6/6排列與排列數【第一學時】【學習目標】1．通過學習排列的概念，培養數學抽象的素養。2．借助排列數公式進行計算，培養數學運算的素養。【學習重難點】1．理解排列的概念，能正確寫出一些簡單問題的所有排列。（重點）2．會用排列數公式進行求值和證明。（難點）【學習過程】一、新知初探1．排列的概念（1）一般地，從n個不同對象中，任取m（m≤n）個對象，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列。（2）特別地，m＝n時的排列（即取出所有對象的排列）稱為全排列。2．排列數及排列數公式排列數的定義從n個不同對象中取出m個對象的所有排列的個數，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數排列數的表示Aeq\o\al(m,n)（n，m∈N，m≤n）排列數公式乘積式Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）階乘式Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)階乘Aeq\o\al(n,n)＝n×（n－1）×（n－2）×…×2×1＝n！規定0！＝1，Aeq\o\al(0,n)＝1性質Aeq\o\al(m,n)＋mAeq\o\al(m－1,n)＝Aeq\o\al(m,n＋1)二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）a，b，c與b，a，c是同一個排列。 （）（2）從1，2，3，4中任選兩個元素，就組成一個排列。 （）（3）同一個排列中，同一個元素不能重復出現。 （）（4）在同一個排列中，若交換兩個元素的位置，則該排列不發生變化。 （）2．89×90×91×92×…×100可表示為（）A．Aeq\o\al(10,100) B．Aeq\o\al(11,100)C．Aeq\o\al(12,100) D．Aeq\o\al(13,100)3．甲、乙、丙三名同學排成一排，不同的排列方法有（）A．3種 B．4種C．6種 D．12種4．（教材P14A組T2改編）eq\f(A\o\al(3,4),5！)＝________。三、合作探究類型1排列的概念【例1】判斷下列問題是否為排列問題。（1）北京、上海、天津三個民航站之間的直達航線的飛機票的價格（假設來回的票價相同）；（2）選2個小組分別去植樹和種菜；（3）選2個小組去種菜；（4）選10人組成一個學習小組；（5）選3個人分別擔任班長、學習委員、生活委員；（6）某班40名學生在假期相互通信。類型2排列的列舉問題【例2】（教材P10例1改編）寫出下列問題的所有排列。（1）從1，2，3，4四個數字中任取兩個數字組成兩位數，共有多少個不同的兩位數？（2）寫出從4個元素a，b，c，d中任取3個元素的所有排列。類型3排列數公式的推導及應用【例3】（1）計算：eq\f(A\o\al(5,9)＋A\o\al(4,9),A\o\al(6,10)－A\o\al(5,10))；（2）求3Aeq\o\al(x,8)＝4Aeq\o\al(x－1,9)中的x。【學習小結】1．判斷一個問題是否是排列問題的關鍵是看該問題中的元素是否與順序有關，有關為排列問題，否則，不是排列問題。2．排列數公式Aeq\o\al(m,n)＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）適合已知m的排列數計算，而Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)常用于與排列數有關的證明、解方程、解不等式等。求解時務必注意隱含條件：n，m∈N，m≤n。【精煉反饋】1．從1，2，3，4四個數字中，任選兩個數做加、減、乘、除運算，分別計算它們的結果，在這些問題中，有幾種運算可以看作排列問題（）A．1 B．2C．3 D．42．4×5×6×…×（n－1）×n等于（）A．Aeq\o\al(4,n) B．Aeq\o\al(n－4,n)C．n！－4! D．Aeq\o\al(n－3,n)3．5本不同的課外讀物分給5位同學，每人一本，則不同的分配方法有________種。4．Aeq\o\al(6,6)－6Aeq\o\al(5,5)＋5Aeq\o\al(4,4)＝________。5．從0，1，2，3這四個數中，每次取3個不同的數字排成一個三位數，寫出其中大于200的所有三位數。【第二學時】【學習目標】1．通過排列知識解決實際問題，提升邏輯推理的素養。2．借助排列數公式計算，提升數學運算的素養。【學習重難點】1．進一步理解排列的概念，掌握一些排列問題的常用解題方法。（重點）2．能應用排列知識解決簡單的實際問題。（難點）【學習過程】一、合作探究類型1無限制條件的排列問題【例1】（1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？類型2排隊問題角度一元素“相鄰”與“不相鄰”問題【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法的種數。（1）全體站成一排，男、女各站在一起；（2）全體站成一排，男生必須站在一起；（3）全體站成一排，男生不能站在一起；（4）全體站成一排，男、女各不相鄰。角度二元素“在”與“不在”問題【例3】六人按下列要求站一橫排，分別有多少種不同的站法？（1）甲不站兩端；（2）甲、乙站在兩端；（3）甲不站左端，乙不站右端。角度三定序問題【例4】將A，B，C，D，E這5個字母排成一列，要求A，B，C在排列中的順序為“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相鄰）。則有多少種不同的排列方法？類型3數字排列問題【例5】（教材P12例6改編）用0，1，2，3，4，5這六個數字可以組成多少個無重復數字的（1）六位奇數？（2）個位數字不是5的六位數？【學習小結】1．解排列應用題的基本思想eq\x(實際問題)eq\o(→,\s\up10(化歸),\s\do12(建模))eq\x(排列問題)eq\o(→,\s\up10(求數學模型的解))eq\x(求排列數)eq\o(→,\s\up10(得實際問題的解))eq\x(實際問題)2．求解排列問題的主要方法直接法把符合條件的排列數直接列式計算優先法優先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉化的方法【精煉反饋】1．6名學生排成兩排，每排3人，則不同的排法種數為（）A．36 B．120C．720 D．2402．某段鐵路所有車站共發行132種普通車票，那么這段鐵路共有的車站數是（）A．8 B．12C．16 D．243．用1，2，3，4，5，6，7這7個數字排列組成一個七位數，要求在其偶數位上必須是偶數，奇數位上必須是奇數，則這樣的七位數有________個。4．A，B，C，D，E五人并排站成一