概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試一試卷習(xí)題與含答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試一試卷習(xí)題與含答案概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)考試一試卷習(xí)題與含答案05——06一.填空題（每空題2分，共計(jì)60分）1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知p(A)0.4,P(B)0.5,p(AB)0.3，則p(AB)0.6,p(A-B)0.1，P(AB),p(AB)。2、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球6只、黑球4只。（1）從中不放回地任取2只，則第一次、第二次取紅色球的概率為：1/3。（2）若有放回地任取2只，則第一次、第二次取紅色球的概率為：9/25。（3）若第一次取一只球觀查球顏色后，追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中后，再取第二只，則第一次、第二次取紅色球的概率為：21/55。3、設(shè)隨機(jī)變量X遵從B（2，）的二項(xiàng)分布，則pX10.75,Y遵從二項(xiàng)分布B(98,0.5),X與Y相互獨(dú)立,則X+Y遵從B(100,0.5)，E(X+Y)=50，方差D(X+Y)=25。4、甲、乙兩個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，設(shè)甲廠、乙廠的次品率分別為、．現(xiàn)從由甲廠、乙廠的產(chǎn)品分別占60%、40%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件。（1）抽到次品的概率為：。（2）若發(fā)現(xiàn)該件是次品，則該次品為甲廠生產(chǎn)的概率為：．5、設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布律如右，則a0.1,X01YE(X)，X與Y的協(xié)方差為，-1ZXY2的分布律為:z121a概率6、若隨機(jī)變量X~N(2,4)且(1)0.8413，(2)0.9772,則P{2X4}，Y2X1,則Y~N(5，16）。7、隨機(jī)變量X、Y的數(shù)學(xué)希望E(X)=-1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互獨(dú)立，則：E(2XY)-4，D(2XY)6。8、設(shè)D（X）25，D（Y）1，Cov(X,Y)2，則D（XY）309、設(shè)X1,,X26是整體N(8,16)的容量為26的樣本，X為樣本均值，S2為樣本方差。則：X~N（8，8/13），25S2~2(25)，X8~t(25)。16s/2510、假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，易犯兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是：”棄真”,即H0為真時(shí)拒絕H0,第二類錯(cuò)誤是：“取偽”錯(cuò)誤。一般情況下，要減少一類錯(cuò)誤的概率，必然增大另一類錯(cuò)誤的概率。若是只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，使之<a，而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率，這種檢驗(yàn)稱為：顯然性檢驗(yàn)。ax2,0x1二、（6分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x),其他0求：（1）常數(shù)a，（2）p(0.5X1.5)（3）X的分布函數(shù)F（x）。解:(1)由f(x)dx1,得a3’2(2)(3)

X15)=1..5122’f(x)dx3x0.50.50x0F(x)x3,0x12’1,1x2y,0x1,0y1三、（6分）設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：f(x,y),其他0求：（1）X，Y的邊緣密度，（2）談?wù)揦與Y的獨(dú)立性。解:(1)X，Y的邊緣密度分別為:110x1fX(x)2ydy00其他14’f(x，y)dx2ydx，0y1fY(y)00其他(2)由(1)可見f（x，y）XY,可知:X，Y相互獨(dú)立2’f（x）f（y）四、（8分）設(shè)整體X~N(0，2),。X1,...,Xn是一個(gè)樣本，求2的矩估計(jì)量，并證明它為2的無偏估計(jì)。解:X的二階矩為:E(X2)21‘X的二階樣本矩為A21nXi21’nk1令：E(X2)A2,1’解得:21n

