-PAGE.z.列方程解應用題百題-學生練習一、多位數的表示1、有一個三位數，百位上的數字是1，若把1放在最后一位上，而另兩個數字的順序不變，則所得的新數比原數大234，求原三位數。解：(多位數表示)設后兩位數（即十位與個數）為*，100+*+234=10*+12、一個三位數，百位上的數字比十位上的數字大1，個位上的數字比十位上的數字的3倍少2.若將三個數字順序倒過來，所得的三位數與原三位數的和是1171，求這個三位數。解：(多位數表示)設十位數字為*,則百位數字為*+1，個位數字為3*-2100(*+1)+10*+3*-2+100(3*-2)+10(*+1)+*=11713、有大小兩個兩位數，在大數的右邊寫上一個0后寫上小的數，得到一個五位數，又在小數的右邊寫上大數，然后再寫上一個零，也得到一個五位數，第一個五位數除第二個五位數得到的商為2，余數為599，此外，大數的2倍與小數3倍的和為72，求這兩個兩位數。解：（多位數表示）設大的兩位數為*，小的兩位數為y大○小，小大○∴4、有一個三位數，各數位上的數字的和是15，個位數字與百位數字的差是5，如果顛倒各數位的數字順序，則所用到的新數比原數的3倍少39，求這個三位數。解：（多位數表示）百十個*+510-2**原數=100(*+5)+10(10-2*)+*，新數=100*+10(10-2*)+*+5∴3[100(*+5)+10(10-2*)+*]-39=100*+10(10-2*)+*+55、兩個三位數，它們的和加1得1000，如果把較大的數放在小數的左邊，點一個小數點在兩數之間所成的數，正好等于把小數放在大數的左邊，中間點一個小數點所成的數的6倍，求兩個三位數。解：（多位數表示+已知和）設大三位數=*，小三位數為999-*.6、一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字大5，且個位上的數字與十位上的數字的和比這個兩位數的大6，求這個兩位數。解：(多位數的表示+已知差)設十位數為*，則個位數為*+5，依題意得10*+*+5=*+*+5-9二、已知和1、*車間有工人85人，平均每人每天可以加工大齒輪8個或小齒輪10個，又知1個大齒輪和三個小齒輪配為一套，問應如何安排勞力使生產的產品剛好成套？解：（已知和）設應安排*人加工大齒輪，則安排85-*人加工小齒輪2、為了把2008年北京奧運會舉辦成一屆綠色奧運會，實驗中學和潞河中學的同學積極參加綠化工程的勞動。兩校共綠化了4415平方米的土地，潞河中學綠化的面積比實驗中學綠化面積的2倍少13平方米，這兩所中學分別綠化了多少面積？解：（已知和）設實驗中學*人，潞河中學4415-*，4415-*=2*-133、用白鐵皮做罐頭盒，每張鐵皮可制造盒身18個，或制造盒底45個，一個盒身與兩個盒底配成一套罐頭盒。現有180張白鐵皮，用多少張制造盒身，多少張制造盒底，可以制成整套罐頭盒？解：（已知和）設*張鐵皮作盒身，180-*張鐵皮作盒底18*=4、為了保護生態環境，我省*山區縣響應國家"退耕還林”號召，將該縣*地一部分耕地改為林地，改變后，林地面積和耕地面積共有180平方千米，耕地面積是林地面積的25%，求改變后林地面積和耕地各為多少平方千米？解：（已知和）設林地面積為*，耕地面積為180-*，180-*=25%*5、王大伯承包了25畝土地，今年春季改種茄子和西紅柿兩種大棚蔬菜，用去了44000元，其中種茄子每畝用去了1700元，獲純利2600元；種西紅柿每畝用去了1800元，獲純利2600元，問王大伯一共獲純利多少元？解：（已知和）設種茄子*畝，種西紅柿25-*1700*+1800（25-*）=44000，則獲利為2600*+2600（25-*）,6、*蔬菜公司收購到*種蔬菜140噸，準備加工后上市銷售，該公司的加工能力是：每天精加工6噸或者粗加工16噸，現計劃用15天完成加工任務，該公司應安排幾天粗加工，幾天精加工，才能按期完成任務？如果每噸蔬菜粗加工后的利潤為1000元，精加工后為2000元，則該公司出售這些加工后的蔬菜共可獲利多少元？解：（已知和）設*天安排作粗加工，15-*天安排作細加工6（15-*）+16*=140，獲利為1000+2000（15-*）7、*個體戶向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共計136萬元，每一年需付利息16．84萬元，甲種貸款的年利率是１２％，乙種貸款的年利率是１３％，問這兩種貸款的數額各是多少？解：（已知和）設甲種貸款*萬元，乙種貸款136-*12%*+13%（136-*）=16.848、已知甲、乙兩種商品的原單價和為100元，因市場變化，甲商品降價10%，乙商品提價5%，調價后，甲、乙兩種商品的單價和比原單價和提高了2%，求甲、乙兩種商品的原單價各是多少元？解：（已知和）設甲種商品原單價*萬，乙商品原單價100-*(1-10%)*+（1+5%）（100-*）=100（1+2%）15、*公司有A型產品40件，B型產品60件，分配給下屬甲、乙兩個商店銷售，其中70件給甲店，30件給乙店，且都能賣完．兩商店銷售這兩種產品每件的利潤（元）如表：A型利潤B型利潤A型（40件）B型（60件）甲店200170甲店(70件)*乙店160150乙店(30件)A型（40件）B型（60件）甲店(70件)*乙店(30件)（1）設分配給甲店A型產品*件，把表二填寫完整（2）若兩商店銷售這兩種產品的總利潤為17560元，則分配給甲店A型產品多少件？