6.1

非線性系統(tǒng)概述

6.2

描述函數(shù)法

6.3

非線性系統(tǒng)分析與應(yīng)用

6.4

MATLAB應(yīng)用實(shí)例

第6章非線性系統(tǒng)分析6.1非線性系統(tǒng)概述6.2描述函數(shù)法6.3非16.1

非線性系統(tǒng)概述自動(dòng)控制系統(tǒng)中所包含的非線性特性可以分為兩類。非本質(zhì)非線性

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性

用小偏差線性化方法不能解決的非線性。6.1非線性系統(tǒng)概述自動(dòng)控制系統(tǒng)中所包含的非線性特性可以分2典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：

1.飽和非線性

2.死區(qū)特性

3.具有不靈敏區(qū)的飽和特性

4.繼電特性

5.間隙特性

典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：3飽和非線性實(shí)際的放大器只能在一定的輸入范圍內(nèi)保持輸出量和輸入量之間的線性關(guān)系。當(dāng)輸入量超出該范圍時(shí)，其輸出量則保持為一個(gè)常值。飽和非線性特性如圖a所示。飽和非線性4死區(qū)特性一般的測(cè)量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)都具有不靈敏區(qū)特性。只有在輸入信號(hào)大到一定程度以后才會(huì)有輸出。一般的機(jī)械系統(tǒng)、電機(jī)等,都不同程度地存在死區(qū)。這種只有當(dāng)輸入量超過(guò)一定值后才有輸出的特性稱為死區(qū)特性，如圖b所示。死區(qū)特性5具有不靈敏區(qū)的飽和特性在很多情況下，系統(tǒng)的元件同時(shí)存在死區(qū)特性和飽和限幅特性。譬如，測(cè)量元件的最大測(cè)量范圍與最小測(cè)量范圍都是有限的。具有不靈敏區(qū)的飽和特性如圖c所示。具有不靈敏區(qū)的飽和特性6（磁敏傳感器）霍爾元件霍爾元件+UH（磁敏傳感器）霍爾元件霍爾元件+UH7繼電特性由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性，如圖所示。0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；i>ma時(shí)，觸頭吸合；i<ma時(shí)，觸頭釋放。繼電特性0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；8間隙特性間隙特性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入量的變化方向改變時(shí)，輸出量保持不變，一直到輸入量的變化超出一定數(shù)值（間隙）后，輸出量才跟著變化。間隙特性如圖e所示。間隙特性9間隙特性:間隙又稱回環(huán)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見(jiàn)的回環(huán)非線性特性，如圖所示。間隙特性:間隙又稱回環(huán)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見(jiàn)的回環(huán)非線10在齒輪傳動(dòng)中,由于間隙存在,當(dāng)主動(dòng)齒輪方向改變時(shí),從動(dòng)輪保持原位不動(dòng),直到間隙消除后才改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種回環(huán)特性。間隙特性對(duì)系統(tǒng)影響較為復(fù)雜,一般來(lái)說(shuō),它將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，頻率響應(yīng)的相位遲后也增大,從而使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能惡化。采用雙片彈性齒輪(無(wú)隙齒輪)可消除間隙對(duì)系統(tǒng)的不利影響。在齒輪傳動(dòng)中,由于間隙存在,當(dāng)主動(dòng)齒輪方11

非線性系統(tǒng)的基本特征數(shù)學(xué)模型：非線性微分方程

主要特點(diǎn)：1.穩(wěn)定性問(wèn)題穩(wěn)定性除了同系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和參數(shù)有關(guān)外，還與外作用及初始條件有關(guān)。2.時(shí)間響應(yīng)非線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。非線性系統(tǒng)的基本特征數(shù)學(xué)模型：非線性微分方程12設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x010x(t)tx0>1x13相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)隨初始條件而變。當(dāng)x0>1，t<lnx0/(x01)時(shí)，隨t增大，x(t)遞增；t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。當(dāng)x0<1時(shí)，x(t)遞減并趨于0。由上例可見(jiàn)，初始條件不同，自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性亦不同。因此非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)隨初始條件而變。由上例可見(jiàn)，143.自持振蕩問(wèn)題產(chǎn)生某一固定振幅和頻率的振蕩（一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)）。非線性系統(tǒng)出現(xiàn)的這種周期運(yùn)動(dòng)稱為自持振蕩或簡(jiǎn)稱為自振。4.對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)非線性系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)比較復(fù)雜，其穩(wěn)態(tài)輸出除了包含與輸入頻率相同的信號(hào)外，還可能有與輸入頻率成整數(shù)倍的高次諧波分量。3.自持振蕩問(wèn)題15非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)①數(shù)學(xué)模型線性微分方程（迭加原理）非線性微分方程（不能用迭加原理）②穩(wěn)定性與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)

與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件外部輸入有關(guān)③運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定或不穩(wěn)定穩(wěn)定、不穩(wěn)定、自持振蕩

④研究重點(diǎn)穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)及靜態(tài)性能穩(wěn)定性、自持振蕩⑤研究方法傳函、頻率法等相平面法、描述函數(shù)法、波波夫法，李亞普諾夫法等⑥典型環(huán)節(jié)比例慣性積分微分振蕩等飽和、死區(qū)、間隙、繼電器等非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)①數(shù)學(xué)模型16減后增，在X增加到時(shí)，有極大值極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到作曲線。１、非線性系統(tǒng)的基本概念這與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的方法不受階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。（4）利用交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上，其虛部為零，求交點(diǎn)的角頻率交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω例6-9非線性系統(tǒng)如圖所示，分析系統(tǒng)是否存在自振；描述函數(shù)法的一個(gè)很大的特點(diǎn)是：分析不受系統(tǒng)階數(shù)的限制。t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線如下圖所示。虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處出飽和非線性特性如圖a所示。利用非線性特性改造非線性振幅A減小；具有不靈敏區(qū)的飽和特性

非線性系統(tǒng)的分析方法目前，工程上廣泛應(yīng)用的分析和設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)的方法是描述函數(shù)法和相平面分析法。

描述函數(shù)法

是一種近似方法，相當(dāng)于線性理論中頻率法的推廣。方法不受階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。

減后增，在X增加到時(shí)，有極17相平面分析法適用于一、二階非線性系統(tǒng)的分析，方法的重點(diǎn)是將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩個(gè)一階微分方程。然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行判別。