nXi2,k12的矩估計(jì)量21nXi22’nk121n2),它為2的無偏估計(jì)量.3’E(?)E(Xink1五、（10分）從整體X~N(u,2)中抽取容量為16的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是X75,S24，t(15)2.1315,x02.025(15)6.26,x02.975求u的置信度為0.95的置信區(qū)間和2的置信度為0.95的置信區(qū)間。解:(1)n=16,置信水平10.95,/20.025,t0.975(15)2.1315,X75,S24由此u的置信水平為的置信區(qū)間為:(7522.1315),即(751.0658)5’16(2)n=16,置信水平10.95,/20.025,x02.025(15)6.26,x02.975S24由此2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:(1524,1524)(2.182,9.585)5’(15)0.025(15)六、（10分）設(shè)某工廠生產(chǎn)工件的直徑遵從正態(tài)分布，要求它們的均值u8,20.25，現(xiàn)檢驗(yàn)了一組由16只工件，計(jì)算得樣本均值、樣本方差分別x7.65,s20.49，試在顯然水平0.05下，對(duì)該廠生產(chǎn)的工件的均值和方差進(jìn)行檢驗(yàn)，看它們可否吻合標(biāo)準(zhǔn)。此題中，t(15)1.76,t(15)2.13,2(15)25,0.0252(15)27.5,解:（1）第一對(duì)工件的均值進(jìn)行檢驗(yàn):H0:u8,H1:u81分取統(tǒng)計(jì)量為tX8,可得拒絕域?yàn)?{tX8t0.025(15)2.13}，2分s/16s/16經(jīng)計(jì)算,tx87.65822.13,不在拒絕域內(nèi),因此接受H0.認(rèn)為這批工件的s/16均值吻合標(biāo)準(zhǔn)。2分其次序一對(duì)工件的方差進(jìn)行檢驗(yàn):H0:22,H1:221分取統(tǒng)計(jì)量為2(161)s2,可得拒絕域?yàn)?{2150.205(15)25}2分22經(jīng)計(jì)算,2(161)s2229.425,在拒絕域內(nèi),因此拒絕H0.認(rèn)為這批工件的方差不吻合標(biāo)準(zhǔn)。2分大學(xué)（本科）試卷（B卷）2005-2006學(xué)年第一學(xué)期一.填空題（每題2分，共計(jì)60分）1.設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E對(duì)應(yīng)的樣本空間為S。與其任何事件不相容的事件為不可以能事件，而與其任何事件相互獨(dú)立的事件為必然事件；設(shè)E為等可能型試驗(yàn)，且S包含10個(gè)樣本點(diǎn)，則按古典概率的定義其任一基本事件發(fā)生的概率為1/10。2．P(A)0.4,P(B)。若A與B獨(dú)立，則P(AB)0。28；若已知A,B中最少有一個(gè)事件發(fā)生的概率為0.6，則P(AB)，P(AB)1/3。3、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球5只黑球3只，從中不放回地任取2只，則取到球顏色不相同的概率為：15/28。若有放回地回地任取2只，則取到球顏色不相同的概率為：15/32。4、E(X)D(X)1。若X遵從泊松分布，則P{X0}1e1；若X遵從平均分布，則P{X0}0。5、設(shè)X~N(,2)，且P{X2}P{X2},P{2X4}0.3，則2；P{X0}。6、某體育彩票設(shè)有兩個(gè)等級(jí)的獎(jiǎng)勵(lì)，一等獎(jiǎng)為4元，二等獎(jiǎng)2元，假設(shè)中一、二等獎(jiǎng)的概率分別為0.3和0.5,且每張彩票賣2元?？煞褓I此彩票的理智選擇為：買（買，不買或無所謂）。7、若隨機(jī)變量X~U(1,5)，則p〈0X〈4；E(2X1)__7___，D(3X1)12．8、設(shè)X~b(n,p),E(X)2.4,D(X)，則P{Xn}3，并簡(jiǎn)化計(jì)算626k6k2k6(60.4)。kk09、隨機(jī)變量X、Y的數(shù)學(xué)希望E(X)=-1，E(Y)=2,方差D(X)=1，D(Y)=2,且X、Y相互獨(dú)立，則：E(2XY)-4，D(2XY)6。10、設(shè)X1,,X16是整體N(20,4)的容量為16的樣本，X為樣本均值，S2為樣本方差。則：X~N（20，1/4），pX201=，15S2~2(15)，X20~t(15)。16s/15此題中。11、隨機(jī)變量X的概率密度f(x)ex,x0，則稱X遵從指數(shù)分布，E(X)1。0,x012、做假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)，簡(jiǎn)單犯兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是：”棄真”,即H0為真時(shí)拒絕H0,第二類錯(cuò)誤是：取偽錯(cuò)誤。一般情況下，要減少一類錯(cuò)誤的概率，必然增加另一類錯(cuò)誤的概率。若是只對(duì)犯第一類錯(cuò)誤的概率加以控制，使之《a，而不考慮犯第二類錯(cuò)誤的概率，這種檢驗(yàn)稱為顯然性檢驗(yàn)，a稱為顯然水平。13、設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布律是：X01則X的方差D(X)；Y0X與Y的相關(guān)系數(shù)為:XY