解：（已知和）A型利潤B型利潤A型（40件）B型（60件）甲店200170甲店(70件)*70-*乙店160150乙店(30件)40-**-10A型（40件）B型（60件）甲店(70件)*乙店(30件)200*+170(70-*)+160(40-*)+150(*-10)=175609、"五一”期間，*商場搞優惠促銷，決定由顧客抽獎確定折扣，*顧客購買甲、乙兩種商品，分別抽到七折（按售價的70%銷售）和九折（按售價的90%銷售），共付款386元，這兩種商品原售價之和為500元，問這兩種商品的原銷售價分別為多少元？解：（已知和）設甲原售價*元，乙原售價500-*，0.7*+0.9（500-*）=38610、*市場購進甲、乙兩種商品共５０件，甲種商品進價每件３５元，利潤率是２０％，乙種商品進價每件２０元，利潤率是１５％，共獲利２７８元，問甲、乙兩種商品各購進了多少件？解：（已知和）設甲購進了*件，乙購進了50-*件35*·20%+20（×50-*）·15%=27811、*企業用于甲、乙兩個不同項目的投資20萬元，甲項目的年收益率5.4%,乙項目的年收益率為8.28%，該企業一年可獲得收益12240元，問該企業對兩個項目的投資各是多少萬元？解：（已知和）甲項目*萬元，乙項目（20-*）萬元5.40%·*+8,28%·(20-*)=1.22412、去年甲、乙兩車間計劃完成利稅150萬元，由于進行了技術革新，生產效率大幅度提高，結果甲車間超額完成稅利110%，乙車間超額完成稅利120%，兩車間一共上繳稅利323萬元，問甲、乙車間實際上繳稅利多少萬元？解：（已知和）設甲計劃完成利稅*萬元，則乙計劃完成利稅150-*（1+110%）*+（1+120%）（150-*）13、中和小學有100名學生參加外語競賽，平均得64分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分。男生比女生多多少人？解：（已知和+平均數）設男*人，女生100-*，100×64=60*+70（100-*）14、給貨主運2100箱玻璃，完好運到一箱給運費5元，損壞一箱不但不給運費，還要賠給貨主40元。將這些玻璃運到后收到貨款9690元，損壞了幾箱玻璃？解：（已知和）設損壞了*箱，未損壞2100-*箱，5（2100-*）-40*=9690三、已知差1、設A，B兩地相距82千米(km)，甲騎自行車由A向B駛去，9分鐘(min)后，乙騎自行車由B出發以每小時比甲快2千米的速度向A駛去，兩人在距B地40解：（已知差）設甲的速度為*,乙的速度為*+22、甲班有45人，乙班有39人，現在需要從甲、乙兩班各抽調一些同學去參加歌詠比賽。如果甲班抽調的人數比乙班多1人，則甲班剩余的人數恰好是乙班剩余人數的2倍，問從甲、乙兩班各抽調了多少人參加歌詠比賽？解：（已知差）設乙抽調*,則甲抽調*+1人3、一騎自行車的人，起初用每小時18千米的速度在一段路上騎自行車，在剩下的路程比已經走過的路程少32千米的地點開始，他用每小時25千米的速度騎完全程，若騎完全程的平均速度是20千米每小時，問他共行了多少千米？解：（已知差）設剩下路程*,已走過*+32，全程2*+324、甲對乙說："我像你這樣大歲數的那年，你的羅數等于我今年歲數的一半，當你到我這樣大歲數的時候，我的歲數是你今年歲數的二倍少7歲。”兩人現年各多少歲？答：甲現年＿＿歲，乙現年＿＿。解:（年齡問題,注意差不變）甲乙以前Y現在*Y將來2Y-7*∴四、已知倍數1、已知甲、乙、丙三人的年齡都是正整數，甲的年齡是乙的兩倍，乙比丙小7歲，三人的年齡之和是小于70的質數，且質數的各位數字之和為13，則甲、乙、丙三人的年齡分別是＿＿＿＿＿＿＿＿＿？解：（已知倍數，質數）設乙年齡*,甲年齡2*，丙*+72、書架上層放的書是下層放的3倍。如果把上層搬40本到下層，則兩層書架上的書相等，原來上、下兩各多少本？解：（已知倍數）設原來下層*本，上層3*件，3*-40=*+403、甲、乙、丙三數的和是700，又知甲數是乙數的2倍，丙數是乙數的一半，甲、乙、丙三數各是多少？解：（已知倍數）設乙=*，甲=2*，丙=，*+2*+=7004、今年母親的年齡是兒子的4倍，20年后母親的年齡是兒子的2倍，母親和兒子今年各多少歲？解：（已知倍數）設今年兒子*歲，母親4*，2（*+20）=4*+205、現在父母年齡和是子女年齡和的6倍，2年前，父母年齡和是子女年齡和的10倍，6年后，父母年齡和是子女年齡和的3倍，問共有子女幾人？解：（已知倍數）設今年子女年齡和為*，父母今年年齡和為6*,共有y個子女6、小紅、小明、小虎、小亮共收集郵票320枚，其中小紅的郵票枚數是小亮的3倍，小虎的郵票枚數是小紅和小亮總數的2倍，小明的郵票比小虎多120枚，問他們各有多少枚郵票？解：（已知倍數）設小亮郵票*張，小紅3*張，小虎=2（*+3*）=8*小明=8*+120，∴*+3*+8*+8*+120=3207、A的年齡比B與C的年齡和大16，A的年齡的平方比B與C的年齡和的平方大1632，則A、B、C的年齡之和是（）A.210 B.201 C.102 D.120解：技巧：可設B與C的年齡和為M,∴A-M=16,A2-M2=1632∴(A-M)(A+M)=1632，∴A+M=102五、經濟類問題、利潤問題1、為民房產公司把一套房子以標價的九五折出售給錢先生，錢先生在三年后再以超出房子原來標價60%的價格把房子轉讓給金先生，考慮到三年來物價的總漲幅為40%，則錢先生實際上按＿＿＿＿＿%的利率獲得了利潤（精確到一位小數）解：（利潤問題）標價售價利潤10.951×(1+60%)-0.95新成本0.95×(1+40%)∴利潤率2、*商店出售*種商品每件可獲利m元，利潤為20%（利潤＝），若這種商品的進價提高25%，而商店將這種商品的售價提高到每件仍可獲利m元，則提價后的利潤率為（）A.25% B.20% C.16% D.12.5%解：（利潤問題）進價售價利潤原來*(1+20%)*0.2*現在（1+25%）*0.2*∴m=0.2*，∴利潤率=3、*商場按定價銷售*種電器時，每臺可獲利48元，按定價的九折銷售該電器6臺與將定價降低30元銷售該電器9臺所獲得的利潤相等。