的場強處處與表面垂直因為等勢面與場強方向互相垂直，所以導體表面附近的電場強度必定與該處的表面相垂直。靜電平衡的導體上的電荷分布處于靜電平衡的導體上的電荷分布具有以下規律：1、處于靜電平衡的導體，其內部不存在凈電荷，電荷只能分布在導體的表面上用高斯定理證明。在導體內部任取一閉合曲面S，運用高斯定理：一一一1HE?dS=一￡幻S￡內0因為導體內部的E=0，上式積分為零，必定有￡q內=0，所以導體內部不存在凈電荷。2、處于靜電平衡的導體，其表面上各處的面電荷密度與該處表面緊鄰處的電場強度的大小成正比導體表面是等勢面，根據等勢面與電場線相互垂直的性質，導體外緊靠表面處的電場方向垂直于導體表面，設導體表面附近的電場強度為E。在導體表面取一面元dS，認為電荷在dS區域內分布是均勻的，電荷面密度為。（。>0）。包圍dS作一柱狀閉合面，上下底面均為dS，且與表面平行，上底面在導體表面外側，下底面在導體內部。由于圓柱側面與電場強度方向平行，電通量為零；導體內部電場強度為零，下底面的電通量也為零。通過整個閉合面的電通量就等于上底面的電通量。根據高斯定理：暨?dS=qnEdS=^^00bE=—￡0因為上底面的法線方向與導體表面的外法線方向n一致，且有b>0，所以該處的場強方向垂直于導體表面指向導體外部，故表面附近的電場強度可表示為fbE=—n80表明帶電導體表面附近的場強大小與該處電荷面密度成正比，場強方向垂直于表面。這一結論對孤立導體（孤立導體是指遠離其他物體的導體，其他物體對其影響可以忽略不計）或處在外電場中的任意導體都普遍適用。注意：導體表面附近的場強E不單是由該表面處的電荷所激發，它是導體面上所有電荷以及周圍其他帶電體上的電荷所激發的合場強，外界的影響已經在。中體現出來。3、孤立導體處于靜電平衡時，它的表面各處的面電荷密度與各處表面的曲率有關，曲率越大的地方，面電荷密度也越大電荷在導體表面上的分布與導體本身的形狀以及附近帶電體的狀況等多種因素有關，即使對于其附近沒有其他導體和帶電體，也不受任何外來電場作用的所謂孤立導體來說，電荷在表面上的分布與自身之間也沒有簡單的函數關系。但存在大致的規律：表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大；表面平坦處，面電荷密度較小；表面凹陷處，面電荷密度很小，甚至為零。設兩個半徑分別為R和尸的球形導體（R>,），用一根很長的細導線連接，使兩個導體帶電，電勢為中。兩個導體組成的整體可以看成孤立導體系，在靜電平衡時必定是等勢體。假設兩個導體相距很遠，每個球面上的電荷分布在另一個球面上所激發的電場可以忽略不計，線的作用是使兩球保持等電勢，線上的電荷分布可以忽略不計，因此每個球可以看作孤立導體，兩球表面的電荷分布各自都均勻分布。設大球所帶電量為Q，小球所帶電量為q，則兩球的電勢為Qq00由兩球電勢相等，可得—=—,Q>q(R>r)QR可見大球所帶電量Q比小球帶的電量q多。但兩球的電荷密度分布為b=Q^=—R4兀R2r4兀—2bQr2r所以f=^—=一bqR2R可見，電荷密度與曲率半徑成反比，即曲率半徑越小，電荷面密度越大，小球上的面電荷密度反而比大球要大。應該指出，當兩球相距不遠時，兩球所帶的電荷的影響不能忽略不計，這時每個球都不能看成孤立導體，兩球表面上的電荷分布也不可再看成均勻的。同一球面上各處曲率半徑雖然相等，但電荷面密度卻不再相同，因此電荷面密度與曲率半徑成反比并不是一個普遍的結論。由上面的結論可以看出，對于可近似看成孤立導體的導體，表面凸起部尤其是尖端處，面電荷密度較大，附近的電場強度也較強。