3/7。10二、（7分）甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)同一種零件，設(shè)甲廠、乙廠、丙廠的次品率分別為，，．現(xiàn)從由甲廠、乙廠、丙廠的產(chǎn)品分別占15%，80%，5%的一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取一件，發(fā)現(xiàn)是次品，求該次品為甲廠生產(chǎn)的概率．解：設(shè)A1,A2,A3分別表示產(chǎn)品取自甲、乙、丙廠，有：p(A1)15%,P(A2)80%,P(A3)5%2’B表示取到次品，p(BA1)0.2,P(BA2)0.1,P(BA3)，2’3由貝葉斯公式：p(A1B)=p(A1)P(BA1)（/p(Ak)P(BAk4’k1三、（7分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)ax,0x10,其他求：（1）常數(shù)a，（2）p(0X0.5)（3）X的分布函數(shù)F（x）。解:(1)由f(x)dx1,得a22’(2)p(0.X15)=3’f(x)dx2xdx000x0(3)F(x)x2,0x12’1,1x四、（7分）設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：4xy,0x1,0y1f(x,y),其他0求：（1）X，Y的邊緣密度，（2）由（1）判斷X，Y的獨(dú)立性。解:(1)X，Y的邊緣密度分別為:，1，f(xy)dy4xydy0x1fX(x)00其他5’1f(x，y)dx4xydx，0y1fY(y)00其他(2)由(1)可見f（x，y）f（Xx）f（Yy）,可知:X，Y相互獨(dú)立2’五、（7分）從整體X~N(u,2)中抽取容量為16的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是X75,S24，t(15)2.1315,x02.025(15)6.26,x02.975求u的置信度為0.95的置信區(qū)間和2的置信度為0.95的置信區(qū)間。解:(1)n=16,置信水平10.95,/20.025,t0.025(15)2.1315,X75,S24由此u的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:(7522.1315),即(751.0658)4’16(2)n=16,置信水平10.95,/20.025,x02.025(15)6.26,x02.975S24由此2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:(154,154(2.182,9.585)3’22)(15)(15)六、（7分）設(shè)整體X~N(u，1),u未知。X1,...,Xn是一個(gè)樣本，求u的最大似然估計(jì)量，并證明它為u的無偏估計(jì)。解:樣本X1,...,Xn的似然函數(shù)為:L(x1,...,xn,u)(2)n/2exp[1n(xi2]2ku)1而lnL(x1,...,xn,u)n/2ln(2)1[n(xiu)2]2k1d(lnL(x1,...,xn,u))n令:(xiu)0,duk1解得:1nxiu1n?的最大似然估計(jì)?Xkuunk1nk1E(u?)E(1nXk)u,它為u的無偏估計(jì)量.nk1

2’1’1’1’七、（5分）某人壽保險(xiǎn)公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保費(fèi)，若是該年內(nèi)投保人死亡，保險(xiǎn)公司應(yīng)付1000元的賠償費(fèi)，已知一個(gè)人一年內(nèi)死亡的概率為。用中心極限制理近似計(jì)算該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的利潤(rùn)很多于48000元的概率。已知(1)0.8413，(2)0.9772。解:設(shè)X為該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的投保人死亡人數(shù),則X∽B(10000,0.0064)。該保險(xiǎn)公司的利潤(rùn)函數(shù)為：L1200001000X。