求該電器每臺的進價、定價各是多少元？解：（利潤問題）進價定價售價利潤原**+48*+48480.9（*+48）×6-6*=9（*+48-30）-9*4、一商店將每臺彩電先按進價提高40%標出銷售價，然后廣告宣傳將以80%的優惠出售，結果每臺賺了300元，則經銷這種彩電的利潤率是多少？解：（利潤問題）進價定價售價**(1+40%)*(1+40%)×80%∴*+100=*(1+40%)×80%5、甲、乙兩件服裝的成本共500元，商店老板為獲取利潤，決定將甲服裝按50﹪的利潤定價，乙服裝按40﹪的利潤定價。在實際出售時，應顧客要求，兩件服裝均按9折出售，這樣商店共獲利157元，求甲、乙兩件服裝的成本各是多少元？解：（已知和+利潤）設甲服裝成本*元，乙服裝成本500-*。成本定價售價利潤甲*(1+50%)*(1+50%)*·0.9(1+50%)*·0.9-*乙500-*(1+40%)(500-*)(1+40%)(500-*)·0.9(1+40%)(500-*)·0.9-(500-*)（1+50%）*·0.9+(1+40%)(500-*)·0.9=500+1576、*商品的進價為1600元，原售價為2200元因庫存積壓需降價出售，若每件商品仍想獲得10%的利潤需幾折出售？解：（經濟類問題）設*折出售，7、有一批貨物，如果本月1日售出，可獲利1000元，然后將本利全部存入銀行，當時的月利率為2%，如果下月1日售出，可獲利1200元，要付50元的保管費，這批貨物是本月1日還是下月1日售出為宜？解：（經濟類問題）若本月1日售出：獲利1000（1+2%）若下月1日售出：1200-5，比較大小即可8、*種產品按質量分為10個檔次，生產最低檔次產品，每件獲利潤8元，每提高一個檔次，每件產品利潤增加2元，用同樣工時，最低檔次產品每天可生產60件，提高一個檔次將減少3件，如果獲利潤最大的產品是第R檔次（最低檔次為第一檔次，檔次依次隨質量增加），則R等于（）A.5 B.7 C.9 D.10解：（函數極值）利潤=[8+2（R-1）]×[60-3(R-1)]初一學生可將R=2，3，4，…，10代入，初二學生可配方求解。9、*人現有1000元現金，存入銀行5年后取出，現在銀行定期存款利率為1年期2.25%，2年期2.43%，3年期2.7%，5年期2.88%，到期利息要交納20%的利息稅，如果按下列4種方案存入銀行，5年后交納利息稅后一共可以取出多少錢？①先存1年定期，到期后將本金和扣除利息稅后的利息轉存一年，連續4次。②先存2年定期，到期后將本金和扣除利息稅后的利息轉存三年定期。③先存3年定期，到期后將本金和扣除利息稅后的利息轉存一年，連續2次.④存5年定期。解：（利息計算（不計利息稅））①1000×（1+2.25%）4②1000×（1+2×2.43%）×（1+32.7%）③1000×（1+3×2.7%）×（1+2.25%）2④1000×（1+5×2.88%）10、植樹節這一天，*校學生去植樹，如果每人植樹6株，只能完成原計劃植樹數的，如果每人提高植樹效益的50%，則可比原計劃多植樹植樹40株，求參加植樹的人數及原計劃植樹的株數。解：（盈虧問題）設人數*人，任務y棵樹11、蛛蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀，現有小蟲18只，共有118條腿和20對翅膀，問每種小蟲各多少只？解：（盈虧問題）設蛛蛛*蜻蜓y蟬z六、濃度問題1、有含鹽40％的鹽水600克，現在要制成含鹽25％的鹽水，試問需要加水各多少千克？解：（濃度問題）設需加水*千克，等式構成可考慮利用鹽=鹽建立600×40%=（600+*）×25%2、要在含50％酒精的800克(g)酒中，倒入含酒精85％的酒多少克，才能配成含酒精解：（濃度問題）設倒入*克85%的酒精，3、已知甲種鹽水含鹽40％，乙種鹽水含鹽15％，現在要制成5千克(kg)含鹽25解：（濃度問題+已知和）設甲鹽水需*千克，則乙鹽水需5-*千克40%×*+(5-*)×15%=5×25%4、從兩個重量分別為12千克(kg)和8千克兩塊，把所切下的每塊和另一塊剩余的合金放在一起，熔煉后兩個合金含銅的百分數相等．求所切下的合金的重量是多少千克？分析：由于已知條件中涉及到合金中含銅的百分數，因此只有增設這兩個合金含銅的百分數為參數或與合金含銅的百分數有關的其他量為參數，才能充分利用已知，為列方程創造條件．解：（濃度問題）設所切下的合金的重量為*千克，重12千克的合金的含銅百分數為p，重8千克的合金的含銅百分數為q(p≠整理得5(q-p)*=24(q-p)．因為p≠q，所以q-p≠0，因此*=4.8，即所切下的合金重4.8千克七、比和比例1、甲、乙、丙三個人每天生產機器零件數為甲、乙之比為4：3；乙、丙之比為6：5，又知甲與丙的和比乙的2倍多12件，求每個人每天生產多少件？解：(合成比例)，設，則2、*裁縫做一件童裝、一條褲子、一件上衣，所用時間之比為1：2：3，他一天共能做2件童裝、3條褲子、4件上衣，則他做2件上衣、10條褲子、14件童裝需幾天？