插值與擬合一、插值1、插值問(wèn)題：不知道某一函數(shù)f(x)在待定范圍[a,b]上的具體表達(dá)式，而只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量得到該函數(shù)在一系列點(diǎn)a≤x1,x2,...,xn≤b上的值y0,y1,y2,...,yn，需要找一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)P(x)來(lái)近似地代替f(x)，要求滿足：P(xi)=yi(i=1,2,...,n)，此問(wèn)題稱為插值問(wèn)題。P(x)稱為f(x)的插值函數(shù)，x1,x2,...,xn

稱為插值節(jié)點(diǎn)，f(xi)稱為插值條件。幾種常用的插值方法

1、多項(xiàng)式插值2、樣條插值1、多項(xiàng)式插值方法設(shè)y=f(x)在n+1個(gè)互異點(diǎn)上的x0,x1,x2,...,xn

上的值y0,y1,y2,...,yn，要求一個(gè)次數(shù)不超過(guò)n次的代數(shù)多項(xiàng)式

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…anxn使之在節(jié)點(diǎn)上滿足Pn(xi)=f(xi)幾種常用的多項(xiàng)式插值拉格朗日插值：牛頓插值Hermite插值2、樣條插值方法設(shè)給定區(qū)間[a,b]的一個(gè)分化：a=x0<x1<…<xn=b，如果函數(shù)s(x)滿足條件：在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi]上是k次多項(xiàng)式，且具有直到k-1階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則稱s(x)為一個(gè)k次多項(xiàng)式樣條。廣泛使用的樣條函數(shù)（1）二次樣條（2）三次樣條（3）B樣條。二次樣條的定義設(shè)[a,b]的一個(gè)劃分：a=x0<x1,x2,...,xn=b，函數(shù)f(x)各節(jié)點(diǎn)的值分別為：f(xi)=yi(i=1,2,...,n)如果二次樣條函數(shù)：滿足：S(xi)=yi(i=1,2,...,n)三次樣條函數(shù)的定義設(shè)[a,b]的一個(gè)劃分：a=x0<x1,x2,...,xn=b，函數(shù)f(x)各節(jié)點(diǎn)的值分別為：f(xi)=yi(i=1,2,...,n)如果三次樣條函數(shù)：3滿足：S(xi)=yi(i=1,2,...,n)數(shù)據(jù)的擬合2.擬合的基本原理1.擬合問(wèn)題引例3.用MATLAB求解擬合問(wèn)題4.應(yīng)用舉例5.插值與擬合的比較擬合問(wèn)問(wèn)題引引例一一電電阻阻問(wèn)題題溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032已知熱熱敏電電阻電電阻值值與溫溫度的的數(shù)據(jù)據(jù)：求600C時(shí)的電電阻R。設(shè)R=at+ba,b為待定定系數(shù)數(shù)解答擬合問(wèn)問(wèn)題引引例二二給給藥藥問(wèn)題題

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射300mg)求血藥藥濃度度隨時(shí)時(shí)間的的變化化規(guī)律律c(t).作半對(duì)對(duì)數(shù)坐坐標(biāo)系系(semilogy)下的圖圖形MATLAB(aa1)解答曲線線擬擬合合問(wèn)問(wèn)題題的的提提法法已知一一組（（二維維）數(shù)數(shù)據(jù)，，即平平面上上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…n,尋求一一個(gè)函函數(shù)（（曲線線）y=f(x),使f(x)在某種種準(zhǔn)則則下與與所有有數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)最最為接接近，，即曲曲線擬擬合得得最好好。+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)ii為點(diǎn)（xi,yi)與與曲線y=f(x)的的距距離曲線擬擬合問(wèn)問(wèn)題最最常用用的解解法———線性最最小二二乘法法的基本本思路路第一步步:先選選定一一組函函數(shù)r1(x),r2(x),……rm(x),m<n,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+……+amrm(x)（（1）其中a1,a2,……am為待定定系數(shù)數(shù)。第二步步:確確定定a1,a2,……am的準(zhǔn)則則（最最小二二乘準(zhǔn)準(zhǔn)則））：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)與與曲線y=f(x)的的距距離i的平方方和最最小。記