2‘因此P{L48000}P{1200001000X48000}P{X72}P{X647264}用中心極限制理100003‘答：該保險(xiǎn)公司一年內(nèi)的利潤(rùn)很多于48000元的概率為0。8413大學(xué)（本科）試卷（A卷）答案2006-2007學(xué)年第二學(xué)期二.填空題（每題2分，共計(jì)60分）1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知p(A)0.5,p(B)0.3，則a)若A,B互斥，則p(A-B)0.5;b)若A,B獨(dú)立,則p(AB)0.65;c)若,則p(AB)3/7.2、袋子中有大小相同的紅球7只，黑球3只，(1)從中不放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不相同的概率為：7/15。(2)若有放回地任取2只，則第一、二次取到球顏色不相同的概率為：21/50。(3)若第一次取一只球后再追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中再取第二只球,則第一、二次取到球顏色不相同的概率為：21/55.3、設(shè)隨機(jī)變量X遵從泊松分布( ),p{X7}P{X8}，則EX8.4、設(shè)隨機(jī)變量X遵從B（2，0.8）的二項(xiàng)分布,則pX20.64,Y遵從B（8，0.8）的二項(xiàng)分布,且X與Y相互獨(dú)立，則P{XY1}=1-0.210，E(XY)8。5設(shè)某學(xué)校外語統(tǒng)考學(xué)生成績(jī)X遵從正態(tài)分布N（75，25），則該學(xué)校學(xué)生的及格率為0.9987，成績(jī)高出85分的學(xué)生占比P{X85}為0.0228。其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1)0.8413,(2)0.9772,(3)0.9987.6、設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布律是有X01則，X的數(shù)學(xué)希望E(X)，YX與Y的相關(guān)系數(shù)xy。-11a7、設(shè)X1,...,X16及Y1,...,Y8分別是整體N(8,16)的容量為16，8的兩個(gè)獨(dú)立樣本，X,Y分別為樣本均值，S12,S22分別為樣本方差。則：X~N(8,1)，XY~N(0,1.5)，pXY21.5=0.0456，1522(15)，S12~F(15,7)16S1~S22。此題中(1)0.8413,8、設(shè)X1,.X2,X3是整體X的樣本，以下的統(tǒng)計(jì)量中，A，B，C是E(X)的無偏統(tǒng)計(jì)量，E(X)的無偏統(tǒng)計(jì)量中統(tǒng)計(jì)量C最有效。A.X1X2X3B.2X1X3C.1(X1X2X3)D.X1X239.設(shè)某商店一天的客流量X是隨機(jī)變量,遵從泊松分布(),X1,...,X7為整體X的樣本，E(X)的矩估計(jì)量為X，160，168，152，153，159，167，161為樣本察看值，則E(X)的矩估計(jì)值為16010、在假設(shè)檢驗(yàn)中，簡(jiǎn)單犯兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是指：H0成立的條件下拒絕H0的錯(cuò)誤,也稱為棄真錯(cuò)誤。a二、（6分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)x2,2x0,其他求：（1）常數(shù)a，（2）p(0.5X4)（3）X的分布函數(shù)F（X）。解:(1)由f(x)dx1,得a2’2(2)X4)=4422’f(x)dxx2dx0.520x2(3)F(x)1-22x2’x三、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為：fX(x)ex,0x,0,其他1,0y1,，且隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。fY(y),其他0（1）求（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)（2）計(jì)算概率值pY2X。解:(1)X，Y相互獨(dú)立，可見（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f（x，y）fX（x）f（Yy）,ex,0x,0y12’f(x,y),0其他（2）P(Y2X)f(x,Y)dxdy113’dxexdyy2x02x=3e111’四、（8分）從整體X~N(u,2)中抽取容量為25的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是：X80,S29，t(24)2.0639,x02.975(24)12.4,x02.025(24)求u的置信度為0.95的置信區(qū)間和2的置信度為0.95的置信區(qū)間。