解：(連等連比設為K)一件童裝時間*，一條褲子2*，一件上衣3*∴2*+6*+12*="1”∴*=，∴6*+20*+14*=40*=2天3、財產保險是常見的保險,*年8月的一天,村民王小二的三間草房及所有家具被雷電擊中起火,化為一片灰燼,由于他曾向鎮保險所投保4元人民幣,10月,他從鎮保險所領到995元的賠償,倘若他按規定投足保險金,則可獲得2985元的賠款,問王小二應投足多少保險金"解：(比與比例)投保賠償4995*29854、已知三種混合物由三種A、B和C按一定比例組成，第一種僅含有成分A和B,重量比為3：5，第二種只含成分B和C,重量比為1：2，第三種只含成分A和C,重量比為2：3，以什么比例取這些混合物，才能使所得的新混合物中A、B和C這三種成分的重量比為3：5：2？解：(比與比例)設第一種混合物*克，則第二種混合物y克，則第三種混合物z克，則，，：：=3：5：2八、工程問題1、一件工程，甲獨做需15天完成，乙獨做需12天完成，現先由甲、乙合作3天后，甲有其他任務，剩下工程由乙單獨完成，問乙還要幾天才能完成全部工程？解：(工程問題)設乙還需要*天完成任務，2、*項工程，如果由甲乙兩隊承包，天完成，需付180000元；由乙、丙兩隊承包，天完成，需付150000元；由甲、丙兩隊承包，天完成，需付160000元，現在工程由一個隊單獨承包，在保證一周完成的前提下，哪個隊承包費用最少？解：(工程問題)工效錢每天3、甲乙兩臺打麥機，甲機工作效率是乙機的2倍，先用甲機打完麥子的，然后用乙機全部打完，所需時間比同時用兩臺機器全部打完麥子所需時間多11天，問分別用一臺機器打完全部麥子各需多少時間？解：（工程問題）設乙工效*,甲工效2*，4、整理一批圖書，由一個人做需要40小時完成，現在計劃由一部分人先做4小時，在增加2人和他們一起做8小時，完成這項任務。假設這些人的工作效率都相同，具體應該先安排多少人工作？解：（工程問題）設一人一小時工效，先安排*人，5、一水池用甲管注水，可以在3小時將水池注滿，用乙管放水，可以在2小時內將滿池水放空，用丙管放水，可以在4小時內將滿池水放空，現在先在空池時開甲管1小時，然后三管齊開，問什么時候水池放空？解：（工程問題）甲進水管工效,乙出水管工效，丙出水管工效設*小時后水池放空，6、*項工程，甲單獨需a天完成，在甲做了c（c<a）天后，剩下工作由乙單獨完成還需b天，若開始就由甲乙兩人共同合作，則完成任務需（）天A. B. C. D.解：(工程問題,重要利用工效)甲工效=乙工效=，∴兩人合作天數=7、有兩只蠟燭，長短粗細各不相同，長的能點7小時，短的能點10小時，同時點燃4小時后，兩支蠟燭長度正好相等，問長蠟燭長度是短蠟燭長度的多少倍？解：（工程問題，主要考慮效率）設長蠟燭長為*，短蠟燭長為y長一小時燃8、一農場有甲、乙兩臺打谷機，甲機的工作效率是乙機的2倍，若甲機打完全部谷子的2/3，然后乙機繼續打完，所需的時間比同時用兩臺打谷機打完全部谷子所需時間多4天，問若分別用甲、乙打谷機打完全部谷子各需多少天？解：（工程問題+已知倍數）設乙機工效為*，甲機工效為2*,9．五個人要完成*項工作，如果甲、乙、丙三人同時工作需6小時；甲、丙、戊三人同時工作需小時；甲、丙、丁三人同時工作需7.5小時；乙、丙、戊三人同時工作需5小時，問五個人同時工作需用多少小時完成？解：(工程問題+不定方程)甲+乙+丙=①甲+丙+戊=②甲+丙+丁=③乙+丙+戊=④該題可將甲、乙、丙、丁均用戊表示，也可等式加減10、小王原計劃13小時生產一批零件，后因每小時多生產10件，用12小時不但完成了任務，而且還比原計劃多生產了60件，問原計劃生產多少個零件？解：（欲求路程，已知時間，設速度）設原計劃每小時生產*個零件13*=12(*+10)+6011、劉師傅要加工一批零件，計劃5小時完成，若每小時多加工3個，就可以提前1小時完成，求這批零件一共多少個？解：（欲求路程，已知時間，設速度）設原計劃每小時生產*個零件，5*=4(*+3)12、*車間要在一天內完成一項生產任務，若每人生產12個零件，還差20個零件不能完成；若每人生產14個零件就比規定的多生產12個零件，問規定的任務是多少個？該車間有多少名工人？解：（欲求路程（任務量），已知速度（每人），設時間（多少人））設人數為*人，12*+20=14*-12九、行程問題1、*人從甲地到乙地，若每小時行8千米，就能比計劃提前1小時到達；若每小時行6千米，就會比計劃晚到解：（欲求路程，已知速度，設時間）設正點到用*小時，8(*-1)=6(*+1)=路程2、甲、乙兩人騎自行車同時從東、西兩地相向而行，經過8小時可以相遇。如果甲每小時少行1千米，乙每小時多行3千米，這樣經過7小時就能相遇。東、西兩地的距離是多少千米？解：（欲求路程，已知時間，設速度）設甲速度*，乙速度y8(*+y)=7(*+1+y+3)=路程∴*+y=28∴路程8×28=2243、甲、乙二人從相距60米的兩地反向而行，甲的速度為80米/分，乙的速度為120米/分，若乙先行2解：（行程問題）設甲共行了*分，80*+120(*+2)+60=6004、甲、乙兩人上午8時從A地出發，步行去B地，甲每分鐘行80米，甲的速度是乙的的2倍。途中乙因借自行車耽誤了7分鐘，他騎自行車的速度是原來的3倍，這樣兩人在上午9時同時到達B地，乙借車前步行了多少分鐘？解：（行程問題）V甲=80米/分，V乙步=40米/分，V乙騎=120米/分，設乙借車前步行*米，則騎車時間60-7-*60×80=40*+120（60-7-*）5、甲、乙兩列客車從兩地同時相對開出，5小時后在距離中點30千米處相遇，快車每小時行60千米，慢車每小時行多少千米？