相平面分析法186.2描述函數(shù)法

基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。

描述函數(shù)法的基本概念6.2描述函數(shù)法基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系19描述函數(shù)法主要用來(lái)分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問(wèn)題。這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，對(duì)系統(tǒng)的初步分析和設(shè)計(jì)十分方便，獲得了廣泛應(yīng)用。描述函數(shù)法是一種近似的分析方法，它的應(yīng)用有一定的限制條件。

描述函數(shù)法主要用來(lái)分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定20應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，要求元件和系統(tǒng)必須滿足以下條件：

(1)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化成只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是中心對(duì)稱的，即y(x)＝-y(-x)；(3)系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，要求元件和系統(tǒng)21描述函數(shù)的定義針對(duì)一任意非線性系統(tǒng)，設(shè)輸入x=Asinωt,輸出波形為y(t)，則可以將y(t)表示為富氏級(jí)數(shù)形式

描述函數(shù)的定義22

設(shè)非線性元件的輸出為奇對(duì)稱函數(shù)設(shè)非線性元件的輸出為奇對(duì)稱函數(shù)23諧波線性化的處理方法是：以輸出y(t)的基波分量近似地代替整個(gè)輸出。亦即略去輸出的高次諧波，將輸出表示為

諧波線性化的處理方法是：以輸出y(t)的基波分量近24這意味著一個(gè)非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。這與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的相似性，故稱上述近似處理為諧波線性化。

這意味著一個(gè)非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是25描述函數(shù)法的定義：輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

描述函數(shù)法的定義：輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的基波分量26虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。=N1Asint+N2Asint求此時(shí)的K值和自振參數(shù)(A,w)以及輸出振幅Ac。一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，求K=2時(shí)的自振參數(shù)。[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')振幅（A）？可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.非線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。2）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對(duì)描述函數(shù)：典型非線性特性的描述函數(shù)理想繼電器特性的描述函數(shù)將y(t)傅氏展開(kāi)得虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。典型非線性特性的描述函27斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=0斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=028理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性29y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)30滯環(huán)繼電器特性飽和特性滯環(huán)繼電器特性飽和特性31死區(qū)特性死區(qū)飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性32間隙、滯環(huán)特性間隙、滯環(huán)特性33一般非線性

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個(gè)例子:因?yàn)樗菃沃怠⑵鎸?duì)稱的，，先求出：

一般非線性描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一34所以

所以35和非線性特性求出輸出，然后由積分式求出，最后由求出。

概括起來(lái)，求描述函數(shù)的過(guò)程是：先根據(jù)已知的輸入和非線性特性求出輸出，然后由積分式求36(2)G3(s)=s時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)具體例子，介紹MATLAB在描述函數(shù)法分析中的應(yīng)用。具有不靈敏區(qū)的飽和特性１、非線性系統(tǒng)的基本概念解法II特征方程法（2）不穩(wěn)定極限環(huán)用小偏差線性化方法不能解決的非線性。(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是中心對(duì)稱的，即y(x)＝-y(-x)；（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對(duì)描述函數(shù)：然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變飽和非線性特性如圖a所示。例1分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)和非線性特性求出輸出，然后由積分式求出，最后由求出。若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。具有不靈敏區(qū)的飽和特性如圖c所示。極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。7，死區(qū)特性參數(shù)為△＝0.[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對(duì)于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。 組合非線性特性的描述 1．非線性特性的并聯(lián)計(jì)算設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實(shí)數(shù)。(2)G3(s)=s時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。37x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=

y11(t)+y12(t)=

N1Asint+N2Asint

=(N1+N2)Asint

N=(N1+N2)

總的描述函數(shù)若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和N2是復(fù)數(shù)時(shí)，該結(jié)論仍成立。 x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2y1(t38△0M△0kxy++xk0M△y例6-1

一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A)。△0M△0kxy+xk0M△y例6-1一39解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為2．非線性特性的串聯(lián)計(jì)算必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。x(t)N1y(t)N2z(t)解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特40120x

y例6-2

求圖所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=2120xy例6-2求圖所示兩41等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度1=1及2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線42兩個(gè)非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例兩個(gè)非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例43

非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法基本假設(shè)可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。

當(dāng)討論自振及穩(wěn)定性時(shí)，只研究由系統(tǒng)內(nèi)部造成的周期運(yùn)動(dòng)，不考慮外力作用，因此，認(rèn)為外作用為0。非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法基本假設(shè)當(dāng)討論自振及穩(wěn)定性時(shí)44非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。線性部分的低通濾波效應(yīng)較好，高次諧波可忽略。非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。45非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))若開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)

軌跡不包圍復(fù)平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)46其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)—不是自振點(diǎn)返回到b。時(shí)，相軌跡：從左右（隨x增加）(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。i>ma時(shí)，觸頭吸合；（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩在系統(tǒng)存在一個(gè)以上非線性元件，且彼此之間又沒(méi)有有效的低通濾波器隔開(kāi)的情況下，一般可以把非線性元件結(jié)合在一起，并用一個(gè)等效的描述函數(shù)來(lái)描述。當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處出z=-1/x+j*y;解將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為因此，曲線與在處兩次相交，兩次相交的X值分別為（3）半穩(wěn)定極限環(huán)7時(shí)，曲線的端點(diǎn)值為極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。symsz;clear節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；設(shè)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為設(shè)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定47③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交

閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)

穩(wěn)定？不穩(wěn)定？

振幅（A）？

頻率()？③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交48

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不能返回到a。

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-149當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)減小；不能返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到50當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)時(shí)，e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A減小；返回到b。

當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)51當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j52基準(zhǔn)負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)理想繼電器特性非線性特性的尺度系數(shù)基準(zhǔn)負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)理想繼電器特性非線性特性的尺度系數(shù)53死區(qū)繼電器特性死區(qū)繼電器特性54非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件55具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞

時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-1/k,-∞)具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡56一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。1非線性系統(tǒng)概述常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：利用非線性特性改造非線性d=conv(conv([10],[0.具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)譬如，測(cè)量元件的最大測(cè)量范圍與最小測(cè)量范能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。利用非線性特性改造非線性虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。死區(qū)＋繼電特性非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法分析=N1Asint+N2Asint與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度1=1及2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0具有死區(qū)特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-∞,-1/k)。一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。具有死區(qū)特性的57具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為G平面上一條曲線。A∞時(shí)具有間隙特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為A∞時(shí)58具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為整個(gè)負(fù)實(shí)軸具有理想繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡為整個(gè)負(fù)實(shí)軸59具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于橫軸的一組直線。具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)負(fù)倒描述函數(shù)為第三象限內(nèi)平行于60例6-3：判斷系統(tǒng)是否有自持振蕩，若有，則求其振幅和頻率。解：例6-3：判斷系統(tǒng)是否有自持振蕩，若有，則求其振幅和頻率。61非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件62非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件63非線性環(huán)節(jié)：例6-4：判斷系統(tǒng)是否有自持振蕩，若有，則求其振幅和頻率。非線性環(huán)節(jié)：例6-4：判斷系統(tǒng)是否有自持振蕩，若有，則求其64線性環(huán)節(jié)：線性環(huán)節(jié)：65非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件66非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件67自振頻率：自振振幅：自振頻率：自振振幅：68

補(bǔ)充:一、結(jié)構(gòu)圖的等效變換1由于在討論自振及穩(wěn)定性時(shí)，只研究由系統(tǒng)內(nèi)部產(chǎn)生的周期運(yùn)動(dòng)，并不考慮外作用，因此在將結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化時(shí)，可以認(rèn)為所有外作用均為零，只考慮系統(tǒng)的封閉回路。2與線性系統(tǒng)等效變換一樣，簡(jiǎn)化的原則是信號(hào)的等效變換。補(bǔ)充:69

70

71

72

73二、非線性特性的應(yīng)用非線性阻尼控制

非線性因素對(duì)線性系統(tǒng)的性能會(huì)帶來(lái)不利的影響，如有目的的引入非線性環(huán)節(jié)，可使系統(tǒng)性能大幅度提高，甚至達(dá)純到線性系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)的效果.二、非線性特性的應(yīng)用非線性阻尼控制非線性因素對(duì)線性系統(tǒng)的74非線性阻尼下的階躍響應(yīng)未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼非線性阻尼下的階躍響應(yīng)未引入微分反饋引入微分反饋非線性阻尼75K①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；②如果系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩，如何消除之？K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。三、改善非線性系統(tǒng)性能舉例K①試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性；K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l76不能返回到a。（5）在此應(yīng)用相對(duì)描述函數(shù)的概念。[100*2^(1/2)]系統(tǒng)穩(wěn)定；將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)，通過(guò)研究點(diǎn)移動(dòng)的軌跡獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，n=[000460];（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。第6章非線性系統(tǒng)分析這與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.=N1Asint+N2Asint穩(wěn)定？不穩(wěn)定？當(dāng)N1和N2是復(fù)數(shù)時(shí)，該結(jié)論仍成立。設(shè)非線性元件的輸出為奇對(duì)稱函數(shù)間隙特性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入量的變化方向改變時(shí)，輸出量保方法不受階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。掌握非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的求法及用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性方法；必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。A＝a=1A∞G(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)頻率值G(j)軌跡與負(fù)倒描述函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)：a——不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b——穩(wěn)定自振交點(diǎn)不能返回到a。A＝a=1A∞G(j)軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)頻77a——不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b——穩(wěn)定自振交點(diǎn)A1＝1.11A2＝2.3如要求穩(wěn)定a——不穩(wěn)定自振交點(diǎn)b——穩(wěn)定自振交點(diǎn)A1＝1.11A2＝2781）改變G(j)——調(diào)整KK1）改變G(j)——調(diào)整KK792）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M取a=1、M=22）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M取a80自振分析

(定量)自振必要條件：例1

分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。解作圖分析，系統(tǒng)一定自振。由自振條件：得：比較實(shí)/虛部：自振分析(定量)自振必要條件：例1分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=81分析：可以調(diào)節(jié)K,t實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動(dòng)。解代入比較模和相角得例6-5

系統(tǒng)如右，欲產(chǎn)生的周期信號(hào),試確定K、t的值。分析：可以調(diào)節(jié)K,t實(shí)現(xiàn)要求的自振運(yùn)動(dòng)。解代入比較模和相82例6-6

非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，

已知：自振時(shí),調(diào)整K使。求此時(shí)的K值和自振參數(shù)(A,w)以及輸出振幅Ac。(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。解(1)(2)依圖分析：

例6-6非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，解(1)(2)依圖分83例6-7非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，已知：時(shí)，系統(tǒng)是否自振？確定使系統(tǒng)自振的K值范圍；求K=2時(shí)的自振參數(shù)。(2)G3(s)=s時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為典型結(jié)構(gòu)解法II特征方程法解法I

等效變換法例6-7非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，解先將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖化為84例6-8非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，用描述函數(shù)法說(shuō)明系統(tǒng)是否自振，并確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的初值(A)范圍。解將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換，求等效G*(s)例6-8非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如右圖所示，用描述函數(shù)法說(shuō)明系統(tǒng)是85G*(jw)

從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)—

不是自振點(diǎn)分析可知：使系統(tǒng)穩(wěn)定的初始擾動(dòng)范圍為令G*(jw)從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)—不是自振點(diǎn)分析可86解將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為例6-9非線性系統(tǒng)如圖所示，分析系統(tǒng)是否存在自振；若存在自振，確定輸出端信號(hào)c(t)的振幅和頻率。依自振條件比較虛實(shí)部解將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為例6-9非線性系統(tǒng)如87分析可知：系統(tǒng)存在自振分析可知：系統(tǒng)存在自振88利用線性部分改造非線性例2用局部反饋消弱非線性特性的影響例1改變線性部分的參數(shù)利用非線性特性改造非線性例4間隙特性的改造例3飽和+死區(qū)

非線性特性的利用例5為特定目的引入非線性環(huán)節(jié)例6在測(cè)速反饋中引入死區(qū)演示

演示

演示利用線性部分改造非線性例2用局部反饋消弱非線性特性的影響例89小結(jié)１、非線性系統(tǒng)的基本概念２、典型非線性３、描述函數(shù)的概念和典型非線性的描述函數(shù)４、描述函數(shù)分析方法描述函數(shù)法的核心是計(jì)算非線性特性的描述函數(shù)和它的負(fù)倒特性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。５、非線性的應(yīng)用和非線性校正。小結(jié)１、非線性系統(tǒng)的基本概念90相平面法適用于一、二階非線性系統(tǒng)的分析，是時(shí)域分析法在非線性系統(tǒng)中的推廣。方法的重點(diǎn)將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩個(gè)一階微分方程。然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行判別。6.3

