本資料來源1因子分析2§1引言

因子分析(factoranalysis)是一種用來分析隱藏在表象背后的因子作用的一類統計模型和方法。它通過研究眾多變量之間的內部依賴關系，探求觀測數據的基本結構，并用少數幾個不可觀測的所謂公共因子的線性組合與特殊因子之和來描述原來觀測的每一分量。3例如，為了了解學生的各種數學能力，分別進行了加減、乘除、代數、幾何和微積分的測驗，相應成績分別記為：T1,…,T5。對這些成績進行歸納分析，找出與學生的各種數學能力有關的內在的不可測的公共因子，如空間因子、記憶因子、歸納因子、演繹因子，分別記作：F1,…,F4。用這些不可測的相互獨立的公共因子和各自的特殊因子（分別記作：ε1,…,ε5）來描述原來可測的相互關聯的變量，并解釋分析學生的數學能力。

4主成分分析與因子分析的不同：主成分分析僅僅是變量變換，而因子分析需要構造因子模型。主成分分析：原始變量的線性組合表示新的綜合變量，即主成分；因子分析：潛在的假想變量和隨機影響變量的線性組合表示原始變量。5§2因子分析模型

6一、數學模型矩陣形式：公共因子：y1,…,ym;特殊因子：7所謂因子分析，就是從可以觀測的變量x1,…,xp給出的樣本數據中，求出載荷矩陣A，預測出公共因子y1,…,ym.aij：（公共）因子載荷（量），表明xi與yj的相依程度。A：公共因子載荷陣。8二、因子載荷矩陣中的幾個統計特征1、因子載荷aij的統計意義因子載荷aij是第i個變量與第j個公共因子的相關系數

，也叫做權，表明xi依賴yj的份量。9

2、變量共同度的統計意義定義：變量xi的共同度是因子載荷矩陣的第i行的元素的平方和。記為統計意義：10所有的公公共因子子和特殊殊因子對對變量xi的貢獻為為1。越大，說說明xi對各公共共因子的的共同依依賴程度度越大，，故稱為為xi的共同度度。即：113、公共共因子yj方差貢獻獻的統計計意義因子載荷荷矩陣中中各列元元素的平平方和是第j個公共因因子yj對于x的的各個分分量x1,…,xp所提供方方差總和和，是衡衡量公共共因子相相對重要要性的指指標。12§3因因子載荷荷矩陣的的估計方方法設隨機向向量協方差（（相關陣陣）為R，則（一）主主成份分分析法設為R的特征根根，為對應的的正交標標準化特特征向量量，則131415注意到因子子分析的目目的是尋求求少數幾個個公共因子子，故略去去后面的p-m項的的貢獻。同同時假定模型中中的特殊因因子是不重重要的，因因而從R的分解中忽忽略特殊因因子的方差差，即有16主成份法估估計載荷矩矩陣的基本本步驟：1、計算樣樣本相關陣陣；；2、計算的的特征值及及相應的的標準正交交特征向量量3、給定公公共因子數數m(<p)，因因子載荷陣陣的估計為為4、特殊因因子方差陣陣的估計：：主成份法相相當于用前前m個主成成份去表示示m個潛在在的因子。。17公共因子個個數的確定定方法：取m，使R-AAT接近對角陣陣；取m，使取m，使18（二）極大似似然估計法法如果假定公公共因子y和特殊因因子服從正態態分布，那那么可以得得到因子載載荷和特殊殊因子方差差的極大似似然估計。。設為為來自正態態總體Np(,V)的隨機樣樣本。19它通過依賴和和。上式并不不能唯一確確定,為為此可添加加一個唯一一性條件：：這里式一一個對角矩矩陣，用數數值極大化化的方法可可以得到極大似然然估計。。極大大似然估計計將使為為對角陣，，且似然函函數達到最最大。20例假定某地固固定資產投投資率x1，通貨膨脹脹率x2，失業率x3，相關系數數矩陣為試用主成分分分析法求求因子分析析模型。21特征根為：22可取前兩個個因子y1和y2為公共因子子，第一公公因子y1物價就業因因子，對X的貢獻為為1.55。第二公公因子y2為投資因子子，對X的的貢獻為0.85。。共同度分分別為1，，0.706，0.706。。23§4因子旋轉（（正交變換換）建立了因子子分析數學學目的不僅僅僅要找出出公共因子子以及對變變量進行分分組，更重重要的要知知道每個公公共因子的的意義，以以便進行進進一步的分分析，如果果每個公共共因子的含含義不清，，則不便于于進行實際際背景的解解釋。由于于因子載荷荷陣是不惟惟一的，所所以需要對對因子載荷荷陣進行旋旋轉，使載載荷矩陣每每列或行的的元素平方方值向0和和1兩極分分化。（一）為什什么要旋轉轉因子24百米跑成績績X1；跳跳遠成績績X2；鉛球球成成績績X3；跳跳高高成成績績X4；400米跑跑成成績績X5；百百米米跨跨欄欄X6；鐵餅餅成成績績X7；撐撐桿桿跳跳遠遠成成績績X8；標槍槍成成績績X9；1500米跑跑成成績績X10奧運運會會十十項項全全能能運運動動項項目目得分分數數據據的的因因子子分分析析252627因子子載載荷荷矩矩陣陣可可以以看看出出，，除除第第一一因因子子在在所所有有的的變變量量在在公公共共因因子子上上有有較較大大的的正正載載荷荷，，可可以以稱稱為為一一般般運運動動因因子子。。其其他他的的3個因因子子不不太太容容易易解解釋釋。。似似乎乎是是跑跑和和投投擲擲的的能能力力對對比比，似乎乎是是長長跑跑耐耐力力和和短短跑跑速速度度的的對對比比。。于于是是考考慮慮旋旋轉轉因因子子，，得得下下表表2829通過過旋旋轉轉，，因因子子有有了了較較為為明明確確的的含含義義。。百百米米跑跑（（X1），，跳跳遠遠（（X2）和和400米米跑跑（（X5），，需需要要爆爆發發力力的的項項目目在在F1有較較大大的的載載荷荷，，可可以以稱稱為為短短跑跑速速度度因因子子；；鉛球球（（X3），，鐵鐵餅餅（（X7）和和標標槍槍（（X9）在在F2上有有較較大大的的載載荷荷，，可可以以稱稱為為爆爆發發性性臂臂力力因因子子；；百米米跨跨欄欄（（X6），，撐撐桿桿跳跳遠遠（（X8），，跳跳遠遠（（X2）和和跳跳高高（（X4）在在F2上有有較較大大的的載載荷荷，，可可以以稱稱為為爆爆發發腿腿力力因因子子；；F4為長長跑跑耐耐力力因因子子。。30變換換后后因因子子的的共共同同度度設正正交交矩矩陣陣，，做做正正交交變變換換變換后后因子子的共共同度度沒有有發生生變化化！（二））旋轉轉方法法31變換后后因子子貢獻獻變換后后因子子的貢貢獻發發生了了變化化！321、方方差最最大法法方差最最大法法從簡簡化因因子載載荷矩矩陣的的每一一列出出發，，使和和每個個因子子有關關的載載荷的的平方方的方方差最最大。。當只只有少少數幾幾個