解：（行程問題中的追及問題）慢車每小時行*千米，5*+30×2=60×56、AB之間的距離為4000米，*人從A到B地，當他剛離開A地時，正好碰見一輛公共汽車到達A地，在路上他遇到了11輛公共汽車，當他到B地時，恰好有一輛公共汽車正從A發出，已知汽車的速度為400米/分鐘，每隔5分鐘發一車，求此人從A到B共需要多長時間？解：（相遇問題）設人的速度為*,從A到B時間4000/*7、甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相對開出，甲每小時行75千米，乙每小時行65千米。甲、乙兩車第一次相遇后繼續前進，分別到達B、A兩地后，立即按原路返回，兩車從出發到第二次相遇共行了6小時，A、B兩地相距多少千米？解：（相遇問題）設AB兩地相距*千米，3*=6(75+65)9、甲、乙二人同時從A地去往相距51千米的B地，甲騎車，乙步行，甲的速度比乙的速度快3倍還多1千米/時，甲到達B地后停留1小時，然后從B地返回A地，在途中遇見乙，這時距他們出發的時間恰好6個小時，求二人速度各是多少？解：（變相的相遇問題+已知倍數）10、甲乙從相距210千米的兩地相對出發，甲騎摩托車先走，半小時后乙開車出發，相遇后兩人繼續沿各自方向原速前進，當二人又相距10千米時，乙共行了2小時，已知甲比乙每小時慢20千米，求甲乙兩人的速度。解：（行程問題中的變相的相遇問題）甲的速度*,乙速度*+2，2.5*+2(*+2)=210+1011、甲、乙兩人從相距36千米的兩地相向而行，如果甲比乙先出發2小時，則它們在乙出發2.5小時后相遇，如果乙比甲先出發2小時，他們在甲出發3小時后相遇，問甲、乙兩人每小時各自多少千米？解：（變相的相遇問題）設甲的速度為*,乙的速度為y8、甲、乙兩站相距480公里，一列慢車從甲站開出，每小時行90公里，一列快車從乙站開出，每小時行140公里。（1）慢車先開出1小時，快車再開。兩車相向而行。問快車開出多少小時后兩車相遇？（2）兩車同時開出，相背而行多少小時后兩車相距600公里？（3）兩車同時開出，慢車在快車后面同向而行，多少小時后快車與慢車相距600公里？（4）兩車同時開出同向而行，快車在慢車的后面，多少小時后快車追上慢車？（5）慢車開出1小時后兩車同向而行，快車在慢車后面，快車開出后多少小時追上慢車？解：（追及與相遇問題）①設快車開出后*小時與慢車相遇②設*小時后480+（90+140）*=600③*小時后480+（140-90）*=600④*小時后（140-90）*=480⑤*小時后140*=90(*+1）+48012、*船從A碼頭順流而下到達B碼頭，然后逆流返回，到達A、B兩碼頭之間的C碼頭，一共航行了7小時，已知此船在靜水中的速度為7.5千米時，水流速度為2.5千米/時。A、C兩碼頭之間的航程為10千米，求A、B兩碼頭之間的航程。解：(流水行船問題)設AB間的距離為*，13、*船從碼頭A順流行至碼頭B又原路返回，共用了5小時，已知船在靜水中的速度為30千米/時，水流速度為6千米/時，求AB解：（流水行船）設去時用*小時,返回用5-*(30+6)*=(30-6)(5-*)=路程14、一條船順水行駛36千米和逆水行駛24千米的時間都是3小時，求船在靜水中的速度與水流的速度。解：（流水行船問題）15、一只小船順流航行在甲、乙兩個碼頭之間需a小時，逆流航行這段路程需b小時，則一木塊順水漂流這段路需（b）小時A. B. C. D.解：行程問題中流水行船+相同的量設甲乙碼頭的路程為1∴木塊順水漂流時間16、從電車總站每隔一定時間開出一輛電車，甲，乙兩人在同一街上沿同一方向步行，甲每分鐘走82米，每10分鐘遇上一輛迎面而來的電車，乙每分鐘走60米，每10分15秒碰上一輛迎面而來的電車，問電車總站發車時間間隔。解：（追及+相遇+相等的量）車與車之間的距離=V車×發車時間間隔設發車時間間隔為*18、兩條船分別從河的兩岸同時相對開出，它們的速度各自一定，第一次相遇在距河的一岸800米(m)處，然后繼續前進，各自到達對岸后立即折回，第二次相遇在距河的另一岸600解：（行程問題中的比與比例問題）設河寬*米第一次相遇甲乙和800*-800*————=——第二次相遇*+6002*-6003*從頭算17、甲乙丙三人同時從A到B地，當甲到B地時，乙離B地有200米，丙離B地還有400米，當乙到B地時，丙離B地還有240米，求AB之間的距離。解：（行程問題中的比與比例問題）設AB之間路程為*甲乙丙乙-丙*==19、甲乙兩個人分別從A、Ｂ兩地同時同向而行，甲地距Ｂ地９千米處追上乙，若甲的速度提高一倍，則在距Ｂ地２Km地方追上乙，求AB的距離。解：（行程問題+比與比例）設AB間距離=*速度未提高前速度提高前∴20、甲乙兩輛汽車進行千米比賽，當甲車到達終點時，乙車距終點還有a千米（0＜a＜50）現將甲車起跑處從原點后移a千米，重新開始比賽，則比賽的結果是 （）A.甲先到達終點 B.乙先到達終點 C.甲乙同時到達終點 D.確定誰先到與a值無關解：（行程問題+比與比例）甲乙∴∴甲快21、甲乙兩人同時從同一地點出發，相背而行1小時后他們分別到達各自的終點A與B，若仍從原地出發，互換彼此的目的地，則甲在乙到達A之后35分鐘到達B，甲乙的速度之比為 （）A.3∶5 B.4∶3 C.4∶5 D.3∶4解：（行程問題+比與比例）先解*，即可求速度比22、甲乙兩人分別位于一個圓形跑道直徑的兩端，沿跑道相向而行，相遇時候，甲跑了100米，相遇后，兩人保持原有的速度大小和方向不變，乙從開始到再次相遇時，還差80米就跑了一圈，求圓形跑道的周長。