對于具有尖端的導體，無疑尖端處的電場特別強，在導體的尖端附近，由于場強很大，當達到一定量值時，空氣中原有殘留的離子在這個電場的作用下將發生劇烈運動，并獲得足夠大的動能與空氣分子碰撞而產生大量的離子。其中與導體上電荷異號的離子，被吸引到尖端上，與尖端上的電荷中和；與導體上電荷同號的離子受到排斥而從尖端附近飛開。從外表上看，就好像尖端上的電荷被“噴射”出去放掉一樣，所以這種現象稱為尖端放電。在高電壓設備中，為了防止因尖端放電而引起危險和漏電造成的損失，輸電線的表面應是光滑的。具有高電壓的零部件的表面也必須做得十分光滑并盡可能做成球面。與此相反，在很多情況下人們還利用尖端放電。火花放電設備的電極往往做成尖端形狀。避胃針就是根據尖端放電原理制造的。當雷電發生時，利用尖端放電原理，使強大的放電電流從和避雷針連接并良好接地的粗導線中流過，從而避免了建筑物遭受雷擊的破壞。在離子撞擊空氣分子時，有時由于能量較小而不足以使分子電離，但會使分子獲得一部分能量而處于高能狀態。處于高能狀態的分子是不穩定的，總要返回低能量的基態。在返回基態的過程中要以發射光子的形式將多余的能量釋放出去，于是在尖端周圍就會出現黯淡的光環，這種現象稱為電暈。二、帶電導體所受的靜電力設AS是導體表面含P點的小面元，a是P點的電荷面密度，則AS(作為一個電荷為aAS的點帶電體)所受到的靜電場力為AF=E'(P)aAS其中E，(P)是除了AS外所有電荷在P點貢獻的場強。設P1是從P出發沿著導體表面法向稍作外移所到的點，則P1點的場強為E(P)=—e8n0它可分解為兩部分，E(P)=—en=E(P)+E'(P)0其中E^(P)是—AS在P1的場強，E'(P)是除了—AS外的電荷在P1的場強。因為P1可任意靠近P，對它而言AS可被視為均勻帶電無限大平面，則E(P)=ge，于是，E'(P)=上AS128n128n00P是帶電面上的點，場強在P點有突變，但這里是指總場強E。由于激發分場強E'(P)的電荷已不含AS的電荷，E'(P)在P點是連續的，既然連續，相距極近的點P和P1的E'就相同，則E'(P)=E'(P)=—e128n0則AF=—2ASen這就是導體表面任一面元AS的受力公式。把該式沿著導0

體表面作積分便可得到整個導體所受的靜電力。討論：導體表面內外的總場強可看成兩部分構成，E(P)和E(P)的矢量和。AS11P1在導體表面外側時，E(P)=—e碼128n0在導體表面內側時，E(P)=-旦eAS128n0，EP1在導體表面外側時，E(P)=—e碼128n0在導體表面內側時，E(P)=-旦eAS128n0，E'(P)=￡e，則E(P)=—e；當P1

128n18n而E'的連續性使E'(P)=men仍成立，0把導體放入靜電場，就會因電荷的重新分布而使電場發生改變，直到達到靜電平衡，導體上的電荷分布以及周圍的電場分布就不再改變了。這時的電荷和電場的分布可以根據靜電場的基本規律、電荷守恒以及導體靜電平衡條件加以分析和計算。書中的例題列出了典型的導體改變電場分布的情況。導體靜電平衡問題的討論方法中例1、例2、例3、例4、例5、以及平行板導體組例題1、2§2靜電屏蔽利用放入靜電場中的導體會因電荷的重新分布而使電場發生改變這個事實，可以根據需要人為地選擇導體的形狀來改造電場。例如，用封閉金屬殼把電學儀器罩住，就可以避免殼外電荷對儀器的影響，可以使殼外電荷在殼內空間激發的場強為零。一、空腔導體內外的靜電場封閉導體殼就是空心導體，也叫做空腔導體。分為空腔內無帶電體和有帶電體兩種情況進行討論。