相平面法相平面法6.3相平面法91相平面法所得結(jié)果比較精確和全面。但是對(duì)于高于二階的系統(tǒng)，需要討論變量空間中的曲面結(jié)構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。

相平面法所得結(jié)果比較精確和全面。但是對(duì)于高92相平面法的實(shí)質(zhì)：將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)，通過(guò)研究點(diǎn)移動(dòng)的軌跡獲得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息。即對(duì)一瞬間，系統(tǒng)處于一定狀態(tài)時(shí)，可用幾個(gè)變量來(lái)表示，如二階系統(tǒng)，可用兩個(gè)變量來(lái)描述相應(yīng)的狀態(tài)，在平面上可定出一個(gè)點(diǎn)，隨時(shí)間變化，就形成一軌線，稱相軌跡，這個(gè)平面稱為相平面。相平面法的實(shí)質(zhì)：將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程形象化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng)93相軌跡的繪制：二階系統(tǒng)：1.解析法2.等傾線法相軌跡的繪制：二階系統(tǒng)：1.解析法2.等傾線法94等傾線法：等傾線即為相軌跡上切線的斜率切線方向場(chǎng)等傾線法：等傾線即為相軌跡上切線的斜率切線方向場(chǎng)95解例3系統(tǒng)方程，用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相軌跡圖。等傾斜線方程解例3系統(tǒng)方程，用等傾斜線法繪制96非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件97根與相軌跡j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)j0j0j0根與相軌跡j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍98相軌跡的特征：2.通過(guò)x軸時(shí)，相軌跡與x軸垂直

時(shí)，相軌跡：從左

右（隨x增加）時(shí)，相軌跡：從右

左（隨x減小）1.相軌跡的特征：2.通過(guò)x軸時(shí)，相軌跡與x軸垂直時(shí)，相軌跡994.奇點(diǎn)只可能出現(xiàn)在x軸上，對(duì)線性系統(tǒng)而言，奇點(diǎn)就是原點(diǎn)（平衡點(diǎn)）

3.4.奇點(diǎn)只可能出現(xiàn)在x軸上，對(duì)線性系統(tǒng)而言，奇點(diǎn)就是原點(diǎn)（平100奇點(diǎn)和奇線

實(shí)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域內(nèi)。

虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。奇點(diǎn)：相軌跡的斜率不能由該點(diǎn)的坐標(biāo)值單值地確定的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。

奇點(diǎn)和奇線實(shí)奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域內(nèi)。奇點(diǎn)：相101極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。極限環(huán)內(nèi)部（或外部）的相軌跡，總是不可能穿過(guò)極限環(huán)而進(jìn)入它的外部（或內(nèi)部）。

極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近102（1）穩(wěn)定極限環(huán)（1）穩(wěn)定極限環(huán)103（2）不穩(wěn)定極限環(huán)

在極限環(huán)附近的相軌跡是從極限環(huán)發(fā)散出去。在這種情況下，如果相軌跡起始于極限環(huán)內(nèi)，則該相軌跡收斂于極限環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，如果相軌跡起始于極限環(huán)外，則該相軌跡發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)。（2）不穩(wěn)定極限環(huán)104（3）半穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)105非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件106非線性系統(tǒng)相平面分析隨動(dòng)系統(tǒng)分段線性化非線性系統(tǒng)相平面分析隨動(dòng)系統(tǒng)分段線性化107非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件108①①109②②110非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件1118.4

用MATLAB進(jìn)行非線性控制系統(tǒng)分析通過(guò)具體例子，介紹MATLAB在描述函數(shù)法分析中的應(yīng)用。在計(jì)算機(jī)輔助分析中用到了相對(duì)描述函數(shù)的概念。非線性系統(tǒng)自振時(shí)

8.4用MATLAB進(jìn)行非線性控制系統(tǒng)分析通過(guò)具體例子，112死區(qū)＋繼電特性的非線性控制系統(tǒng)例：已知死區(qū)＋繼電特性的非線性控制系統(tǒng)如圖所示，其中繼電特性參數(shù)為M＝1.7，死區(qū)特性參數(shù)為△＝0.7，應(yīng)用描述函數(shù)法作系統(tǒng)分析系統(tǒng)是否存在自振？若有自振須求出自振的振幅x與角頻率ω。死區(qū)＋繼電特性的非線性控制系統(tǒng)例：已知死區(qū)＋繼電特性的非線性113解：1.方法一（1）帶死區(qū)的繼電型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為

其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為

解：1.方法一114當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處出發(fā)沿負(fù)實(shí)軸增加，相角始終為－π，所以曲線位于平面的負(fù)實(shí)軸上，幅值大小隨著X的增加先減后增，在X增加到時(shí)，有極大值當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處115作曲線。（2）在圖上作曲線，當(dāng)ω＝140時(shí)，曲線穿過(guò)實(shí)軸。（3）當(dāng)M＝1.7，△＝0.7時(shí)，曲線的端點(diǎn)值為因此，曲線與在處兩次相交，兩次相交的X值分別為作曲線。（2）在圖上作116死區(qū)＋繼電特性非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法分析死區(qū)＋繼電特性非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)法分析117擾動(dòng)作用使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)脫離A點(diǎn)。而在B點(diǎn)鄰域兩邊的運(yùn)動(dòng)，基于奈氏穩(wěn)定性判據(jù)而形成自持振蕩。振蕩頻率與振蕩幅值如圖可知分別為對(duì)于A點(diǎn)鄰域，被曲線包圍的段上，是增幅的，不被曲線包圍的段上，是減幅的。因此在A點(diǎn)鄰，擾動(dòng)作用使得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)脫離A點(diǎn)。而在B點(diǎn)鄰域兩邊的運(yùn)動(dòng)，基于118

2.方法二：MATLAB軟件輔助分析（1）線性部分的頻率特性為：

（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對(duì)描述函數(shù)：2.方法二：MATLAB軟件輔助分析119（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程序OK1.m，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線。