解：（行程問題+比與比例）設跑道為*米，甲乙甲+乙100*-8023、*隊伍長1998米(m)，在行進中排尾的一個戰士因事趕到排頭，然后立即返回，當這個戰士回到排尾時，全隊已前進1998解：（行程問題中的比與比例+追及+相遇）通信費隊伍去1998-**回*1998-*24、*人從向下運動著的自動扶梯步行而下，每步一級，共走了50級到達底層，在到達底層后，他又返身奔上這一自動扶梯，也是每步一級，一共走了125級到達頂部，設這人向上奔走的速度是其向下步行速度的5倍，并設他上下來回都是勻速速度，問如自動扶梯停止后，一共能看到幾級樓梯？解：行程問題中的比與比例問題+相遇問題+追及問題）人電梯路程和路程差下行50*-50*上行125125-**25、李明和王華步行同時從A、B兩地出發，相向而行，在離A地52米處相遇，到達對方出發點后，兩人立即以原來的速度原路返回，又在離A地44米處相遇，求A、B兩地距離多少米？解：（行程問題，全是路程比與比例）設AB相距*千米李明王華路程和52*-52*2*-443*26、有甲乙兩列火車，甲車長190米，乙車長170米，分別在平行的兩條轉道上相向而行，已知兩車自車頭相遇到車尾相離，經過6秒，甲乙兩車的速度比為2：3，求兩車的速度。解：（錯車相遇+比與比例）設190+170=6（2k+3k）27、快車車長為100米，速度為15米/秒；慢車車長150米，速度為10米/秒。若兩車相向而行，則錯車的時間間隔為多少秒？若若兩車同向而行，則錯車的時間間隔為多少秒？若求兩車從齊頭并進到完全離開的時間則應該為多少呢？解：（錯車問題，方法可在車尾或車頭各放一人，將錯車問題變為兩人的追及與相遇問題）設時間為*秒，兩車相向：100+150=（10+15）*兩車同向：100+150=15*-10*兩車齊頭：100=15**-10*28、已知一鐵路橋長1000米，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到車身過完橋共用1分鐘，整列火車完全在橋上的時間為40秒，求火車的速度及火車的長度。解：（火車過橋）設火車速度為*，車長為y29、如圖，在一環行軌道上有三枚彈子同時沿逆時針方向運動。已知甲于第10秒鐘時追上乙，在第30秒時追上丙，第60秒時甲再次追上乙，并且在第70秒時再次追上丙，問乙追上丙用了多少時間？解：（追及問題+相等的量(可設為單位1或*)）分析：甲第1次追上乙與甲第2次追上乙相隔時間為50秒，即甲每50秒追上乙一圈，同理，甲每40秒追上丙一圈，設一圈長度為單位為1，因為甲乙丙三人出發點不在一起，初始乙在甲前10×（v甲-v乙）=丙在甲前30×（v甲-v丙）=，∴乙丙相距∴乙追丙時間，30、公共汽車每隔*分鐘(min)發車一次，小紅在大街上行走，發先從背后每隔6分鐘開過來一輛公共汽車，而每隔分鐘迎面駛來一輛公共汽車，如果公共汽車與小紅行進的速度都是勻速的，則*為多少？解：（相遇+追及+相等量）設等距為單位1，31、有一人在公路上散步，他看到每隔12分鐘有一輛公共汽車從他背后開過來，而每隔4分鐘有一輛同一路的公共汽車迎面而來，若車和這個人的速度都是勻速的，問總站上每隔多少分鐘開一輛汽車出來？解：（追及+相遇+相等量）相鄰的公共汽車之間距離不變，設為1∴發車時間間隔=32、甲、乙兩地相距24千米，*人從甲地到乙地，步行一半路程后改騎自行車，共用4小時到達，返回時，一半路程步行，一半路程騎助力車，若返回時步行，速度是去時速度的，助車車速度是自行車速度的2倍，結果返回時比去時多用了30分鐘，求去時步行的速度與自行車的速度。解：（行程問題）設去時步行速度為*，騎車速度為y,33、甲、乙、丙三人只有一輛自行車，他們同時出發作100千米的旅行，甲先帶著丙以時速25千米前進，乙以時速5千米步行，經過一段時間后，丙下車改步行，速度同乙，而甲又折回去接乙，并將乙帶上與丙同時到達目的地，求這次旅行所用的時間。解：（行程問題）最佳方案：讓甲先帶乙走一段路，然后乙再步行，讓丙先步行，然后甲接丙一起走，則乙步行路程與丙步行路程一樣長，三人才能同時到達。設走路的長度*千米，從甲與乙分開后開始計時。34、廠長每天早晨八點鐘到達火車站，這時恰有一輛轎車到達火車站接廠長到廠里上班，有一次廠長早晨7點鐘到達火車站，然后步行遇到前來接廠長的轎車，隨即廠長就乘轎車到廠，結果比平時早到20分鐘，問廠長幾點種遇到轎車，轎車的速度是廠長步行的速度的幾倍？解：（行程問題）本題應將廠長與車早到20分鐘分開考慮廠長早到20分=提前走的時間60分-步行一段路比車走同一段路多用時間車早到20分鐘=車少了一段往返路∴車走單程路10分，廠長步行走該段路用50分，∴廠長在7：50遇到轎車35、一輛小汽車與一輛大卡車在一段狹路上相遇，必須倒車，才能繼續通過，如果小汽車的速度是大卡車的3倍，兩車倒車的速度是各自正常速度的1/5，小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車路程的4倍，為了使后通過狹路的那輛車盡早地通過這段狹路，問哪車倒車較為合理？解：（已知倍數+行程問題）設大車倒車速度為v,小車倒車速度為3v，大車行進速度為5v,小車行進速度為15v若大車倒車路程為S，若小車倒車路程為4S.若大車倒車，則兩車通過這段狹路時間為：若小車倒車，則兩車通過這段狹路時間為：所以大車倒車合理。