1、空腔內空間無帶電體若空腔內空間沒有帶電體，則在靜電平衡下，無論自身是否帶電，空腔導體必定具有下列性質：空腔內表面上不存在凈電荷，凈電荷只分布在外表面上。空腔內無電場，空腔內電勢處處相等。上述結論可做如下證明：在導體空腔內外表面之間取一高斯面，將導體空腔內表面包圍起來，根據高斯定理一L1腥.dS=—Zq￡內0因為高斯面完全處于導體內部，靜電平衡下導體內部場強處處為零，所以Zq內=°這說明導體空腔內表面上電荷的代數和為零。但仍需排除空腔內表面上有些地方有正電荷，而另一些地方有負電荷，正負電荷代數和為零的情況。進一步用反證法說明：如果空腔內表面某處。>0，而另一處。<0，空腔內必定有電場線從a>0處發出，并終止于a<0處。由于空腔內無電荷，電場線不會在空腔內終止，而導體內部場強處處為零，電場線也不能穿出導體。因此，由內表面正電荷發出的電場線將只能終止于內表面負電荷，電場沿這條電場線的線積分一定不為零，這條電場線的兩端點之間有電勢差。但它的兩端點在同一導體上，靜電平衡要求這兩點電勢相等。因此上述結論與靜電平衡條件相違背，這說明靜電平衡時導體空腔內表面上a必須處處為零，空腔內各點的場強等于零，空腔內電勢處處相等。在空腔外面的空間總有電場存在，其電場分布由空腔外表面上的電荷分布及導體外其他帶電體的電荷分布共同決定。總之，當導體空腔處在外電場中時，空腔導體外的帶電體只會影響空腔導體外表面上的電荷分布并改變導體外的電場分布，而且這些電荷的重新分布的結果，最終導致導體內部及空腔內的總場強等于零。2、空腔內空間有帶電體如果空腔內部存在電量為+q的帶電體，利用高斯定理可以證明，在空腔內、外表面必將分別產生-q和+q的電荷。外表面的電荷將會在空腔外部空間產生電場。而腔內出現由帶電體+q及腔內表面上的電荷分布所決定的電場，這個電場與導體外其他帶電體的分布無關。即導體空腔外的電荷（包括導體外表面上的電荷）對導體空腔內的電場即電荷分布沒有影響。這時，即使空腔導體外無其他帶電體仍有電場存在，它事氣餒的帶電體+q通過腔外表面感應出等量同號的電荷所激發的，電場全由空腔導體外表面上的電荷分布所決定，與腔內情況無關。腔內帶電體放置的位置，只會改變腔內表面上電荷的分布，絕對不會改變導體外表面上的電荷分布及腔外電場分布（即電荷+q及空腔內表面的感應電荷在導體外所激發的合電場恒為零）。若將導體接地，則導體外表面上的感應電荷因接地而被中和，由外表面電荷產生的電場隨之消失。二、靜電屏蔽綜上所述，在靜電平衡狀態下，空腔導體外面的帶電體不會影響空腔內部的電場分布；一個接地的空腔導體，腔外的電場不受空腔內的帶電體的影響。利用導體靜電平衡的性質，使導體空腔內部空間不受腔外電荷和電場的影響，或者將導體空腔接地，使腔外空間免受腔內電荷和電場的影響，這類操作都稱為靜電屏蔽。靜電屏蔽在電磁測量和無線電技術中有廣泛的應用。例如，為避免外界電場對設備中某些精密電磁儀器的干擾，或者為了避免某些高壓設備的電場對外界的影響，常將測量儀器甚至整個實驗室用接地的金屬殼或金屬網罩起來。傳送弱訊號的連接導線，為了避免外界的干擾，常在導線外包一層用金屬絲編織的屏蔽線層，稱為屏蔽導線。導體空腔內電場為零的結論還有重要的理論意義。對于庫侖定律中的反比指數“2”，庫侖曾用扭秤實驗直接確定過，但是扭秤實驗不可能做得非常精確。處于靜電平衡的導體空殼內無電場的結論是由高斯定律和靜電場的電勢概念導出的，而這些又都是庫侖定律的直接結果。因此在實驗上檢驗導體空殼內是否有電場存在可以間接的驗證庫侖定律的正確性。