問(wèn)題歸歸結(jié)為為，求求a1,a2,……am使J(a1,a2,……am)最小。。線性最最小二二乘法法的求求解定理：：當(dāng)RTR可逆逆時(shí)，，超定定方程程組存在最最小二二乘解解，且且其解解可表表示為為下列列形式式：a=(RTR)-1RTya=R\y曲線擬擬合的的最小小二乘乘法要要解決決的問(wèn)問(wèn)題，，實(shí)際際上就就是求求以下下超定定方程程組的的最小小二乘乘解的的問(wèn)題題。Ra=y其中Ra=y線性最最小二二乘擬擬合f(x)=a1r1(x)+……+amrm(x)中函數(shù)數(shù){r1(x),……rm(x)}的選取取1.通通過(guò)過(guò)機(jī)理理分析析建立立數(shù)學(xué)學(xué)模型型來(lái)確確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將將數(shù)數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,……n作圖，，通過(guò)過(guò)直觀觀判斷斷確定定f(x)：：用MATLAB解擬擬合問(wèn)題1、線性最最小二乘擬擬合2、非線性性最小二乘乘擬合用MATLAB作線性最小二乘擬擬合1.作多多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利利用已有程程序:a=polyfit(x,y,m)2.對(duì)超定方程組可得最小二乘意義下的解。，用3.多項(xiàng)式式在x處的的值y可用用以下命令令計(jì)算：y=polyval（a，x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）用MATLAB作非線性最小二乘擬擬合Matlab的提供供了兩個(gè)求求非線性最最小二乘擬擬合的函數(shù)數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個(gè)命命令都要先先建立M-文件fun.m，，在其中定定義函數(shù)f(x)，，但兩者定定義f(x)的方式式是不同的的,可參考考例題.

lsqcurvefit用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)F(x,xdata)=（F（x，xdata1），…，F(xiàn)（x，xdatan））T中的參變量x(向量),使得輸入格式為為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘‘fun’’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘‘fun’’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,……);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)的M-文件,自變量為x和xdata說(shuō)明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項(xiàng)見(jiàn)無(wú)約束優(yōu)化

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得

最小。其中fi（x）=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai

2.lsqnonlin已知數(shù)據(jù)點(diǎn)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan）ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）輸入格式為為：1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；2）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；3）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options，‘grad’））；4）[x，options]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；；5）[x，options，funval]=lsqnonlin（‘fun’，x0，…）；；說(shuō)明：x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；fun是一個(gè)事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項(xiàng)見(jiàn)無(wú)約束優(yōu)化

例2用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k該問(wèn)題即解解最優(yōu)化問(wèn)問(wèn)題：MATLAB(fzxec1)1）編寫(xiě)M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入命命令tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)

F(x，tdata)=，x=(a，b，k)解法1.用命令lsqcurvefit3）運(yùn)算結(jié)結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542MATLAB(fzxec2)