解:(1)n=25,置信水平10.95,/20.025,t(24)2.0639,X80,S29由此u的置信水平為0.95的置信區(qū)間為(8032.0639),即(801.238)4’25(2)n=25,置信水平10.95,/20.025,x02.975(24)12.4,x02.025S29由此2的置信水平為0.95的置信區(qū)間為:(249249(5.49,17.42)4’2,2)0.025(24)0.975(24)五、（8分）設(shè)整體X遵從平均分布U(a,b),X1,,Xn是X的一個(gè)樣本，求a,b的矩估計(jì)量解:設(shè)X的一階樣本矩、二階樣本矩分別為A11nx1,A21nxk2，nk1nk1X的一階矩、二階矩分別為E(X)ab,E(X2)a2b2ab,令4’23ab,E(X)2A12’a2b2abE(X2)A23可解出?3(A22A1bA1)2’?A13(A22aA1)六、N(u,2),u,2未知,該校校長(zhǎng)聲（8分）某地區(qū)參加外語統(tǒng)考的學(xué)生成績(jī)近似遵從正態(tài)分布稱學(xué)生平均成績(jī)?yōu)?0分，現(xiàn)抽取16名學(xué)生的成績(jī)，得平均分為68分，標(biāo)準(zhǔn)差為3分，請(qǐng)?jiān)陲@然水平下，檢驗(yàn)該校長(zhǎng)的斷言可否正確。（此題中t0.025(15)2.1315）解:按題意學(xué)生成績(jī)X~N(u,2),u,2未知,現(xiàn)取檢驗(yàn)假設(shè):H0:uu070,H1：uu0702’用t檢驗(yàn),現(xiàn)有n16，，2.1315,拒絕域?yàn)?2’t(15)x702.1315,2’t16s/由:x68,s3,tx702.67,1’16s/t值在拒絕域內(nèi),故拒絕H0,認(rèn)為該校長(zhǎng)的斷言不正確.1’七、（8分）設(shè)某衡器制造廠商的數(shù)顯稱重器讀數(shù)近似遵從正態(tài)分布N(u,2),2,u未知,現(xiàn)他聲稱他的數(shù)顯稱重器讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為不高出10克,現(xiàn)檢驗(yàn)了一組16只數(shù)顯稱重器,得標(biāo)準(zhǔn)差12克，試檢驗(yàn)制造商的言可否正確（取0.05），此題中02.05(15)24.996。解:按題意數(shù)顯稱重器讀數(shù)X~N(u,2),u,2未知,現(xiàn)取檢驗(yàn)假設(shè)H0:10,H1：102’在H0成立的條件下，用2檢驗(yàn),現(xiàn)有n16，，2’t(15)24.996,拒絕域?yàn)?2(n1)s2>02.05(15)2’102算得:2(n1)s2151221’102102不在拒絕域內(nèi),故接受H0,認(rèn)為讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差不顯然高出10克.1’八、（6分）某工廠要求供貨商供應(yīng)的元件一級(jí)品率為90%以上，現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大批元件，經(jīng)隨機(jī)抽取100件，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有84件為一級(jí)品,試以5%的顯然性水平下，檢驗(yàn)這個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的元件的一級(jí)品率是否達(dá)到該廠方的的要求。（已知Z，提示用中心極限制理）解整體X遵從p為參數(shù)的0-1分布，H0:pp00.9,H1:pp02’X1,...,X100為整體X的樣本，在H0成立條件下，選擇統(tǒng)計(jì)量Xp0，由中心極限制理，z近似遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則拒絕域?yàn)閦z0.05Zp0(1p0)n經(jīng)計(jì)算該體z2z，即得Z在拒絕域內(nèi),故拒絕H0，認(rèn)為這個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的元件的一級(jí)品率沒有達(dá)到該廠方的的要求大學(xué)（本科）試卷（B卷）2006-2007學(xué)年第二學(xué)期1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知p(A)0.25,p(B)0.5,P(AB)0.125，則p(A-B);p(AB);p(AB)0.5.2、袋子中有大小相同的5只白球，4只紅球，3只黑球，在其中任取4只(1)4只中恰有2只白球1只紅球1只黑球的概率為：C52C41C31.C124(2)4只中最少有2只白球的概率為：1C83C41C84.C124(3)4只中沒有白球的概率為：C74C1243、設(shè)隨機(jī)變量X遵從泊松分布( ),p{X5}P{X6}，則EX6.4、設(shè)隨機(jī)變量X遵從B（2，0.6）的二項(xiàng)分布,則pX2,Y遵從B（8，0.6）的二項(xiàng)分布,且X與Y相互獨(dú)立，則P{XY1}10，E(XY)6。