卡文迪許和麥克斯韋以及威廉斯等人都是利用這一原理做實驗來驗證庫侖定律的。§3電容器及其電容一、孤立導體的電容導體靜電平衡特性之一，是導體表面上有確定的電荷分布，并具有一定的電勢值。理論和實驗均表明，不同大小和形狀的孤立導體若帶上等量的電荷，其電勢并不相同，而且隨著電量的增加，各導體的電勢將按各自的一定比例上升。為描述這種性質，引入孤立導體的電容這個物理量。定義：導體所帶電量與它的電勢的比值，叫做該孤立導體的電容。用C表示：c=q中式中q是該導體所帶電量，中是它的電勢。其物理意義是：使導體升高單位電勢所需的電荷量。孤立導體的電容只與導體的大小和形狀有關，而與所帶電荷和電勢無關，是表征導體儲電能力的物理量。對一定的導體，其電容C是一定的，如：半徑為R的帶電量為Q的孤立導體球，其電勢為：平=Q4雙R0其電容為

C=—=4雙R中0孤立導體的電容，只與導體自身的大小和形狀有關。孤立導體所帶電量可以表示為電容和電勢的乘積，即：國際單位制中，電容的單位是法拉（F）1法拉=1庫侖1伏特1F=1C1法拉=1庫侖1伏特1F=1C1V1〃F=10-6F,1pF=10-12F二、電容器的電容孤立導體是指遠離其他物體的導體，是很難實現的一種理想情況。為了消除其他導體的影響，可采用靜電屏蔽的原理，用一個封閉的導體殼B將導體A包圍起來，就可以使由導體A和導體殼B構成的一對導體系不再受到殼外導體的位置及帶電狀態的影響。一般來說，殼外的帶電體及導體殼外表面上的感應電荷會改變導體A和導體殼B的電勢值（如果B接地，則不會改變A的電勢），但不會改變AB之間的電勢差里a-里B。顯然，導體殼B內表面上的感應電荷與導體A上所帶電荷量幻等值異號，與導體的形狀無關。我們把由導體A和導體殼B構成的一對導體系稱為電容器。一般總使電容器中A、B兩導體（稱為極板）的相對表面上帶等量異號電荷土q，在兩導體的電勢差UAB=中a-里b時，將比值c=q=-^-甲A_甲UA定義為電容器的電容，其值只取決于兩極板的大小、形狀、相對位置及極板間電介質的電容率，在量值上等于兩導體間的電勢差為單位值時極板上所容納的電荷量，式中的q為任一極板上電荷量的絕對值。實際上，對其他導體的屏蔽并不需要非常嚴格，通常就用兩塊非常接近的、中間充滿電介質（空氣、蠟紙、云母片、滌綸薄膜、陶瓷等）的金屬板（箔或膜）構成。這樣的裝置使電場局限在兩極板間，不受外界的影響，從而使電容具有固定的量值。幾種常見的真空電容器的電容。（1）平行板電容器最簡單的電容器是由靠得很近、互相平行、同樣大小的兩片金屬板組成的平行板電容器。設每塊極板的面積為S兩極板內表面間的距離為d，且極板的線度遠大于兩極板內表面間距離。若電容器充電后，A板帶+q，B板帶一q，由于板面很大而兩極板間的距離很小，除了兩板的邊緣部分外，電荷均勻分布在兩極板的內表面上其電荷面密度分別為+。和-。，即。=q，且在兩極板間形成勻強電場，其場S強的大小為bE=—&0兩極板的電勢差為U=甲一平=Ed=b1qd—d=ABAB88S電容器的電容為C=L=eSUAB0d00可知，平行板電容器的電容C和極板的面積S成正比，和兩極板內表面間的距離d成反比，而和極板上所帶的電荷量無關。說明當兩極板間為真空時，電容C只和電容器本身的幾何結構有關。增加平行板電容器的面積，減少兩極板間的距離，則它的電容就增大。在實用上，常用改變極板相對面積的大小或改變極板間距離的方法來改變電容器的電容。可在一定范圍內改變其電容值的電容器叫做可變電容器，廣泛應用于電子設備(收音機的頻率調諧電路)中。圓柱形電容器圓柱形電容器是由兩個同軸金屬圓柱筒(面)組成。