一、線性模型與基本假定

假設某單因素試驗有k個處理，n次重復，完全隨機設計，則共有nk個觀察值，其數據結構和符號如表5-1所示。xij可以表示為第一節方差分析的基本原理與步驟12/16/2022其中，為第i個處理觀測值總體平均數；為試驗誤差、相互獨立、且服從正態分布N（0，σ2）。

若令則（5-1）式可以改寫為（5-4）12/16/2022其中，μ為全試驗觀測值總體平均數；是第i個處理的效應，表示處理i對試驗結果產生的影響。

顯然有（5-4）式叫做單因素完全隨機設計試驗資料的數學模型。

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表示為總平均數μ、處理效應αi、試驗誤差εij之和。由εij相互獨立且服從正態分布N（0，σ2），可知各處理Ai(i=1，2，…，k)所屬總體亦應具正態性，即服從正態分布N(μi,σ2)。盡管各總體的均數可以不等或相等，σ2則必須是相等的。12/16/2022

所以，單因素完全隨機設計試驗資料的數學模型可歸納為：

效應的可加性（additivity）

分布的正態性（normality）

方差的一致性（homogeneity）12/16/2022二、平方和與自由度的分解在方差分析中用樣本方差即均方來度量資料的變異程度。在表5-1中，度量全部觀測值總變異的總均方分解為度量處理間變異的處理間均方和度量處理內變異的處理內均方兩部分。12/16/2022

統計學上，這種分解是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，分解為處理間平方和與處理內平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，分解為處理間自由度與處理內自由度兩部分來實現的。12/16/2022（一）總平方和的分解

在表5-1中，反映全部觀測值總變異的總平方和是各觀測值xij與總平均數的離均差平方和，記為SST。即因為12/16/2022其中12/16/2022所以

式中，為各處理平均數與總平均數的離均差平方和與重復數n的乘積，反映了重復n次的處理間變異，稱為處理間平方和，記為SSt，即12/16/2022為各處理內離均差平方和之和，反映了各處理內的變異即誤差，稱為處理內平方和或誤差平方和，記為SSe，即

于是有SST=SSt+SSe

12/16/20223種平方和的簡便計算公式矯正數

12/16/2022（二）總自由度的分解

在計算總平方和時，資料中kn個觀測值的離均差要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數減一，即kn-1。總自由度記為dfT，dfT=kn-1。12/16/2022

在計算處理間平方和時，k個處理均數的離均差要受這一條件的約束，故處理間自由度為處理數減一，即k-1。處理間自由度記為dft，dft=k-1

12/16/2022在計算處理內平方和時，kn個離均差要受k個條件的約束，即故處理內自由度為資料中觀測值的總個數減k

，即kn-k

。處理內自由度記為dfe

dfe=kn-k=k(n-1)（i=1,2,…,k）12/16/2022因為所以12/16/2022各項平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內均方，分別記為MST（或）、MSt（或）和MSe（或），即12/16/2022

【例5-1】有一水稻施肥的盆栽試驗，設置了5個處理：A1和A2分別施用兩種不同工藝流程的氨水，A3施碳酸氫銨，A4施尿素，A5不施氮肥。每個處理各4盆（施氮處理的施肥量每盆皆為折合純氮1.2克），共有5×4＝20盆，隨機置于同一盆栽場。其稻谷產量（g/盆）列于表5-2。12/16/2022

各項平方和與自由度計算如下12/16/202212/16/2022

方差分析就是通過MSt

與MSe的比較來推斷是否為零即是否相等。三、F檢驗相當于μ1=μ2=…=μk12/16/2022統計學已證明，在的條件下，服從自由度df1=k-1與df2=k（n-1）的F分布。即

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若實際計算的F值大于，則F

值在α=0.05的水平上顯著，我們以95%的可靠性(即冒5%的風險)推斷MSt代表的總體方差大于MSe代表的總體方差，即這種用F值出現概率的大小推斷一個總體方差是否大于另一個總體方差的方法稱為F檢驗(F-test)。12/16/2022

對于單因素完全隨機設計試驗資料的方差分析:無效假設H0：μ1=μ2=…=μk備擇假設HA：各μi不全相等或

F=MSt/MSe，也就是要判斷處理間均方是否顯著大于處理內(誤差)均方。

12/16/2022實際進行F檢驗時，是將由試驗資料所算得的F值與根據df1=dft(大均方即分子均方的自由度)、df2=dfe(小均方即分母均方的自由度)查附表4所得的臨界F值，相比較作出統計推斷。

12/16/2022若F＜，即p＞0.05，不能否定統計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異不顯著或簡述為F值不顯著，在F值的右上方標記“ns”，或不標記符號；

H0：12/16/2022若≤F＜即0.01＜p≤0.05，否定H0：接受HA:

統計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異顯著或簡述為F值顯著，在F值的右上方標記“*”；12/16/2022若F≥，即p≤0.01，否定H0：，接受HA:統計學上，把這一檢驗結果表述為：各處理間差異極顯著或簡述為F值極顯著，在F值的右上方標記“**”。

12/16/2022對于【例5·1】，因為根據df1=dft=4，df2=dfe=15查附表4，得F0.01(4，15)=4.89，因為F＞F0.01(4，15),即p＜0.01，表明五種不同施肥處理的稻谷產量差異極顯著，施肥處理不同，產量亦不同。12/16/2022表5-3表5-2資料方差分析表變異來源SSdfMSF值處理間301.2475.3011.19**處理內101.0156.73總變異402.21912/16/2022四、多重比較