5設(shè)某學(xué)校外語統(tǒng)考學(xué)生成績(jī)X遵從正態(tài)分布N（70，16），則該學(xué)校學(xué)生的及格率為0.9938，成績(jī)高出74分的學(xué)生占比P{X74}為。其中標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1)0.8413,(2)0.9772,(2.5).6、有甲乙兩臺(tái)設(shè)備生產(chǎn)相同的產(chǎn)品，甲生產(chǎn)的產(chǎn)品占60%，次品率為10%；乙生產(chǎn)的產(chǎn)品占40%，次品率為20%。(1)若隨機(jī)地從這批產(chǎn)品中抽出一件,抽到次品的概率為；（2）若隨機(jī)地從這批產(chǎn)品中抽出一件，檢驗(yàn)出為次品，則該產(chǎn)品是甲設(shè)備生產(chǎn)的概率是3/7.7、設(shè)X1,...,X10及Y1,...,Y15分別是整體N(20,6)的容量為10，15的兩個(gè)獨(dú)立樣本，X,Y分別為樣本均值，S12,S22分別為樣本方差。則：X~N(20,3/5)，XY~N(0,1)，pXY1=0.3174，322(9)S12。S1~，2~F(9,14)2S2此題中(1)0.8413。此題中(1)0.8413,(2)0.9772,(3)8、設(shè)X1,.X2,X3是整體X的樣本，以下的E(X)統(tǒng)計(jì)量中，C最有效。A.X1X2X3B.2X1X3C.1(X1X2X3)39.設(shè)某商店一天的客流量X是隨機(jī)變量,遵從泊松分布(),X1,...,X7為整體X的樣本，E(X)的矩估計(jì)量為X，15,16,18,14,16,17,16為樣本察看值，則E(X)的矩估計(jì)值為1610、在假設(shè)檢驗(yàn)中，經(jīng)常發(fā)生兩類錯(cuò)誤，第一類錯(cuò)誤是指H0成立的條件下拒絕H0的錯(cuò)誤,第二類錯(cuò)誤是指H1成立的條件下拒絕H1的錯(cuò)誤,顯然水平是指控制第一類錯(cuò)誤的概率小于.a二、（6分）已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)1x2,0x0,其他求：（1）常數(shù)a，（2）p(1X3)（3）X的分布函數(shù)F（X）。解:(1)由f(x)dx1,得a22’(2)p(1X3f(x)dx3212dx22’3)=01x310x0(3)F(x)arctanx0x2’2第2頁共5頁三、（6分）設(shè)隨機(jī)變量X，Y的概率密度分別為：fX(x)x,0x2,20,其他fY(y)2y,0y1,，且隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立。0,其他（1）求（X，Y）的聯(lián)合概率密度為：f(x,y)（2）計(jì)算概率值pYX2。解:(1)X，Y相互獨(dú)立，可見（X，Y）的聯(lián)合概率密度為f（x，y）fX（x）f（Yy）,f(x,y)xy,0x2,0y12’0,其他（2）P(YX2)11f(x,Y)dxdy0dxx2xydy=13’yx26四、（8分）從整體X~N(u,2)中抽取容量為25的一個(gè)樣本，樣本均值和樣本方差分別是X80,S29，t(24)1.71,x02.95(24)13.85,x02.05(24)分別求u、2的置信度為的單側(cè)置信下限。解:(1)n=25,置信水平10.95,0.05,t0.05(24)1.71,X80,S29由此u的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為:8034’1.7178.974,25(2)n=25,置信水平10.95,0.05,x02.05(24)S29由此2的置信水平為0.95的單側(cè)置信下限為:2494’02.05(24)五、（8分）設(shè)整體X遵從N(u,2),2已知,u未知。X1,,Xn是X的一個(gè)樣本，求u的極大似然估計(jì)量，并證明它為u的無偏估計(jì)。解:樣本X1,...,Xn的似然函數(shù)為:L(x1,...,xn,u)(2)n/2exp[1n(xiu)2]2’2k1而lnL(x1,...,xn,u)n/2ln(2)1[n(xiu)2]2k1d(lnL(x1,...,xn,u))n令:(xiu)0,duk1解得:1nxiu1n?的最大似然估計(jì)?Xink1nk1E(u)E(nXk)u,它為u的無偏估計(jì)量.?1nk1.

