第五章章誤誤差基基本知知識學習本本章的的意義義：使同學學們掌掌握怎怎樣把把誤差差的基基本知知識應應用到到實際際工程程。內容主主要有有：誤差概概述、、偶然然誤差差的性性質、、衡量量精度度的標標準、、誤差差轉播播定律律、觀觀測值值及算算術平平均值值中誤誤差、、非等等精度度觀測測。教學要要求：（1）掌握握誤差差的分分類及及性質質、衡衡量精精度的的標準準、誤誤差轉轉播定定律、、怎樣樣求觀觀測值值及算算術平平均值值中誤誤差。。（2）了解解非等等精度度觀測測。第五章章誤誤差基基本知知識重點誤差的的分類類及特特點中誤差差誤差傳傳播定定理算術平平均值值的中中誤差差難點誤差傳傳播定定理非等精精度觀觀測§5.1測量誤誤差概概述1.什么叫叫誤差差？誤差＝＝觀測測值－－真值值?i＝li－X2.研究誤誤差的的目的的怎樣提提高精精度？？怎樣去去滿足足精度度進行行施測測？3.誤差產產生的的原因因儀器、、設備備－－構構造不不完善善觀測測者者－－眼眼睛的的分辨辨率60″″外界界條條件件－－氣氣溫、、大氣氣折光光、風風力等等影響響4.誤差的的分類類觀測成成果的的精確確程度度簡稱稱為精精度，，觀測測精度度取決決于觀觀測時時所處處的條條件。。依據(jù)據(jù)觀測測條件件來區(qū)區(qū)分觀觀測值值，可可分為為：同等精精度：：觀測測條件件相同同的各各次觀觀測不等精精度觀觀測：：觀測測條件件不相相同的的各次次觀測測在相同同觀測測條件件下測測量誤誤差可可分為為：①過失誤誤差：觀測測者錯錯誤引引起問題（（1）：甲建建筑公公司在在鄭州州大學學行政政樓施施工中中進行行變形形觀測測，一一次用用DS3儀器測測量A點的沉沉降量量為＋＋1.3mm，請問問這次次測量量結果果是不不是過過失誤誤差？？②系統(tǒng)誤誤差：誤差差的大大小符符號按按一定定的規(guī)規(guī)律變變化產生的的原因因：外外界條條件、、儀器器設備備、觀觀測方方法、、計算算手段段消除、、減弱弱系統(tǒng)統(tǒng)誤差差方法法：檢校儀儀器求求改正正數(shù)對對稱觀觀測③偶然誤誤差：誤差差的大大小、、符號號無一一定的的規(guī)律律變化化，但但符合合某一一統(tǒng)計計規(guī)律律產生的的原因因：人人的感感覺器器官、、儀器器的性性能處理方方法：：進行行多余余觀測測有了多多余觀觀測，，可以以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)觀測測值中中的錯錯誤，，以便便將其其剔除除和重重測。。有了多多余觀觀測，，觀測測值之之間必必然產產生矛矛盾（（往返返差、、不符符值或或閉合合差等等），，差值值如果果大到到一定定的程程度，，就認認為觀觀測值值中有有錯誤誤，或或者說說誤差差超限限，需需要返返工重重測。。差值如如果不不超限限，則則按偶偶然誤誤差的的規(guī)律律加以以處理理，稱稱為“閉合差差的調調整”問題（（2）判斷下下列誤誤差各各屬于于哪些些誤差差：數(shù)據(jù)記記錯、、尺子子顛倒倒、溫溫度改改正、、尺長長改正正、大大氣折折光誤誤差、、視視準準誤差差、度度盤偏偏心誤誤差、、豎軸軸誤差差、尺尺子零零點誤誤差、、對中中誤差差、照照準誤誤差、、估讀讀誤差差5.偶然誤誤差的的特性性現(xiàn)重復復觀測測了多多個三三角形形內角角和，，得到到真誤誤差?i＝Li－180°，統(tǒng)計計見表表5-1，從這個個列表表中，，我們們可以以看出出偶然然誤差差的幾幾個特特性：：有界性性密集性性對稱性性；抵償性性6.偶然誤誤差的的分布布曲線線誤差分分布曲曲線一一條正正態(tài)分分布曲曲線，，可用用正態(tài)態(tài)分布布概率率密度度函數(shù)數(shù)表示示：§5.2衡量精精度的的標準準一、精精度的的含義義所謂精度，是指指誤差差分布布的集集中與與離散散程度度。如如誤差差分布布集中中（曲曲線a），則則觀測測精度度高；；若誤誤差分分布離離散（（曲線線b），則則觀測測精度度就低低。二、平平均誤誤差θ＝［｜??｜］］/nθ越小，，精度度越高高三、中誤差差m越小，，精度度越高高例1、設甲乙乙兩組組觀測測，真真誤差差為：：甲：＋＋4″，＋3″″，0″″，－2″″，－4″″乙：＋＋6″，＋1″″，0″″，－1″″，－5″″試比較較兩組組的精精度。。1、平均均誤差差：θ甲＝θ乙＝2.6″甲組的的離散散區(qū)間間（－－4，＋4）乙組的的離散散區(qū)間間（－－5，＋6）所以甲甲組精精度高高。2、中誤誤差：：所以甲甲組精精度高高四、相對誤誤差例2、假設設現(xiàn)在在丈量量了兩兩段距距離：：甲：100±0.01米；乙乙：200±0.01米到底那那組的的精度度高些些呢？？如果從從中誤誤差來來看，，兩組組的精精度相相等，，但這這樣顯顯然不不合理理。因因為實實際上上距離離測量量的誤誤差與與長度度相關關，距距離越越大，，誤差差的累累積就就越大大,這就需需要引引入相相對誤誤差：：K=｜m｜/D（注意意化為為分子子為1的形式式）K甲＝1/10000,K乙＝1/20000,乙組精精度高高。