（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程120%MATLAB

PROGRAM

OK1.mclearsymstxyzcmx;m=1.7;c=0.7;forx=0.71:0.1:7x=c*4/(pi*x)*sqrt(1-(c/x)^2);y=0;z=-1/x+j*y;plot(-1/x,y,'k*')holdon

%MATLABPROGRAMOK1.m121endn=[000460];d=conv(conv([10],[0.011]),[0.0051]);g=1.7/0.7*tf(n,d);forw=50:1:400nyquist(g,[w,w+1])holdonend

end122運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線如下圖所示。

相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與Nyquist曲線運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函123

由于死區(qū)+繼電特性的描述函數(shù)是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)也是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其虛部為零，曲線在負(fù)實(shí)軸上，與系統(tǒng)線性部分Nyquist曲線的交點(diǎn)也在橫坐標(biāo)上。由于死區(qū)+繼電特性的描述函數(shù)是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其相對(duì)負(fù)124分母有理化后，運(yùn)行以下程序，由上式分子虛部為零求

symswn;n=simple(j*(1-0.01*j*w)*(1-0.005*j*w))（4）利用交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上，其虛部為零，求交點(diǎn)的角頻率與交點(diǎn)的交點(diǎn)的角頻率分母有理化后，運(yùn)行以下程序，由上式分子虛部為零求（4）利用125運(yùn)行結(jié)果為

n=i+3/200*w-1/20000*i*w^2交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω

[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')運(yùn)行結(jié)果為

w=[100*2^(1/2)][-100*2^(1/2)]即交點(diǎn)的角頻率ω＝141.4rad/s。運(yùn)行結(jié)果為126運(yùn)行以下程序，將ω＝141.4rad/s代入線性部分的頻率特

symsw;w=141.4;g=2.43*460/(j*w*(0.01*j*w+1)*(0.005*j*w+1));A=abs(g)程序運(yùn)行結(jié)果：

A=3.7271即交點(diǎn)的

性計(jì)算交點(diǎn)的運(yùn)行以下程序，將ω＝141.4rad/s代入線性部分的頻率特127（5）在此應(yīng)用相對(duì)描述函數(shù)的概念。非線性系統(tǒng)自振時(shí)有

symsz;[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.7271');c=0.7;[x]=sqrt(z)*c;x=vpa(x,3)運(yùn)行以下程序，由，求自振的振幅X。（5）在此應(yīng)用相對(duì)描述函數(shù)的概念。非線性系統(tǒng)自振時(shí)有運(yùn)行128程序運(yùn)行結(jié)果：x=[.717][3.24]

(6)所得結(jié)果與方法一非常近似。程序運(yùn)行結(jié)果：x=[.717]129本章小結(jié)

本章介紹了經(jīng)典控制理論中研究非線性控制系統(tǒng)的兩種常用方法：描述函數(shù)法和相平面分析法。描述函數(shù)法主要用于分析非線性系統(tǒng)的自持振蕩。利用本方法時(shí)，首先應(yīng)檢查系統(tǒng)是否滿足應(yīng)用描述函數(shù)法的限制條件，參閱。

本章小結(jié)本章介紹了經(jīng)典控制理論中研究非線性控制系統(tǒng)的兩種常130

描述函數(shù)法的一個(gè)很大的特點(diǎn)是：分析不受系統(tǒng)階數(shù)的限制。在系統(tǒng)存在一個(gè)以上非線性元件，且彼此之間又沒(méi)有有效的低通濾波器隔開(kāi)的情況下，一般可以把非線性元件結(jié)合在一起，并用一個(gè)等效的描述函數(shù)來(lái)描述。

131相平面分析法是研究一、二階非線性系統(tǒng)的一種圖解方法。相平面圖清楚地表示了系統(tǒng)在不同初始條件下的自由運(yùn)動(dòng)。本章基本要求：了解非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)；掌握非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)的求法及用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性方法；熟悉相軌跡的概念和性質(zhì)，掌握相軌跡的繪制方法。

相平面分析法是研究一、二階非線性系統(tǒng)的一種圖解方法。相平面圖132典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：

1.飽和非線性

2.死區(qū)特性

3.具有不靈敏區(qū)的飽和特性

4.繼電特性

5.間隙特性

典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：133具有不靈敏區(qū)的飽和特性在很多情況下，系統(tǒng)的元件同時(shí)存在死區(qū)特性和飽和限幅特性。譬如，測(cè)量元件的最大測(cè)量范圍與最小測(cè)量范圍都是有限的。具有不靈敏區(qū)的飽和特性如圖c所示。具有不靈敏區(qū)的飽和特性134繼電特性由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性，如圖所示。0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；i>ma時(shí)，觸頭吸合；i<ma時(shí)，觸頭釋放。繼電特性0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；135

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不能返回到a。

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1136分析可知：系統(tǒng)存在自振分析可知：系統(tǒng)存在自振137（3）半穩(wěn)定極限環(huán)

如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)138運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線如下圖所示。

相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與Nyquist曲線運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函139

由于死區(qū)+繼電特性的描述函數(shù)是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)也是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其虛部為零，曲線在負(fù)實(shí)軸上，與系統(tǒng)線性部分Nyquist曲線的交點(diǎn)也在橫坐標(biāo)上。由于死區(qū)+繼電特性的描述函數(shù)是自振振幅X的實(shí)函數(shù)，其相對(duì)負(fù)1406.1

非線性系統(tǒng)概述

6.2

描述函數(shù)法

6.3

非線性系統(tǒng)分析與應(yīng)用

6.4

MATLAB應(yīng)用實(shí)例

第6章非線性系統(tǒng)分析6.1非線性系統(tǒng)概述6.2描述函數(shù)法6.3非1416.1

非線性系統(tǒng)概述自動(dòng)控制系統(tǒng)中所包含的非線性特性可以分為兩類。非本質(zhì)非線性

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性

用小偏差線性化方法不能解決的非線性。6.1非線性系統(tǒng)概述自動(dòng)控制系統(tǒng)中所包含的非線性特性可以分142典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：