F值顯著或極顯著，否定無效假設HO，表明試驗中各處理平均數間存在顯著或極顯著差異，但并不意味著每兩個處理平均數間的差異都顯著或極顯著的，也不能具體說明哪些處理平均數間有顯著或極顯著差異，哪些差異不顯著。下一張

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12/16/2022有必要進行兩兩處理平均數間的比較，以具體判斷兩兩處理平均數間的差異顯著性。

統計學上把多個平均數兩兩間的相互比較稱為多重比較。多重比較的方法很多，常用的有最小顯著差數法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。12/16/2022

此法的基本作法是：在F檢驗顯著的前提下，先計算出顯著水平為α的最小顯著差數，然后將任意兩個處理平均數的差數的絕對值與其比較：下一張

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（一）最小顯著差數法(LSD法)12/16/2022若＞LSDα，則與在α水平上差異顯著；反之，則在α水平上差異不顯著。最小顯著差數由下式計算：

式中：為在F檢驗中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值，為均數差數標準誤，

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12/16/2022其中為F檢驗中的誤差均方，n為各處理的重復數。當顯著水平α=0.05和0.01時，從t值表中查出和，得：

利用LSD法進行多重比較時，可按如下步驟進行：

12/16/2022(2)計算最小顯著差數和；(3)將平均數多重比較表中兩兩平均數的差數與、比較，作出統計推斷。

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(1)列出平均數多重比較表比較表中各處理按其平均數從大到小自上而下排列；

12/16/2022對于【例5-1】，多重比較如表5-4所示。

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檢驗結果：差數2.5、1.5、3.0不顯著；差數4.5、4.0、4.5顯著；差數7.0、8.5、7.0和11.5極顯著。表明：施尿素的稻谷平均產量極顯著高于對照和施氨水2、顯著高于施氨水1；

施碳酸氫銨的稻谷平均產量極顯著高于對照、顯著高于施氨水2；12/16/2022

施氨水1的稻谷平均產量極顯著高于對照；

施氨水2的稻谷平均產量顯著高于對照；

施尿素與施碳酸氫銨、施碳酸氫銨與施氨水1、施氨水1與施氨水2的稻谷平均產量差異不顯著；

以施尿素的稻谷產量最高。12/16/2022

(二)最小顯著極差法(LSR法)

LSR法的特點是把平均數的差數看成是平均數的極差，根據極差范圍內所包含的處理數(稱為秩次距)k的不同而采用不同的檢驗尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗尺度叫做最小顯著極差(LSR)。12/16/2022

因為LSR法是一種極差檢驗法，所以當一個平均數大集合的極差不顯著時，其中所包含的各個較小集合極差也應一概作不顯著處理。常用的LSR法有q檢驗法和新復極差法兩種。

1、q

檢驗法

此法是以統計量q的概率分布為基礎的。q值由下式求得：

12/16/2022式中，w為極差，為標準誤，分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。利用q檢驗法進行多重比較時，為了簡便起見，不是將算出的q值與臨界q值比較，而是將極差與比較，從而作出統計推斷。為α水平上的最小顯著極差：下一張

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12/16/2022

(1)列出平均數多重比較表；(2)由自由度dfe、秩次距k查臨界q值，計算最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k；(3)將平均數多重比較表中的各極差與相應的最小顯著極差LSR0.05,k,LSR0.01,k比較，作出統計推斷。

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12/16/2022

對于【例5-1】，各處理平均數多重比較表見表5-5（同表5-4）。前已述及，在表5-5（即表5-4）中，極差4.5、3.0、1.5和3.0的秩次距為2；極差7.0、4.0和4.5的秩次距為3；極差8.5和7.0的秩次距為4；極差11.5的秩次距為5。

查附表7，得df=15時，p=2,3,4的q值，進而可得LSR，列于表5-6。12/16/2022

2、SSR法此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，又稱為Duncan法，或新復極差法。新復極差法與q法的檢驗步驟相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查SSR表(附表6)而不是查q值表。最小顯著極差計算公式為：

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12/16/2022

對于【例5-1】，各處理平均數多重比較表同表5-4。

已算出=1.2971，依dfe=15,k=2，3，4，5，由附表6查臨界SSR0.05(15,k)和SSR0.01(15,k)值，乘以=1.2971，求得各最小顯著極差，SSR值與LSR值列于表5-7。

將表5-4中的極差與表5-7中的最小顯著極差比較，除極差4.0不顯著外，其余檢驗結果與LSD法相同。12/16/2022以上介紹的三種多重比較方法，其檢驗尺度有如下關系：

LSD法≤SSR法≤q法當秩次距k=2時，取等號；秩次距k≥3時，取小于號。在多重比較中，LSD法的尺度最小，q檢驗法尺度最大，新復極差法尺度居中。用上述排列順序前面方法檢驗顯著的差數，用后面方法檢驗未必顯著；用后面方法檢驗顯著的差數，用前面方法檢驗必然顯著。下一張

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12/16/2022

生物試驗中，由于試驗誤差較大，常采用SSR法；

F檢驗顯著后，為了簡便，也可采用LSD法。12/16/2022

此法是將多重比較結果直接標記在平均數多重比較表上，如表5-4、表5-5所示。由于在多重比較表中各個平均數差數構成一個三角形陣列，故稱為三角形法。此法的優點是簡便直觀，缺點是占的篇幅較大。

1、三角形法（三）多重比較結果的表示方法12/16/2022

2、標記字母法

先將各處理平均