設兩圓柱面的長度為l，半徑分別為RA和RB，當l?(RB-RA)時，則可將兩端邊緣處電場不均勻性的影響忽略。在這樣的條件下，當兩圓柱面帶電后，電荷將均勻分布在內外兩圓柱面上，這時兩圓柱面間的電場具有對稱性，并且在很大程度上不受外界的影響。設內圓柱面帶電+q，外圓柱面帶電-q，這時圓柱面單位長度上的電荷量為人=q，在內圓1柱面內和外圓柱面外的場強均為零。應用高斯定理，可求出在兩圓柱面之間距軸線為r(RA<r<RB)處P點的場強為-人E=r2雙r0設內、外圓柱面的電勢分別為甲A和甲B，則可求出兩圓柱面間的電勢差為.二人drUab=甲A-甲B=RE-dr=￡bEdr=^—-——AAA人，Rq1R=ln=ln—b-2ksR2kslR由電容的定義，求得圓柱形電容器的電容為C=q=2雙一1—甲A-甲B0ln(RBRA)可見圓柱形電容器兩極板間為真空時，電容只和它的幾何結構有關。圓柱形電容器單位長度的電容為C2ns1-ln(RBRA)球形電容器球形電容器是由半徑分別為RA和RB的兩個同心金屬球殼所組成的。設內球帶電+q，外球帶電-q，則正、負電荷將分別均勻分布在內球的外表面和外球的內表

面上。這時，在兩球殼之間具有球心對稱的電場，距球心為r(RA<r<RB)處P點的場強為戶人E=r4雙r2

0U=甲一平ABAB兩球殼間的電勢差為RbRa=jrbU=甲一平ABABRbRaRaRa.11)4脫o"RaRb)根據電容的定義，球形電容器的電容為c=平一c=平一平AB=4雙鳥土0RB-RA設想組成球形電容器的外球殼在無限遠處(RB5)，即RB?RA時，球形電容器的電容公式簡化為C=4雙R此式就是孤立導體球的電容公式。計算任意形狀電容器的電容時，總是先假定極板帶電，并求出兩帶電極板間的場強，再由場強與電勢差的關系求兩極板間的電勢差，在電勢差的表式中，它必然和電容器所帶電荷量成正比，于是由電容的定義式即可求出電容。注意：除以上討論的幾種典型電容器的電容外，實際上任何導體間都存在著電容。導線與導線或元件或金屬外殼之間，元件與金屬外殼之間，都存在著電容，這些電容在電工和電子技術中通常叫做分布電容。分布電容的量值通常比較小，且不容易計算，在一般情況下，它的作用可以忽略不計。但在安裝電子設備，尤其是高頻電路中，卻必須考慮分布電容的影響。

實際使用的電容器種類繁多，外形各不相同，但基本結構是一致的。電容器的用途很多，應用非常廣，各種電子儀器、收音機、電視機中都要用到電容。電容器在電路中具有隔直流、通交流的作用，電容器和其他元件殼組合成振蕩放大器以及時間延遲電路等。電容器還是一種儲能元件(儲存電勢能)，在很多儀器中，使用大容量的電容器組，它在充電過程中所聚積和儲存的電能，可在放電過程的極短時間內釋放出來，從而獲得很大的電功率，例如脈沖式激光打孔機中就有這樣的電容器組。測量放射性射線粒子數的蓋革計數管，也相當于一個具有軸對稱電場的圓柱形電容器。每個電容器的成品，除了標明型號之外，還標有兩個重要的性能指標，一個是電容的大小，另一個是電容器的耐壓值。例如電容器上標有100RF25V等字樣，100由表示電容器的電容，而25V表示電容器的耐壓值，耐壓值是指電容器工作時兩極板上所能承受的電壓值。如果外加的電勢差超過電容器上所規定的耐壓值，電容器中的場強太大，兩極板間的電介質就有被擊穿的危險。即電介質失去絕緣性能而轉化為導體，電容器遭到破壞。這種情況稱為電介質的擊穿，使用時必須注意。三、電容器的串聯和并聯實際應用中，常會遇到已有電容器的電容或者耐壓值不能滿足電路使用的要求，這時常把若干個電容器適當地連接起來構成一電容器組。