1.飽和非線性

2.死區(qū)特性

3.具有不靈敏區(qū)的飽和特性

4.繼電特性

5.間隙特性

典型非線性特性常見(jiàn)的典型非線性特征有以下幾種：143飽和非線性實(shí)際的放大器只能在一定的輸入范圍內(nèi)保持輸出量和輸入量之間的線性關(guān)系。當(dāng)輸入量超出該范圍時(shí)，其輸出量則保持為一個(gè)常值。飽和非線性特性如圖a所示。飽和非線性144死區(qū)特性一般的測(cè)量元件、執(zhí)行機(jī)構(gòu)都具有不靈敏區(qū)特性。只有在輸入信號(hào)大到一定程度以后才會(huì)有輸出。一般的機(jī)械系統(tǒng)、電機(jī)等,都不同程度地存在死區(qū)。這種只有當(dāng)輸入量超過(guò)一定值后才有輸出的特性稱為死區(qū)特性，如圖b所示。死區(qū)特性145具有不靈敏區(qū)的飽和特性在很多情況下，系統(tǒng)的元件同時(shí)存在死區(qū)特性和飽和限幅特性。譬如，測(cè)量元件的最大測(cè)量范圍與最小測(cè)量范圍都是有限的。具有不靈敏區(qū)的飽和特性如圖c所示。具有不靈敏區(qū)的飽和特性146（磁敏傳感器）霍爾元件霍爾元件+UH（磁敏傳感器）霍爾元件霍爾元件+UH147繼電特性由于繼電器吸合電壓與釋放電壓不等,使其特性中包含了死區(qū)、回環(huán)及飽和特性，如圖所示。0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；i>ma時(shí)，觸頭吸合；i<ma時(shí)，觸頭釋放。繼電特性0<i<a時(shí)，觸頭不動(dòng)；148間隙特性間隙特性的特點(diǎn)是：當(dāng)輸入量的變化方向改變時(shí)，輸出量保持不變，一直到輸入量的變化超出一定數(shù)值（間隙）后，輸出量才跟著變化。間隙特性如圖e所示。間隙特性149間隙特性:間隙又稱回環(huán)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見(jiàn)的回環(huán)非線性特性，如圖所示。間隙特性:間隙又稱回環(huán)。傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙是一種常見(jiàn)的回環(huán)非線150在齒輪傳動(dòng)中,由于間隙存在,當(dāng)主動(dòng)齒輪方向改變時(shí),從動(dòng)輪保持原位不動(dòng),直到間隙消除后才改變轉(zhuǎn)動(dòng)方向。鐵磁元件中的磁滯現(xiàn)象也是一種回環(huán)特性。間隙特性對(duì)系統(tǒng)影響較為復(fù)雜,一般來(lái)說(shuō),它將使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差增大，頻率響應(yīng)的相位遲后也增大,從而使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能惡化。采用雙片彈性齒輪(無(wú)隙齒輪)可消除間隙對(duì)系統(tǒng)的不利影響。在齒輪傳動(dòng)中,由于間隙存在,當(dāng)主動(dòng)齒輪方151

非線性系統(tǒng)的基本特征數(shù)學(xué)模型：非線性微分方程

主要特點(diǎn)：1.穩(wěn)定性問(wèn)題穩(wěn)定性除了同系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式和參數(shù)有關(guān)外，還與外作用及初始條件有關(guān)。2.時(shí)間響應(yīng)非線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。非線性系統(tǒng)的基本特征數(shù)學(xué)模型：非線性微分方程152設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x0

10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01設(shè)t=0，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為x010x(t)tx0>1x153相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)隨初始條件而變。當(dāng)x0>1，t<lnx0/(x01)時(shí)，隨t增大，x(t)遞增；t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。當(dāng)x0<1時(shí)，x(t)遞減并趨于0。由上例可見(jiàn)，初始條件不同，自由運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性亦不同。因此非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始條件有直接的關(guān)系。10x(t)tx0>1x0<1ln

x0x01相應(yīng)的時(shí)間響應(yīng)隨初始條件而變。由上例可見(jiàn)，1543.自持振蕩問(wèn)題產(chǎn)生某一固定振幅和頻率的振蕩（一種穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)）。非線性系統(tǒng)出現(xiàn)的這種周期運(yùn)動(dòng)稱為自持振蕩或簡(jiǎn)稱為自振。4.對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)非線性系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)比較復(fù)雜，其穩(wěn)態(tài)輸出除了包含與輸入頻率相同的信號(hào)外，還可能有與輸入頻率成整數(shù)倍的高次諧波分量。3.自持振蕩問(wèn)題155非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)①數(shù)學(xué)模型線性微分方程（迭加原理）非線性微分方程（不能用迭加原理）②穩(wěn)定性與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)

與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)、初始條件外部輸入有關(guān)③運(yùn)動(dòng)狀態(tài)穩(wěn)定或不穩(wěn)定穩(wěn)定、不穩(wěn)定、自持振蕩

④研究重點(diǎn)穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)及靜態(tài)性能穩(wěn)定性、自持振蕩⑤研究方法傳函、頻率法等相平面法、描述函數(shù)法、波波夫法，李亞普諾夫法等⑥典型環(huán)節(jié)比例慣性積分微分振蕩等飽和、死區(qū)、間隙、繼電器等非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的比較線性系統(tǒng)非線性系統(tǒng)①數(shù)學(xué)模型156減后增，在X增加到時(shí)，有極大值極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到作曲線。１、非線性系統(tǒng)的基本概念這與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的方法不受階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。K＝20，死區(qū)繼電器特性M＝3，a＝l。（4）利用交點(diǎn)在橫坐標(biāo)上，其虛部為零，求交點(diǎn)的角頻率交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω例6-9非線性系統(tǒng)如圖所示，分析系統(tǒng)是否存在自振；描述函數(shù)法的一個(gè)很大的特點(diǎn)是：分析不受系統(tǒng)階數(shù)的限制。t=lnx0/(x01)時(shí)，x(t)為無(wú)窮大。運(yùn)行該程序，在同一復(fù)平面上繪制非線性特性的相對(duì)負(fù)倒描述函數(shù)與線性部分的Nyquist曲線如下圖所示。虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處出飽和非線性特性如圖a所示。利用非線性特性改造非線性振幅A減小；具有不靈敏區(qū)的飽和特性

