奇異型（混合型非離散型離散型隨量連續隨

量的分類：隨量一、離散型隨第二節 離散型隨

量量的分布律定義：如果隨

量X

至多取可列無窮個數值：∑

pi

=

1.i=1稱X

是離散型隨為X

的分布律.x1,x2,…,pi

=P{X=xi

},滿足（1）

pi

≥

0

；（2）

∞量，并稱pi

=P{X

=xi

}，i=1,2,…常用表格表示分布律：Xx1x2…xi…P{

X

=

xi

}p1p2…pi…產品檢驗試驗例如拋離散型隨

量的分布函數為階梯型函數.思考：如何用分布函數表示分布律？對于離散型隨

量X

，由概率可加性得xi≤x{X

≤x

}=∪{X=xi}，從而有xi≤xP{X

≤

x

}=

P[

∪

{X

=xi}]

= ∑

P{X

=

xi}xi≤x所以分布函數

F(x

)=∑pixi≤x二.

常見的離散型隨

量E1：拋一枚硬幣出現正

。E3：射擊，觀察是否命中。E4：考一門課，是否通過。稱之為里試驗。E2：檢查一件產品是否合格。

兩個結果，A和A。特點：試驗只有設令隨

量

X=里試驗的兩個基本事件之一為A，P(A)=p1，若事件A

發生；{則X

的分布律為X

0

1P{X=xi} 1-p

p0，若事件A

不發生。稱X

服從(0-1)分布思考:X

的分布函數怎樣?定義：將試驗E

按下述條件重復進行n次。每次試驗的條件不變；各次試驗的結果互不影響。則稱這n次試驗為n次重復獨立試驗。重若試驗E

恰好是里試驗，或稱里試驗，則稱這n次試驗為n

里概型。對于一個

里試驗

，

可以

如下問題：事件A

首次發生的試驗次數；事件A

發生k

次時的試驗次數；n次試驗中事件A

發生的次數。在里試驗中，設事件A

發生的概率為p.1）在

里試驗中,設事件A

首次發生的試驗次數ξ.則{ξ=k}

表示首次試驗成功在第k次.

k=1,2,..,ξ

的分布律為：P{ξ

=k}=pqk-1

; (q=1-p)稱ξ

服從參數為p的幾何分布。幾何分布的一個重要性質：無后效性（無

性）P{ξ

=n+m|

ξ

>n}=P{ξ

=m}

1

P

證明：P

n

m

n

n

m,

nP

nmn

1kn1

pqk11

pqm12）在

里試驗中,設事件A發生k

次時的試驗次數為Y

Y

的分布律為：Pk

1

k t

kt

1Y

t

Cp

q

t

k,

k

1,....稱Y

服從負二項分布（帕斯卡分布）負二項分布可看作幾何分布的更一般情況。3）在n次設隨2，…，n.里試驗中事件A

發生的次數。量X

表示事件A

發生的次數，則X

=0,1，定理：在n重

里試驗中,

事件A

發生的概率為P(A)=p,0<p

<1,則事件A

發生的次數X

的分布律為PX

n

P

kkn

C

pk

1

pnkk

0,1,2..,n證:在n重里試驗中，事件A

在指定的k次試驗所以結論成立.稱隨

量X

服從二項分布，記為X

~

B(n,

p).特別地，0-1分布可以看作X

~B(1,p)。n式.

且各種方式的事件互不相容，由概率的有限中出現的概率為

pk

(1-p)n-k

.在n次試驗中，選出k

次試驗來有C

k

種不同的方可加性可得

k

kn

nnkP

k

C

p 1

p例如產品抽檢試驗

強弱對抗試驗設備排障試驗泊松分布量X

服從參數為

的泊k

=0,1,…;

。則稱隨松分布。記為

X

~

P(

)泊松分布的重要性在于:定義：若隨量

X

的分布律為P{X=k}=

k!k

e-現實中大量隨

量服從泊松分布;泊松分布可視為二項分布的極限分布.宇宙粒子定理：設隨量序列Xn~

B(n

,pn),n

=1,2,…,即nP{

X

=

k

}=Ck n-k(

p

) (1

–

p

) ,

k

=

0,1,…,

nkn

n

n若limnpn

=

則有n→∞nlim

P{X

=k

}

=-e

n→∞kk!n→∞思考:

若

lim

npn

不存在時，是否有nlim

P{X

=k

}=-e

？n→∞kk!(2)

實際問題中,

n

次獨立重復試驗中,

“稀有事件”出現的次數可認為服從泊松分布。注:lim

npn

=

n→∞n即數列{

p

}

與

{}

是同階的無窮小.