電容器的基本連接方式有兩種：串聯和并聯。(1)串聯電容器如圖所示表示n個電容器的串聯，設電容值分別為q、C2、...、Cn，組合的等效電容值為C。當充電后，由于靜電感應，每對電容器的兩個極板上都帶有等量異號的電荷量+q和-q。這時，每對電容器兩極板間的電勢差U［、u2、…、un分別為組合電容器的總電勢差為(1(111)一+一++(CC1211=￡一Ci=1.iTOC\o"1-5"\h\z111—=++.…+CC1C11=￡一Ci=1.i(2)并聯電容器如圖所示表示n個電容器的串聯。當充電后，每對電容器兩極板間的電勢差相等，都等于U，但每對電容器極板上的電荷量則不相等。設電容器C1、c2、...、Cn極板上的電荷量q1、q2qn，則q=CU，q=CU，…，q=CU1122nn組合電容器的總電荷量為q=q+q+?.?+q=(C+C+??+C).U12n12n由此可得組合電容器的等效電容為C=q=C+C+…+C=￡CUi=1即并聯等效電容器電容等于每個電容器電容之和。由以上計算結果表明，幾個電容器并聯可獲得較大的電容值，但每個電容器極板間所承受的電勢差和單獨使用時一樣；幾個電容器串聯時電容值減少，但每個電容器極板間所承受的電勢差小于總電勢差。在實際應用中可根據電路的要求采取并聯或串聯，特殊需要的電路中還可有更復雜的連接方法。§4靜電演示儀器(略)

§5帶電體系的靜電能一、電荷系的靜電能設n個靜止的電荷組成一個電荷系。將各電荷從現有位置彼此分散到無限遠時，它們之間的靜電力所做的功定義為電荷系在原來狀態的靜電能，也稱相互作用能（簡稱互能）。1、兩個點電荷的互能設兩個點電荷q和q相距為r。令q不動而q從它所在的位置移到無窮遠時，1212q2所受的電場力烏做的功為A=j“F2-dr將庫侖公式代入，可得q1q24兀8r0而qi所在點由q2所產生的方尸『qq一尸qq『drA=J?F-dr=J?——12r-dr=J^—rT?r2r4冗8r3q1q24兀8r0而qi所在點由q2所產生的這說明當q1和q2相距r時，他們的相互作用能W^為由于q2所在點由q1所產生的電勢可表示為中2=q電勢表示為g=4=，所以上式可以寫成0W=q甲=q中將上式可以寫成對稱的形式，即1z、W=云（q甲+q甲）12211222、三個點電荷組成的電荷系的互能由3個點電荷q、q和q組成的電荷系123以r12r23和婦分別表示它們之間TOC\o"1-5"\h\z的距離。設想先令q、q不動，而將q從它所在的位置移到無窮遠，q所受q和q123312的電場力F31和F32所做的功為A=JF-dr=[(F+F)-dr=JF-dr+JF-dr3331323132將庫侖公式代入，可得qq一廠,「qq一廠A=Js12r-dr+1^—r-dr3r4K￡r33131r4ksr33232031032qqqq=31+324ksr4ksr然后再令q1不動，將q2移到無窮遠，這一過程中電場力做的功為=q1q24兀gr將3個電荷由最初狀態分離到無窮遠，電場力做的總功就是電荷系在初狀態時的相互作用能，即qqqqqqXA7—A_i_A="1"2i"2"3i”3”1234ksr4ksr4ksrTOC\o"1-5"\h\z021032031=![q(-^+-^)+q(-^+-^)+q(-^+-^)]214ksr4ksr24ksr4ksr34兀gr4ksr0210310320210310321,=(q甲+q甲+q甲)2112233式中中、中、七分別為q、由3個點電荷q、q和q組成的電荷系123以r12r23和婦分別表示它們之間1231233、n個電荷組成的電荷系的互能將上述結果推廣到〃個點電荷組成的電荷系，則該電荷系的相互作用能為W=艾*式中中為q,所在處由q,以外其他電荷所產生的電勢。