解法2

用命令lsqnonlin

f(x)=F(x,tdata,ctada)=x=（a，b，k）1）編寫(xiě)M-文文件curvefun2.mfunctionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）輸入命命令:x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)函數(shù)curvefun2的自變量量是x，cdata和tdata是已知知參數(shù)，故故應(yīng)將cdatatdata的值寫(xiě)寫(xiě)在curvefun2.m中3）運(yùn)算結(jié)結(jié)果為f=1.0e-003*(0.2322-0.1243-0.2495-0.2413-0.1668-0.07240.02410.11590.20300.2792x=0.0063-0.00340.2542可以看出,兩個(gè)命令令的計(jì)算結(jié)結(jié)果是相同同的.4）結(jié)論：即擬合得a=0.0063b=-0.0034k=0.2542MATLAB解擬合問(wèn)題應(yīng)用實(shí)例1、電阻問(wèn)問(wèn)題2、給藥方方案問(wèn)題MATLAB(dianzu1)引例一電電阻問(wèn)題題解答溫度t(0C)20.532.751.073.095.7電阻R()7658268739421032例1.由數(shù)據(jù)擬合R=a1t+a2方法1.用命令polyfit(x,y,m)得到a1=3.3940,a2=702.4918方法2.直接用結(jié)果相同。。MATLAB(dianzu2)一室模型：將整個(gè)機(jī)機(jī)體看作一一個(gè)房室，，稱中心室，室內(nèi)血藥濃濃度是均勻勻的。快速速靜脈注射射后，濃度度立即上升升；然后迅迅速下降。。當(dāng)濃度太低低時(shí)，達(dá)不不到預(yù)期的的治療效果果；當(dāng)濃度度太高，又又可能導(dǎo)導(dǎo)致藥物中中毒或副作作用太強(qiáng)。臨床上，每每種藥物有有一個(gè)最小小有效濃度度c1和一個(gè)最大大有效濃度度c2。設(shè)計(jì)給藥藥方案時(shí)，，要使血藥藥濃度保保持在c1~c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).引例二給給藥藥方案解答一種新藥用用于臨床之之前，必須須設(shè)計(jì)給藥藥方案.藥物進(jìn)入機(jī)機(jī)體后血液液輸送到全全身，在這這個(gè)過(guò)程中中不斷地被被吸收、分分布、代謝謝，最終排排出體外，，藥物在血血液中的濃濃度，即單單位體積血血液中的藥藥物含量，，稱為血藥濃度。。在實(shí)驗(yàn)方面面,對(duì)某人人用快速靜靜脈注射方方式一次注注入該藥物物300mg后,在在一定時(shí)刻刻t(小時(shí)時(shí))采集血血藥,測(cè)得得血藥濃度度c(ug/ml)如下表:

t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01要設(shè)計(jì)給藥藥方案,必必須知道給給藥后血藥藥濃度隨時(shí)時(shí)間變化的的規(guī)律。從從實(shí)驗(yàn)和理論兩方面著手手：給藥方案1.在快快速靜脈注注射的給藥藥方式下，，研究血藥藥濃度（（單位位體積血液液中的藥物物含量）的的變化規(guī)律律。tc2cc10問(wèn)題分析理論：用一一室模型研研究血藥濃濃度變化規(guī)規(guī)律實(shí)驗(yàn)：對(duì)血血藥濃度數(shù)數(shù)據(jù)作擬合合，符合負(fù)負(fù)指數(shù)變化化規(guī)律2.給定定藥物的最小有效濃濃度和最大治療濃濃度，設(shè)計(jì)給藥藥方案：每每次注射劑劑量多大；；間隔時(shí)間間多長(zhǎng)。3.血液容積v,t=0時(shí)注射劑量d,血藥濃度即為d/v.2.藥物物排除速率與血藥濃度成正比，比比例系數(shù)k(>0)模型假設(shè)1.機(jī)體體看作一個(gè)個(gè)房室，室室內(nèi)血藥濃濃度均勻———一室模模型模型建立在此，d=300mg，t及及c（t））在某些點(diǎn)點(diǎn)處的值見(jiàn)見(jiàn)前表，需需經(jīng)擬合求求出參數(shù)k、v用線性最小小二乘擬合合c(t)MATLAB(lihe1)計(jì)算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：用非線性最最小二乘擬擬合c(t)給藥方案設(shè)設(shè)計(jì)cc2c10t設(shè)每次注射射劑量D,間隔時(shí)時(shí)間血藥濃度c(t)應(yīng)c1c(t)c2初次劑量D0應(yīng)加大給藥方案記為：2、1、計(jì)算結(jié)果：給藥方案：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02故可制定給給藥方案：：即:首次注射375mg，其余每次注注射225mg，注射的間隔隔時(shí)間為4小時(shí)時(shí)。用非線性最最小二乘擬擬合c(t)-用lsqcurvefit(lsqnonlin)2、主程序序lihe2.m如如下cleartdata=[0.250.511.523468];cdata=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];x0=[10,0.5];x=lsqcurvefit('curvefun3',x0,tdata,cdata);f=curvefun3(x,tdata)xMATLAB(lihe2)1、用M-文件curvefun3.m定義函數(shù)functionf=curvefun3(x,tdata)d=300f=(x(1)\d)*exp(-x(2)*tdata)%x(1)=v;x(2)=k