36、*鄉鎮小學到縣城參觀，規定汽車從縣城出發于上午7時到達學校，接參觀的師生立即出發到縣城，由于汽車在赴校途中發生了故障，不得不停車修理，學校師生等到7時10分仍未見汽車來接，就步行走向縣城，在行進途中遇到了已修理好的汽車，立即上車趕赴縣城，結果比原來到達縣城的時間晚了半小時，如果汽車的速度是步行速度的6倍，問汽車在途中排除故障花了多少時間？解：（行程問題），本題應將車與人晚點分別考慮車晚點的時間30分=修車時間-少走一段路時間（往返）人晚點的時間30分=晚出發10分+步行走一段路比車走同一段路多用時間∵車速=人速的6倍，設車從學校走到碰見人的地方所用時間為*,人從學校走到碰見車的地方所用時間為6*∴人：30=10+6*-*∴*=4∴車30=修車時間-4×2∴修車時間=3837、A、B兩地相距20千米，甲從A到B，乙以B到A，2小時后二人在途中相遇。相遇后，甲返回A，乙仍向A地前進，甲回到A地時，乙離A地還有2千米，求甲乙兩人的速度。解：（行程問題，注意去時與返回時間一樣）設甲的速度為*,乙的速度為y38、8個人乘速度相同的兩輛小汽車同時趕往火車站，每輛車乘4人（不包括司機），其中一輛小汽車在距離火車站15km的地方出現故障，此時距停止檢票的時間還有42分鐘。這時惟一可利用的交通工具是另一輛小汽車，已知包括司機在內這輛車限乘5人，且這輛車的平均速度是60km/h，人步行的平均速度是5km/h。試設計兩種方案，通過計算說明這8個人能夠在停止檢票前趕到火車站。解：（行程問題）最佳方案：將人分為兩撥，第一撥先坐車，后走路，第二撥先走路，后坐車，若兩撥人同時到，則兩撥人走的路程一樣，坐車路程也一樣設走路的路程長為*km，從第一撥人與車分開后開始計時，第一撥人走路時間=車用的時間39、*團隊從甲地到相隔100千米的乙地去，其中一半人先坐專車，另一半人先步行，先坐車的一半人到途中*處下車步行，而讓汽車立即開回去接先步行的那一半人，已知步行時速4千米，汽車時速20千米，問要使大家下午6點同時到達乙地，必須在什么時候出發？解：（行程問題）見題38，方法類似十、平均數1、甲、乙兩人去江邊釣魚，甲釣了7條魚，乙釣了11條魚。中午來了一位游客，甲、乙兩人把釣得的魚燒熟后平均分成3份。餐后，游客付了6元錢給甲、乙兩人，問：甲、乙兩人應各得多少錢？解：（平均數）11+7=18，18÷3=6甲乙丙（游客）應吃7米實際吃6條6條6條∴每條魚6÷6=1元，甲收1元，乙收5元2、小明和小紅到商店買作文本，所付的錢一樣多，他倆共買了20本，小紅比小明多拿4本，因此小紅還給小明1.2元。小紅和小明共花了多少元？3、甲、乙、丙三人共出27元合伙買了一批練習本，每人出資相同。由于甲比乙少15本，乙和丙要的一樣多，因此，乙和丙每人都要給甲1.5元。三人合伙買了多少本練習本？解：（平均數）設甲拿*本，乙*+15，丙*+15平均每人∴乙多拿了5本，∴一個本價格1.5÷5=0.327÷0.3=90個本十一、不定方程1、甲、乙兩汽車零售商（以下分別簡稱甲、乙）向*品牌汽車生產廠訂購一批汽車，甲開始定購的汽車數量是乙所訂購數量的3倍，后來由于*種原因，甲從其所訂的汽車中轉讓給乙6輛，在提車時，生產廠所提供的汽車比甲、乙所訂購的總數少了6輛，最后甲所購汽車的數量是乙所購的2倍，試問甲、乙最后所購得的汽車總數最多是多少量？最少是多少輛？解：（不定方程）甲乙原訂購3**后訂購3*-6*+6∴*≥2最后購3*-6-(6-y)*+6-y=3*+y-12=*-y+6∴y≤6∴3*+y-12=2(*-y+6)∴*+3y=24解之∴3、甲、乙、丙三人去買A、B兩種類型的筆記本電腦各買1臺用去30000元，乙共買A、B兩種筆記本電腦8臺用去110000元，丙買的A種筆記本電腦臺數恰好是乙買的B種筆記本電腦臺數，而丙買的B種筆記本電腦臺數又恰好是乙買的A種筆記本電腦的臺數，問丙用去了多少錢解：不定方程中的等式加減+已知和設乙買A型*臺，則乙買B型8-*臺，丙買A型8-*臺，丙買B型*臺設A、B兩種類型單價為A，BA+B=30000①*A+B(8-*)=110000②求(8-*)A+*b="③②+③得110000+？=8（A+B）∴"=8×30000-110000=1300004、*人1992年的歲數正好等于他出生年份的數字之和，問這人2000年多少歲？解：（不定方程）設人出生年份19*y,歲數=1992-19*y=92-10*-y∴92-10*-y=1+9+*+y，∴11*+2y=82∴*=6,y=8∴該人1968年出生，2000年他32歲十二、時鐘問題1、時鐘在四點與五點之間，在＿＿＿＿＿＿＿時刻（時針與分針）在同一條直線上？解：時鐘問題V時針=1格/小時，Ｖ分針＝12格/小時起始時間4:00，∴該題為追及問題,4=(12-1)*2、鐘表上8點到9點之間，時針和分針在什么時刻兩針重合？又在什么時刻兩針成15°的角？解：時鐘問題①②3、在三點鐘與四點鐘之間，時針與分針兩針何時成一直線（不重合）？解：：時鐘問題中追及問題V時針=1格/小時，V分針=12格/小時起始時間為3：00，∴路程差為3格。4、星期日小明去找同學玩了兩、三個小時，離開家時他看了看表，回家時又看了看表，發現回家時時針與分針的位置與離家時恰好互換了一個位置，問小明共離開家多少時間？解：時鐘問題中的相遇問題時針與分針共走了12+12+12格，5、現在是10點和11點之間的*一時刻，在這之后的6分鐘的位置與這之前3分鐘時間的位置成一直線，求現在的時刻解：時鐘問題+變相的追及問題現在的時刻為10點*分，起始時間為10：00，原來路程差為10格。分針走了*+6分，時針走了*-3分后，其路程差為6格本題目也可根據分針和時針成一直線，通過簡單的比例計算得到現在時針和分針的位置，從而轉變為追及問題，因需要圖說明，故過程略。