例3、β1＝28°°35′18″″±3.2″；β2＝308°15′′12″±±3.8″″，那組組的精精度高高？五、極限誤誤差P{-m＜?＜m｝＝0.683P{-2m＜?＜＜2m｝＝0.954P{-3m＜?＜＜3m｝＝0.997我們可可以看看到，，對于于真誤誤差來來說，，它的的值落落在區(qū)區(qū)間[－3m，＋3m]幾乎是是肯定定的事事。因因此在在測量量工作作中，，我們們常常常取三三倍中中誤差差作為為偶然然誤差差的容容許值值（或或限差差），，如果果精度度要求求較高高時，，就可可以取取兩倍倍中誤誤差作作為限限差，，即：：?容＝3m或??容＝2m§5.3誤差傳傳播定定律誤差傳傳播定定律：是指指描述述觀測測值中中誤差差與其其函數(shù)數(shù)中誤誤差之之間關關系的的定律律一、一般函函數(shù)的的中誤誤差設Z=f(x1,x2,…,xn)，其中中x1,x2,…,xn屬于獨獨立自自變量量（如如直接接觀測測值）），他他們的的中誤誤差分分別為為m1,m2,…,mn則函數(shù)數(shù)Z的中誤誤差為為：二、特特殊函函數(shù)的的中誤誤差1、倍數(shù)數(shù)函數(shù)數(shù)：Z=kx中誤差差：mz=kmx2、和差差函數(shù)數(shù)：：Z=x1±x2±…±xn中誤差差：3、線形形函數(shù)數(shù)：：Z=k1x1±k2x2±…±knxn中誤差差：例4：在△△ABC中，測測量得得a＝137.285±0.012m∠A=56°°35′18″″±38″″,∠∠B=38°°30′32″″±26″″求b及其中中誤差差？解：b=asin∠∠B/sin∠∠A=137.285sin38°°30′32″″/sin56°°35′18″″＝102.402db＝b/ada＋bctan∠B(d∠B/ρ″)－bctan∠A（d∠A/ρ″）ρ″=206265″mb2＝（b/a）2ma2＋（bctan∠B）2（mB/ρ″)2＋（bctan∠A）2（mA/ρ″)2＝0.000498mb＝±0.022，則b＝102.402±0.022m§5.4等精度直接觀觀測值1.算術平均值原原理假設對某量X進行了n次等精度的獨獨立觀測，得得觀測值l1，l2，…ln算術平均值為為：L=(l1+l2+…ln)/n=［l］/n算術平均值原原理:當n→∞時，L=X證明：?i＝li－X,［?］=［l］-nX，［?］/n=［l］/n-X，根據(jù)偶然誤差差第4特性即證算術平均值是是觀測量的“最可靠值”，或者叫做“最或是值”。2、或然誤差或然誤差：vi＝li－L或然誤差特性性：［v］=03、由或然誤差求求中誤差：（白塞爾公式）4、算術平均值中中誤差：例：教材中示示例§5.5誤差傳播定律律的應用一、水準測量量的誤差分析析每站的高差為為：h=a-b；m讀≈±3mm一站的高差中中誤差：m站=≈≈±4mm線路n站，則總高差差：取3倍中誤差為限限差，則普通通水準路線的的容許誤差為為：二、水平角觀觀測的誤差分分析用DJ6經緯儀進行測測回法觀測水水平角，那么么用盤左盤右右觀測同一方方向的中誤差差為±6″，所以瞄準一個個方的中誤差差為：上半測回角值值：β半＝b－a半測回角值差差：半測回差取2m＝±34″，考慮到其它它不利因素，，所以取半半測回差應該該小于40″。一測回角值：：β＝（β上＋β下）/2一測回角值精精度mβ=±8.5″測回角值之差差：?β=β1-β2，m?β=±12″測回差取2m=±24″,規(guī)范測回差限限差24″例：為了讓某某一角度的精精度達到±4″,問用DJ6經緯儀需要測測幾個測回？？解：n＝（8.5/4）2＝4.5所以需要測5個測回假定精度達到到±1.7″″,用DJ6經緯儀測幾個個測回？如果用DJ2經緯儀需要測測幾個測回？？DJ6:n＝（8.5/1.7）2＝25測回DJ2:n＝（2.82/1.7）2＝2.8,即3測回§5.6加權平均值及及其中誤差例：假設對一一個水平角進進行了兩組等等精度的觀測測，其中甲組組觀測了2測回，測得水水平角分別為為l1、l2，計算得平均均L1=(l1+l2)/2；乙組觀測了了4測回，測得水水平角分別為為l3、l4、l5、l6,計算得平均L2=(l3+l4+l5+l6)/4。那么這個水水平角應怎樣樣計算？L=(L1+L2)/2L=(l1+l2+l3+l4+l5+l6)/6=(2L1+4L2)/(2+4)一、非等精度度觀測及觀測測值的權上例中：甲組組觀測值的算算術平均值精精度：而而乙組觀測測值的算術平平均值精度為為：m1>m2，也就是L2的精度比L1要高。如果要要將L1、L2進行平均，應應該是精度高高的數(shù)值所占占的“比重”大一些，精度度低的數(shù)值所所占的“比重”應該小一些，，這個“比重”就是通常我們們所說的“權”。1、權的定義權：觀測值精精度的可靠程程度。“權”與中誤差成反反比，觀測值值或觀測值函函數(shù)的精度越越高，其權越越大。Pi=λ2/mi2（λ是常數(shù)）2、單位權在Pi=λ2/mi2中，當Pi=1，Pi為單位權Pi=1時相應的觀測測值，稱單位權觀測值值;Pi=1