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2005級多元微積分期中考題 2006.4 答案A填空題1 2 2 3 4 或寫成 5 6 7， 8 910 110 12 二計算題1設，其中有二階連續偏導數，求。解： .2分 ，.3分.3分2考查函數的極值。 解：由 .2分得的駐點滿足，為.2分又，.2分所以沒有極值。 2分3利用已知積分，計算積分 ， 其中，。 解法一（積分號下求導）：令，。因為 和 為連續函數，且任意，存在正常數使廣義積分一致收斂，.3分根據含參變量的廣義積分求導定理，對任意，.2分因此，。于是，。3分*不證明“一致收斂”扣3分*解法二（積分號下求積分）：利用關系，以及連續函數的廣義積分在上一致收斂性，.3分由含參變量的廣義積分求積分定理，可以得到 。5分4求二重積分，其中。 解： 用極坐標系，.用到極坐標.2分 3分 .3分5設，將展為周期為2的Fourier級數，并由此證明。 解： 3分 .2分令。3分6設函數為由方程確定的二階可微函數，其中具有連續二階導數。求 與。解： ，對求偏導， 4分 4分證明題1設是連續函數，證明： ，其中。證：做變換 .3分，.2分于是有 。.3分2設在上有二階連續偏導數，在內滿足，且在上， ，證明：當時， 。（提示：可用反證法證明）證明：反證法：假設存在點滿足且。由條件：在上， 可知，在上的連續函數在區域的最小值點一定發生在區域的內部，因此一定是極

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