MATLAB(FZXEC3)擬合與插值值的比較問(wèn)題：給定一批離離散的數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)，需確確定滿足特特定要求的的曲線或曲曲面,從而獲取整整體的規(guī)律律。即通過(guò)過(guò)"窺幾斑斑"來(lái)達(dá)到到"知全豹豹"。解決方案：：若不要求曲曲線（面））通過(guò)所有有數(shù)據(jù)點(diǎn)，，而是要求求它反映對(duì)對(duì)象整體的變化趨勢(shì)勢(shì)，這就是是數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線線擬合或曲曲面擬合。。若要求所求求曲線（面面）通過(guò)所所給所有數(shù)數(shù)據(jù)點(diǎn)，就就是插值問(wèn)題；從幾何意義義上看，擬合是給定了空空間中的一一些點(diǎn)，找找到一個(gè)已已知形式的的連續(xù)曲面面來(lái)最大限限度地逼近這些點(diǎn)；而而插值是找到一個(gè)個(gè)(或幾個(gè)個(gè)分片光滑滑的)連續(xù)續(xù)曲面來(lái)穿過(guò)這些點(diǎn)。擬合與插值值的區(qū)別函數(shù)插值與與曲線擬合合都是要根根據(jù)一組數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)造一一個(gè)函數(shù)作作為近似，，由于近似似的要求不不同，二者者的數(shù)學(xué)方方法上是完完全不同的的。實(shí)例：下面數(shù)據(jù)是是某次實(shí)驗(yàn)驗(yàn)所得，希希望得到X和f之之間的關(guān)系系？MATLAB(cn)最臨近插值值、線性插插值、樣條條插值與曲曲線擬合結(jié)結(jié)果：美國(guó)某州的的各公用水水管理機(jī)構(gòu)構(gòu)要求各社社區(qū)提供各各個(gè)時(shí)刻的的用水率以以及每天所所用的總用用水量．但但許多社區(qū)區(qū)并沒(méi)有測(cè)測(cè)量流入或或流出當(dāng)?shù)氐厮乃康脑O(shè)備備，他們只只能代之以以每小時(shí)測(cè)測(cè)量水塔中中的水位．．更為重要要的是，無(wú)無(wú)論什么時(shí)時(shí)候，只要要水塔中的的水位下降降到某一最最低水位L時(shí)，水泵泵就啟動(dòng)向向水塔重新新充水直到到某一最高高水位Ｈ，，但也無(wú)法法得到水泵泵的供水量量的測(cè)量數(shù)數(shù)據(jù)．因此此，在水泵泵正在工作作時(shí)，人們們不容易建建立水塔中中水位與水水泵工作時(shí)時(shí)的用水量量之間的關(guān)關(guān)系．水泵泵每天向水水塔充水一一次或兩次次，每次大大約二小時(shí)時(shí)．試估計(jì)計(jì)在任何時(shí)時(shí)候，甚至至包括水泵泵正在工作作的時(shí)間內(nèi)內(nèi)，水從水水塔流出的的流量，并并估計(jì)一天天的總用水水量．表１１給出了某某個(gè)小鎮(zhèn)某某一天的真真實(shí)數(shù)據(jù)．．估計(jì)水塔的的水流量表１．某小小鎮(zhèn)某天的的水塔水位位時(shí)間(s)水位(0.01英尺)時(shí)間(s）水位(0.01英尺)時(shí)間（s）水位(0.01英尺)0317535932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作179212892499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表１給出了了從第一次次測(cè)量開(kāi)始始的以秒為為單位的時(shí)時(shí)刻，以及及該時(shí)刻的的高度單位位為百分之之一英尺的的水塔中水水位的測(cè)量量值，例如如3316秒后，水水塔中的水水位達(dá)到31.10英尺．水水塔是一個(gè)個(gè)垂直圓形形柱體，高高為40英英尺，直徑徑為57英英尺．二、問(wèn)題分分析我們很容易易想到應(yīng)通通過(guò)對(duì)所給給的數(shù)據(jù)進(jìn)進(jìn)行數(shù)值擬擬合來(lái)建模模．