非線性系統(tǒng)的分析方法目前，工程上廣泛應(yīng)用的分析和設(shè)計(jì)非線性控制系統(tǒng)的方法是描述函數(shù)法和相平面分析法。

描述函數(shù)法

是一種近似方法，相當(dāng)于線性理論中頻率法的推廣。方法不受階次的限制，且所得結(jié)果也比較符合實(shí)際，故得到了廣泛應(yīng)用。

減后增，在X增加到時(shí)，有極157相平面分析法適用于一、二階非線性系統(tǒng)的分析，方法的重點(diǎn)是將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩個(gè)一階微分方程。然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行判別。

相平面分析法1586.2描述函數(shù)法

基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系統(tǒng)中非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出可用一次諧波分量來(lái)近似，由此導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。

描述函數(shù)法的基本概念6.2描述函數(shù)法基本思想：當(dāng)系統(tǒng)滿足一定的假設(shè)條件時(shí)，系159描述函數(shù)法主要用來(lái)分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振蕩問(wèn)題。這種方法不受系統(tǒng)階次的限制，對(duì)系統(tǒng)的初步分析和設(shè)計(jì)十分方便，獲得了廣泛應(yīng)用。描述函數(shù)法是一種近似的分析方法，它的應(yīng)用有一定的限制條件。

描述函數(shù)法主要用來(lái)分析在無(wú)外作用的情況下，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定160應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，要求元件和系統(tǒng)必須滿足以下條件：

(1)非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可以簡(jiǎn)化成只有一個(gè)非線性環(huán)節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是中心對(duì)稱的，即y(x)＝-y(-x)；(3)系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。應(yīng)用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)時(shí)，要求元件和系統(tǒng)161描述函數(shù)的定義針對(duì)一任意非線性系統(tǒng)，設(shè)輸入x=Asinωt,輸出波形為y(t)，則可以將y(t)表示為富氏級(jí)數(shù)形式

描述函數(shù)的定義162

設(shè)非線性元件的輸出為奇對(duì)稱函數(shù)設(shè)非線性元件的輸出為奇對(duì)稱函數(shù)163諧波線性化的處理方法是：以輸出y(t)的基波分量近似地代替整個(gè)輸出。亦即略去輸出的高次諧波，將輸出表示為

諧波線性化的處理方法是：以輸出y(t)的基波分量近164這意味著一個(gè)非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。這與線性元件在正弦信號(hào)作用下的輸出具有形式上的相似性，故稱上述近似處理為諧波線性化。

這意味著一個(gè)非線性元件在正弦輸入下，其輸出也是165描述函數(shù)法的定義：輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的基波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

描述函數(shù)法的定義：輸入為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的基波分量166虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。=N1Asint+N2Asint求此時(shí)的K值和自振參數(shù)(A,w)以及輸出振幅Ac。一個(gè)同頻率的正弦量，只是振幅和相位發(fā)生了變化。如果起始于極限環(huán)外部的相軌跡，從極限環(huán)發(fā)散出去，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡，收斂于極限環(huán);或者相反，起始于極限環(huán)外部各點(diǎn)的相軌跡收斂于極限環(huán)，而起始于極限環(huán)內(nèi)部各點(diǎn)的相軌跡收斂于圓點(diǎn)。交點(diǎn)虛部為零，運(yùn)行以下程序求交點(diǎn)的角頻率ω當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，求K=2時(shí)的自振參數(shù)。[w]=solve('1-1/20000*w^2=0')振幅（A）？可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.非線性系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)與輸入信號(hào)的大小和初始條件有關(guān)。2）改變N(A):調(diào)整死區(qū)繼電器特性的死區(qū)a或輸出幅值M此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。具有滯環(huán)繼電器特性的非線性系統(tǒng)當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對(duì)描述函數(shù)：典型非線性特性的描述函數(shù)理想繼電器特性的描述函數(shù)將y(t)傅氏展開(kāi)得虛奇點(diǎn)：奇點(diǎn)位于對(duì)應(yīng)的線性工作區(qū)域外。典型非線性特性的描述函167斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=0斜對(duì)稱、奇函數(shù)A0=An=0168理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性理想繼電器特性死區(qū)繼電器特性169y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)170滯環(huán)繼電器特性飽和特性滯環(huán)繼電器特性飽和特性171死區(qū)特性死區(qū)飽和特性死區(qū)特性死區(qū)飽和特性172間隙、滯環(huán)特性間隙、滯環(huán)特性173一般非線性

描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一般非線性系統(tǒng)，只要能求出非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)。我們舉一個(gè)例子:因?yàn)樗菃沃怠⑵鎸?duì)稱的，，先求出：

一般非線性描述函數(shù)不僅適合于分段線性系統(tǒng)，也適合于一174所以

所以175和非線性特性求出輸出，然后由積分式求出，最后由求出。

概括起來(lái)，求描述函數(shù)的過(guò)程是：先根據(jù)已知的輸入和非線性特性求出輸出，然后由積分式求176(2)G3(s)=s時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過(guò)具體例子，介紹MATLAB在描述函數(shù)法分析中的應(yīng)用。具有不靈敏區(qū)的飽和特性１、非線性系統(tǒng)的基本概念解法II特征方程法（2）不穩(wěn)定極限環(huán)用小偏差線性化方法不能解決的非線性。(2)非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性是中心對(duì)稱的，即y(x)＝-y(-x)；（2）死區(qū)繼電特性的描述函數(shù)及相對(duì)描述函數(shù)：然后依據(jù)這一對(duì)方程，設(shè)法求出其在上述兩變飽和非線性特性如圖a所示。例1分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性(M=1)，求自振參數(shù)。節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；其在上述兩變量構(gòu)成的相平面中的軌線，并由此對(duì)系統(tǒng)和非線性特性求出輸出，然后由積分式求出，最后由求出。若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。具有不靈敏區(qū)的飽和特性如圖c所示。極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。7，死區(qū)特性參數(shù)為△＝0.[z]=solve('-pi/4*z/sqrt(z-1)=-3.以上介紹了描述函數(shù)的基本求法，對(duì)于復(fù)雜的非線性特性，完全可以利用這種力法求出其描述函數(shù)，但計(jì)算也復(fù)雜得多。此時(shí)也可以將復(fù)雜的非線件特性分解為若干個(gè)簡(jiǎn)單非線性特性的組合，即串并聯(lián)，再由已知的這些簡(jiǎn)單非線性特性的描述函數(shù)求出復(fù)雜非線件特件的描述函數(shù)。 組合非線性特性的描述 1．非線性特性的并聯(lián)計(jì)算設(shè)有兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)，且其非線性特性都是單值函數(shù)，即它們的描述函數(shù)都是實(shí)數(shù)。(2)G3(s)=s時(shí)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。177x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2

y1(t)=

y11(t)+y12(t)=

N1Asint+N2Asint

=(N1+N2)Asint

N=(N1+N2)