十三、相等量為11、甲乙兩廠生產同一種產品，都計劃把全年的產品銷往濟南，這樣兩廠的產品就能占有濟南市場同類產品的，然而實際情況并不理想，甲廠僅有的產品，乙廠僅有的產品銷到了濟南，兩廠的產品僅占了濟南市場同類產品的，則甲廠該產品的年產量與乙廠該產品的年產量的比為多少？解：（相等量設為1）甲廠年產量占濟南市場份數*,乙廠年產量占濟南市場份數為Y2、用庫存的A、B、C三種零件組裝甲、乙、丙三種產品，每件甲產品需用A、B各2個，每件乙產品需用B、C各1個，每件丙產品需用2個A和1個C，如果組裝P件產品，Q件乙產品和R件丙產品，則剩下2個A和一個B，但C恰好用完，證明：無論怎樣改變產品甲、乙、丙的件數，也不能將庫存A、B、C三種零件恰好用完。解：假設甲、乙、丙三種產品的價值一樣∴2A+2B=B+C=2A+C∴C=2B,B=2A∴A零件價值為"1”，B零件價值為2，C零件價值為4，∴所有零件總價值:6的倍數+2×1+2=6K+4而組裝一件產品價值為6，∴不論如何安排，剩的零件價值為4，不夠組裝一個完整產品.3、甲、乙、丙、丁4個數的和為43，甲數的2倍加8，乙數的3倍，丙數的4倍，丁數的5倍減去4，這四個數相等，求甲、乙、丙、丁4個數。解：(相等的量設為*)設2甲+8=3乙=4丙=5丁-4=*十四、分段求值1、國家規定個人發表文章、出版圖書所得稿酬應該繳納個人收入調節稅，計算方法是：eq\o\ac(○,1)稿酬不高于800元的，不納稅；eq\o\ac(○,2)稿酬高于800元但不超過4000元的，應交納超過800元的那一部分的14%稅款；eq\o\ac(○,3)稿酬高于4000元的，應該交納全部稿酬的11%的稅款．（1）*人稿酬是1200元，則他應繳納個人所得稅多少元？（2）若*人繳納個人所得稅280元，問這個人稿酬是多少元？（3）劉老師說："按照這樣的規定，有時所得稿酬多的人反而比所得稿酬少的人納稅少．”你認為劉老師這句話說得對嗎？如果對，請舉例說明；如果不對，請說明理由．解：（分段求值）①800～400間最高稅=3200×14%=448∴280應為800-400之間稅280÷14%=2000元∴稿費=800+2000=2800元對，如：*人稿酬4001，則稅=4001×11%=440.11元另一人稿酬4000，稅=3200×14%=448元2、出租汽車4千米起價10元，行駛4千米以后，每千米收費1.2元（不足1千米按1千米計算）。張天和張智要到離學校解：（分段求值）15千米13.2+10>22，∴不夠3、*城市按以下規定收取每月的煤氣費：用煤氣如果不超過60立方米，按每立方米0.8元收費，如果超過60立方米，超出部分按每立方米1.2元收費，已知，*用戶4月份的煤氣費平均每立方米0.88元，求該用戶4月份應交的煤氣費。解：（分段求值）設用了*立方米，60×0.8+（*-60）×1.2=0.88*4、小亮和爸爸坐出租車去郊游。10千米以內租費20元，超過10千米時，每千米租費3元，下車時共交租費50元。求出租車行了多少千米？解：（分段求值）50十五、倒推法1、有一筐蘋果，第一次賣出總數的一半又5個，第二次賣出余下的一半又4個，第三次又賣出第二次余下的一半又3個，還剩9個，這筐蘋果共有多少個？解:倒推法（9+3）×2=24（24+4）×2=56（56+5）×2=1222、甲、乙、丙三人各有圖書若干本，現按下面方法互相贈送。首先甲向乙、丙贈送，所送圖書的本數分別等于乙、丙原來各有圖書的本數，依同樣方法再由乙向甲、丙贈送，最后由丙向甲、乙贈送，互送后每人恰好各有64本圖書，問原來三人各有圖書多少本？解:倒推法可列表求結果甲乙丙最后646464丙問甲乙贈送前3232128乙問甲丙贈送前1611264甲問乙丙贈送前10456323、甲、乙兩水缸內共有水48桶，如果把甲缸中的水加進乙缸，使加進乙缸的水恰好等于乙缸內原有的水，然后再把乙缸中的水加進甲缸，使加進甲缸的水恰好等于甲缸剩余下的水，這時兩缸內的水量相等，問最初兩缸內各有水多少桶？解:（倒推法）甲乙第1次3018第2次1236后來2424十六、牛吃草問題1、有一片牧場，草每天都勻速地生長（草每天增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完牧草；如果放牧21頭牛，則8天吃完牧草（假如每頭牛吃草量是相等的）問：①如果放牧16頭牛，幾天可以吃完牧草？②要使牧草永遠吃不完，至多放牧幾頭牛？解：（牛吃草問題）①定義：1牛1天吃的草一個單位設草地原有草*個單位，每天新長y個單位∴y=12,*=72再設16牛m天可吃完，72+12m=16m,∴m=18②∵y=12,∴最多放12件2、有一滿池水，池底有泉眼總能均勻地向外涌流，已知用24臺抽水機6天可抽干滿池水，用21臺抽水機8天也可抽干滿池水，設每臺抽水機在單位時間內的抽水量相同，要使這一池水始終抽不干，則至多只能用幾臺抽水機抽水？解：（牛吃草問題）定義：1臺抽水機1天抽的水為1個單位，設池中原有水*個單位，每天新進水y個單位∴最多用12臺抽水機十七、其它1、甲乙兩名運動員在長100米的游泳池兩邊同時開始相向游泳，甲游100米要72秒，乙游100米要60秒，略去轉身時間不計，在12分鐘內二人相遇＿＿＿＿次。解：畫圖，時間軸（略）2、*班參加一次智力競賽，共a、b、c三題，每題或者得滿分，或者得零分，其中題a滿分20分，題b、題c滿分25分，競賽結果，每個學生至少答對一題，三題全答對的有一人，答對兩題的有15人，答對題a的人數與答對題b的人數之和為29，答對題a的人數與答對題c