在討論論具體的建建模方法以以前，我們們應(yīng)先給出出一些合理理的假設(shè)．．(1)影響響水從水塔塔中流出的的流量的唯唯一因素是是公眾對(duì)水水的傳統(tǒng)要要求．因?yàn)闉楸恚敝唤o給出了某一一天（近26小時(shí)））水塔的水水位數(shù)據(jù)，，并沒(méi)有對(duì)對(duì)這些數(shù)據(jù)據(jù)的產(chǎn)生有有影響的因因素作出具具體的說(shuō)明明，我們只只能假定所所給數(shù)據(jù)反反映了有代代表性的一一天，而不不包括任何何特殊情況況，如自然然災(zāi)害、火火災(zāi)、水塔塔溢水、水水塔漏水等等對(duì)水的特特殊要求．．(2)水水塔中的的水位不不影響水水流量的的大小，，氣候條條件、溫溫度變化化等也不不影響水水流量．．(3)水水泵工作作起止時(shí)時(shí)間有它它的水位位決定，，每次充充水時(shí)間間大約為為兩個(gè)小小時(shí)．二、問(wèn)題題分析(4)水水泵充水水速度恒恒定，且且水泵充充水的水水流量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于水水塔的水水流量，，以保證證人們對(duì)對(duì)水的需需求．水水泵工作作時(shí)不需需要維修修，也不不中途停停止工作作．(5)水水塔的水水流量與與水泵狀狀態(tài)獨(dú)立立，并不不因水泵泵工作而而增加或或減少水水流量的的大小．．(6)水水塔的水水流量曲曲線可以以用一條條光滑的的曲線了了逼近．．這時(shí)，，在每一一個(gè)數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)，水水流量的的兩階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)是連連續(xù)的．．因?yàn)樗南暮牧渴腔谏鐓^(qū)區(qū)公眾一一天的活活動(dòng)，如如洗澡、、做飯、、洗衣服服等，每每一個(gè)使使用者的的要求與與整個(gè)社社區(qū)的要要求相比比是微不不足道的的，而整整個(gè)社區(qū)區(qū)的需求求是不可可能同時(shí)時(shí)增加或或減少的的，由于于水的消消耗的自自然性，，可以假假設(shè)水流流量曲線線是一條條連續(xù)光光滑的曲曲線．(7)表表１的數(shù)數(shù)據(jù)是準(zhǔn)準(zhǔn)確的二、問(wèn)題題分析對(duì)所給的的問(wèn)題，，其建模模方法是是經(jīng)典的的，基本本上是分分成三步步：首先先由所給給數(shù)據(jù)得得到在各各數(shù)據(jù)點(diǎn)點(diǎn)處的水水流量，，然后找找出一個(gè)個(gè)水從水水塔流出出的水流流量的光光滑擬合合逼近，，最后處處理水泵泵工作時(shí)時(shí)的充水水水量以以及一天天該小鎮(zhèn)鎮(zhèn)公眾的的總用水水量，同同時(shí)也重重建了水水泵工作作時(shí)所缺缺的數(shù)據(jù)據(jù)．所給給數(shù)據(jù)的的初步處處理.我們把表表１所給給的數(shù)據(jù)據(jù)作為時(shí)時(shí)間的函函數(shù)畫(huà)成成圖１二、問(wèn)題題分析圖1．時(shí)時(shí)間與水水位的關(guān)關(guān)系圖二、問(wèn)題題分析從圖１可可以看出出，最大大的困難難是要解解決如何何描述水水塔充水水期間的的水流量量的行為為，為此此，我們們先分析析一下水水泵充水水期間的的觀察數(shù)數(shù)據(jù)，要要解決兩兩個(gè)問(wèn)題題：一是是兩次充充水準(zhǔn)確確的起始始時(shí)間和和停止時(shí)時(shí)間，如如果無(wú)法法得到準(zhǔn)準(zhǔn)確時(shí)間間的話，，以哪一一時(shí)刻作作為起止止時(shí)間比比較合理理；二是是充水期期間的水水流量如如何描述述．從所給的的數(shù)據(jù)自自然無(wú)法法知道水水泵開(kāi)始始和停止止的準(zhǔn)確確時(shí)間，，但是已已知第一一次充水水前的最最后一個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)為為32284秒秒時(shí)水位位為26.97英尺，，充充水中第第二個(gè)數(shù)數(shù)據(jù)為39332秒時(shí)時(shí)．