總的描述函數(shù)若干個(gè)非線性環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總的描述函數(shù)，等于各非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)之和。當(dāng)N1和N2是復(fù)數(shù)時(shí)，該結(jié)論仍成立。 x(t)y1(t)y11(t)N1y12(t)N2y1(t178△0M△0kxy++xk0M△y例6-1

一個(gè)具有死區(qū)的非線性環(huán)節(jié)，求描述函數(shù)N(A)。△0M△0kxy+xk0M△y例6-1一179解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特性和一個(gè)典型死區(qū)特性的并聯(lián)，描述函數(shù)為2．非線性特性的串聯(lián)計(jì)算必須首先求出這兩個(gè)非線性環(huán)節(jié)串聯(lián)后等效的非線性特性，然后根據(jù)等效的非線性特性求出總的描述函數(shù)。x(t)N1y(t)N2z(t)解：該死區(qū)非線性特性可分解為一個(gè)死區(qū)繼電器特180120x

y例6-2

求圖所示兩個(gè)非線性特性串聯(lián)后總的描述函數(shù)N(A)。k1=1120xz120

z

yk2=2k=2120xy例6-2求圖所示兩181等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線性區(qū)斜率k=2和不同死區(qū)寬度1=1及2=2的死區(qū)特性的并聯(lián)相減。等效為一個(gè)死區(qū)加飽和的非線性特性，分解為兩個(gè)具有完全相同的線182兩個(gè)非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例兩個(gè)非線環(huán)節(jié)并聯(lián)使非線性特性發(fā)生改變示例183

非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法基本假設(shè)可歸化為下圖所示的典型結(jié)構(gòu)。

當(dāng)討論自振及穩(wěn)定性時(shí)，只研究由系統(tǒng)內(nèi)部造成的周期運(yùn)動(dòng)，不考慮外力作用，因此，認(rèn)為外作用為0。非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法基本假設(shè)當(dāng)討論自振及穩(wěn)定性時(shí)184非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。線性部分的低通濾波效應(yīng)較好，高次諧波可忽略。非線性部分輸出中的高次諧波振幅小于基波振幅。185非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))若開(kāi)環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是G(j)

軌跡不包圍復(fù)平面的(-1,j0)。負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)倒特性)線性系統(tǒng)(-1,j0)?非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性(乃奎斯特判據(jù))負(fù)倒描述函數(shù)（描述函數(shù)負(fù)186其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為從穩(wěn)定區(qū)穿到不穩(wěn)定區(qū)的點(diǎn)—不是自振點(diǎn)返回到b。時(shí)，相軌跡：從左右（隨x增加）(2)定性分析K增大后自振參數(shù)(A,w)的變化規(guī)律。構(gòu)，從而大大增加了工程使用的困難。i>ma時(shí)，觸頭吸合；（3）在程序文件方式下執(zhí)行以下MATLAB程將二階非線性微分方程變寫為以輸出量及輸出量導(dǎo)數(shù)為變量的兩在系統(tǒng)存在一個(gè)以上非線性元件，且彼此之間又沒(méi)有有效的低通濾波器隔開(kāi)的情況下，一般可以把非線性元件結(jié)合在一起，并用一個(gè)等效的描述函數(shù)來(lái)描述。當(dāng)X為變量，由△開(kāi)始增加時(shí)，曲線從負(fù)無(wú)窮處出z=-1/x+j*y;解將兩非線性環(huán)節(jié)等效合并，結(jié)構(gòu)圖化為因此，曲線與在處兩次相交，兩次相交的X值分別為（3）半穩(wěn)定極限環(huán)7時(shí)，曲線的端點(diǎn)值為極限環(huán)：極限環(huán)是相平面圖上一個(gè)孤立的封閉軌跡，所有極限環(huán)附近的相軌跡都將卷向極限環(huán)，或從極限環(huán)卷出。symsz;clear節(jié)和一個(gè)線性部分相串聯(lián)的典型形式；設(shè)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定其負(fù)倒數(shù)函數(shù)為設(shè)：系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的線性部分G(j)穩(wěn)定187③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交

閉環(huán)系統(tǒng)出現(xiàn)自持振蕩(極限環(huán)振蕩)

穩(wěn)定？不穩(wěn)定？

振幅（A）？

頻率()？③G(j)與負(fù)倒描述函數(shù)相交188

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)增大；不能返回到a。

微小擾動(dòng)分析法當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到c點(diǎn)時(shí)，c點(diǎn)“(-1189當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到d點(diǎn)，d點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A繼續(xù)減小；不能返回到a。a點(diǎn)為不穩(wěn)定自振交點(diǎn)。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到190當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)時(shí)，e點(diǎn)“(-1,j0)”未被G(j)軌跡包圍，系統(tǒng)穩(wěn)定；振幅A減小；返回到b。

當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A增大到e點(diǎn)191當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j)軌跡包圍，

系統(tǒng)不穩(wěn)定； 振幅A增大； 返回到b。b點(diǎn)為穩(wěn)定自振交點(diǎn)。當(dāng)微小擾動(dòng)使振幅A減小到f點(diǎn)，f點(diǎn)“(-1,j0)”被G(j192基準(zhǔn)負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)理想繼電器特性非線性特性的尺度系數(shù)基準(zhǔn)負(fù)倒數(shù)描述函數(shù)理想繼電器特性非線性特性的尺度系數(shù)193死區(qū)繼電器特性死區(qū)繼電器特性194非線性控制系統(tǒng)分析實(shí)用版課件195具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A∞

時(shí)負(fù)倒描述函數(shù)軌跡=實(shí)軸上（-1/k,-∞)具有飽和特性的非線性系統(tǒng)A＝a時(shí)A