4、帶電體的靜電能如果只考慮一個帶電體，它的靜電能如下定義：設想把該帶電體分割成無限多的電荷元，把所有電荷元從現有的幾何狀態彼此分散到無限遠時，電場力所做的功叫原來該帶電體的靜電能，一個帶電體的靜電能有時也稱自能。因此一個帶電體的靜電自能就是組成它的各電荷元之間的靜電互能。由電荷系的互能公式每一個帶電體的靜電自能可以用下式求出：w=1川-dq2q由于電荷元dq為無限小，所以上式積分號內的中為帶電體上所有電荷在電荷元dq所在處的電勢，積分號下標q表示積分范圍遍及該帶電體上所有的電荷。在很多實際場合，往往需要單獨考慮電荷系中某一電荷的行為而將該電荷從電荷系中分離出來，電荷系中的其他電荷所產生的電場對該電荷來說就是外電場了。因此前面所說的一個電荷在外電場中的電勢能實際上就是該電荷與產生外電場的電荷系間的相互作用能。二、靜電場的能量當談到能量時，常常要說能量屬于誰或存于何處。根據超距作用的觀點，一組電荷系的靜電能只能屬于系內電荷本身，或者說由那些電荷攜帶著。但也只能說靜電能屬于電荷系整體，說其中某個電荷攜帶多少能量是完全沒有意義的，因此也就很難說電荷帶有能量。從場的觀點來看，很自然的可以認為靜電能就儲存在電場中。設想一個表面均勻帶電的球殼，所帶總電量為Q。在某一時刻球的半徑為R，可知此帶電球的靜電能量為Q2W=—8雙R0若球殼膨脹使半徑增大dR時，由于做功而使帶電球殼的能量減少了，減少的能量由上式可得Q2-dW=—dR8兀8R20由于均勻帶電球殼內部電場強度為零，所以球殼增大dR，就表示半徑為R，厚度為dR的球殼內的電場消失了，而球殼外的電場并沒有任何改變。將此電場的消失和靜電能量的減少-dW聯系起來，可以認為所減少的能量原來就儲存在那個球殼內。因此可以得到儲存在那個球殼內的電場中的能量為,Q2,dW=—Q—dR8雙R20根據場的概念引入的電場儲能的看法由于此式可用電場強度表示出來而顯得更為合理。已知原來那個球殼內的電場強度E=—，所以上式又可寫成4兀8R2

0dW=%(—Q—)24兀R2dR=^^4兀R2dR24雙R220或者dW=^2dV2其中dV=4兀R2dR是增大的球殼的體積。由于球殼內各處的電場強度的大小基本上都相同，所以進一步引入電場能量密度的概念。以巧。表示電場能量密度，則可由上式得dW￡E2w==edV2此處關于電場能量的概念和能量密度公式雖然是由一個特例導出的，但可以證明它適用于靜電場的一般情況。如果知道了一個帶電系統的電場分布，則可將上式對全空間V進行積分以求出一個帶電系統的電場的總能量，即W=fwdV=f^2dVVe」V2這就是該帶電系統的總能量。上式是用場的概念表示的帶電系統的能量，用前面帶電體的靜電能公式也能求出同一帶電系統的總能量，這兩個式子是完全等效的，這一等效性可以用稍復雜一些的數學加以證明。本節基于場的思想引入了電場能量的概念。但對靜電場來說，雖然可以應用它來理解電荷間的相互作用能量，但無法在實際上證明其正確性，因為不可能測量靜電場中單獨某一體積內的能量，只能通過電場力做功測得電場總能量的變化。這樣，“電場儲能”概念不過是一種“說法”，而公式也不過是帶電體靜電能的另一種“寫法”，正像用場的概念來說明兩個靜止電荷的相互作用那樣。但是不要小看了這種“說法”或“寫法”的改變，物理學中有時看來只是一種說法或寫法的改變，也