而39332-32284=7048秒，即即約為1.96小時(shí)，，由水泵泵每次充充水要大大約２小小時(shí)可知知，水泵泵是在32284秒時(shí)時(shí)開(kāi)始充充水的．．停止時(shí)時(shí)間在39332秒與與39435秒秒之間，，但這兩兩個(gè)時(shí)刻刻的差距距為103秒，，約0.028小時(shí)，，很短的的時(shí)間，，所以我我們可以以假定水水泵停止止工作時(shí)時(shí)間為39332秒．．充水開(kāi)開(kāi)始時(shí)水水塔水位位為26.97英尺，，可以認(rèn)認(rèn)為L(zhǎng)大大約為27.00英尺尺．二、問(wèn)題題分析１、水流流量曲線線的擬合合表１給出出的是水水位與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系，而而題目要要求我們們求出的的是水流流量與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系，因因此，我我們先將將表１的的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為水水塔中水水的體積積與時(shí)間間的關(guān)系系，然后后再轉(zhuǎn)化化為水流流量與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系．表表２、圖圖２代表表水的體體積與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系（程程序見(jiàn)實(shí)實(shí)驗(yàn)解答答中程序序二）二、問(wèn)題題分析表2．時(shí)時(shí)間與體體積的關(guān)關(guān)系時(shí)間（秒）體積(立方英尺)時(shí)間（秒）體積(立方英尺)時(shí)間（秒）體積(立方英尺)081018.33735932working6853572520.98331679359.69339332working7185470607.161663577930.7093943590587.4317502168820.931061976399.6534331887908.08579154working1393775200.3274663685483.91482649working1792173796.864995383187.3318596888673.6122124072725.1215393680814.1968995386683.2412522371372.6895725478772.7899327085228.7382854370224.3986057476858.973228468820.936455474689.975二、問(wèn)題題分析圖2．時(shí)時(shí)間與體體積的關(guān)關(guān)系圖二、問(wèn)題題分析我們用從從水水的體積積與時(shí)間間的關(guān)系系得到水水流量與與時(shí)間的的關(guān)系（（由于在在充水時(shí)時(shí)，沒(méi)有有水的體體積與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系，所所以也沒(méi)沒(méi)有水流流量與時(shí)時(shí)間的關(guān)關(guān)系）．．我們采采用差分分法來(lái)解解決這個(gè)個(gè)問(wèn)題．．由于水泵泵充水兩兩次，數(shù)數(shù)據(jù)被分分割成三三組，因因而我們們也分三三組來(lái)處處理數(shù)據(jù)據(jù)．對(duì)每每一組數(shù)數(shù)據(jù)，我我們采用用中心差差分公式式二、問(wèn)題題分析來(lái)計(jì)算每每一組中中間數(shù)據(jù)據(jù)點(diǎn)的水水流量．．而對(duì)每每組前兩兩個(gè)和最最后兩個(gè)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)點(diǎn)，采用用如下的