1’1’2’2’（8分）一工廠生產(chǎn)化學(xué)制品的日產(chǎn)量(以噸計(jì))近似遵從正態(tài)分布,當(dāng)設(shè)備正常時(shí)一天產(chǎn)800六、噸,現(xiàn)測(cè)得近來5天的產(chǎn)量分別為:785,805,790,790，802，問可否可以認(rèn)為日產(chǎn)量顯然不為800噸。（取0.05），此題中t(4)。解:按題意日產(chǎn)量X~N(u,2),u,2未知,現(xiàn)取0.05檢驗(yàn)假設(shè):H0:u800,H1：u8001’用t檢驗(yàn),現(xiàn)有n5，，,拒絕域?yàn)?t(4)tx8002.7767,1’s/5算得:x794.4,s8.6169,tx8001.4527,2’s/5t值不在拒絕域內(nèi),故接受H0,認(rèn)為日產(chǎn)量沒有顯然變化.1七、（8分）設(shè)溫度計(jì)制造廠商的溫度計(jì)讀數(shù)近似遵從正態(tài)分布N(u,2),2,u未知現(xiàn)他聲稱,他的溫度計(jì)讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為不高出0.5,現(xiàn)檢驗(yàn)了一組16只溫度計(jì),得標(biāo)準(zhǔn)0。7度，試檢驗(yàn)制造商的言可否正確（取），此題中02.05(15)。解:按題意溫度計(jì)讀數(shù)X~N(u,2),u,2未知,現(xiàn)取檢驗(yàn)假設(shè):H0:0.5,H1：1’用2檢驗(yàn),現(xiàn)有n5，，2.7764,拒絕域?yàn)?t0.025(4)2(n1)s2>2(15)22(n1)s222’22在拒絕域內(nèi),故拒絕H0,認(rèn)為溫度計(jì)讀數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差為顯然高出0.5.1八、（6分）某工廠要求供貨商供應(yīng)的元件一級(jí)品率為90%以上，現(xiàn)有一供應(yīng)商有一大批元件，經(jīng)隨機(jī)抽取100件，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有84件為一級(jí)品,試以5%的顯然性水平下，檢驗(yàn)這個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的元件的一級(jí)品率可否達(dá)到該廠方的的要求。（已知Z1.645，提示用中心極限制理）解整體X遵從p為參數(shù)的0-1分布，H0:pp00.9,H1:pp02’X1,...,X100為整體X的樣本，在H0成立條件下，選擇統(tǒng)計(jì)量Xp0，由中心極限制理，z近似遵從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則拒絕域?yàn)閦z0.05Zp0)p0(1n經(jīng)計(jì)算該體z2z，即得Z在拒絕域內(nèi),故拒絕H0，認(rèn)為這個(gè)供應(yīng)商供應(yīng)的元件的一級(jí)品率沒有達(dá)到該廠方的的要求2008-2009學(xué)年第二學(xué)期三.填空題（每空題3分，共計(jì)60分）1、A、B是兩個(gè)隨機(jī)事件，已知p(A)0.6,p(B)0.5,p(AB)，則p(AB)、p(AB)0.6,事件A,B的相互獨(dú)立性為：相互獨(dú)立。2、一個(gè)袋子中有大小相同的紅球6只、黑球3只、白球1只，(1)從中不放回地任取2只，則第一、二次取到紅球的概率為：1/3。(2)若有放回地任取2只，則第一、二次取到紅球的概率為：9/25。(3)若第一次取一只球后再追加一只與其顏色相同的球一并放入袋中再取第二只球,則第一、二次取到紅球的概率為：21/55.3、設(shè)隨機(jī)變量X遵從參數(shù)為100的泊松分布，則E（X）D(X)100,利用“3”法則，可以認(rèn)為X的取值大多集中在70---130范圍。4、設(shè)隨機(jī)變量X遵從N（500，1600）的正態(tài)分布,則pX580,Y遵從N（500，900）的二項(xiàng)分布,且X與Y相互獨(dú)立，則XY遵從N（1000，2500）分布;若pXYa0.05,則a1082.5。；(2)0.9772,(1.645)2x,0x15.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)f(x)0,其他則:（1）X15)=0x0（2）X的分布函數(shù)F（x）=F(x)x2,0x1。1,1x6、設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)擁有D(X)9,D(Y)4，XY1/6，則D(XY)=11，D(X3Y4)=51。7、兩個(gè)可靠性為p>0的電子元件獨(dú)立工作，（1）若把它們串通成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：p2；（2）若把它們并聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng)，則系統(tǒng)的可靠性為：1(1p)2；8、若隨機(jī)變量X~U(0,3)，則p〈1X〈22/3；E(X)，D(2X1)3．二、（6分）計(jì)算機(jī)中心有三臺(tái)打字機(jī)A,B,C，程序交與各打字機(jī)打字的概率依次為0.6,0.3,0.1，打字機(jī)發(fā)生故障的概率依次為0.01,0.05,0.04。已知一程序