故可得1n(1)

當n

夠大,

p較小時,有nP

(

k

)

=

Ckn-kp

(1-p

)

≈-e

knkk!其中

n

p.設備排障試驗lim

=

pnn→∞

1n例1某種產品在生產過程中的廢品率為p（0<p<1），對產品逐個檢查，直到檢查出5個不合格品為止，試寫出停止檢查時已檢查的產品個數X

的分布律。解：進行

k次檢查，指定的5次檢查出現不合格品的概率為

p5（1

–

p

)k

–5。事件{X

=k}相當于第k

次檢查到的產品必為不合格品，而前k

–1

次檢查中查出4

件不合格品。這種情形共有C種不同方式。4k

-

1故分布律為P{

X

=

k

}=

C

4p5（1

–

p

)k–5，k

-

1#其中，k

=5,6,…例2設有一批同類產品共有N

個，其中次品有M

個，現從中任取(有放回)n

個，試求取出n

件中所含的次

品件數X

的分布律。解：設想產品是逐件有放回取出，由于各次抽到的次品相互獨立的，抽n

件產品相當于做n

重

里試驗。故

X

~B(n

,

M

)N所以,X

的分布律為P{X

=k

}=C(k)

(1

-n

–

k)

,其中k=0,1,2,…,n。MNMNk

n

思考:將抽取方式改為無放回抽取,X

的分布律。kNM此時稱X服從超幾何分布.k

0,1,..,l l

min(

M

,

n)例3強弱兩隊進行乒乓球對抗賽，得勝人多的一方獲勝，已知強隊每個隊員獲勝的概率為0.6，下面兩個方案中哪一個對弱隊有利？（1）雙方各出3人；

（2）雙方各出7人。解：設A

=

{弱隊獲勝}，弱隊獲勝的人數為X。雙方逐對較量從而相互獨立，故是獨立重復試驗。（1）當雙方各出3人時,

X

~

B(

3,

0.4

)。所以

P(

A

)

=

P{

X

≥

2

} =

∑C≈0.352k(30.4)k

(0.6)3-kk=23（2）當雙方各出7人時，

X~

B(

7,

0.4

)

。所以

P(

A

)

=

P{

X

≥

4

} =∑C≈0.290k(70.4)k

(0.6)7-kk=47故得到：第案對弱隊更有利一些。例4

有300

立運轉的同類機床，每臺發生故障的概率都是0.01，若一人排除一臺的故障。問至少需要多少名工人，才能保證不

排除故障的概率小于0.01。解：設X

表示同一時刻發生故障的機床數,X

~

B(300,0.01)。配N

個工人,

應使0.01

>

P{

X

>

N

}

=1

–

P{

X

≤

N

}k300-kk300(0.01) (1

-

0.01)k=0N=1

-

∑

C即是求上述不等式成立的最小N

值。例4：有300

立運轉的同類機床，每臺發生故障的概率都是0.01，若一人排除一臺的故障。問至少需要多少名工人，才能保證不

排除故障的概率小于0.01。解：設X

表示同一時刻發生故障的機床數,X

~

B(300,0.01)。配N

個工人,

應使0.01

>

P{

X

>

N

}

=1

–

P{

X

≤

N

}k300-kk300(0.01) (1

-

0.01)k=0N=1

-

∑

C即是求上述不等式成立的最小N

值。因為300×0.01=3(此值很小),故可近似認為X服從

為

的泊松分布。即

X

~

P(3)。∞于是

0.01

>

P{

X

>

N}

=

∑k=N+1查附表1

可得P{

X

>

7

}

=0.011905

>

0.01P{

X

>8

}

=0.003803

<0.01所以，至少需要配備8

個修理工人。3ke-3k!例同時拋擲兩顆

,觀察它們出現的點數,求兩顆

中出現的最大點數的概率分布.解:設兩顆

中出現最大點數為X,則X的可能取值為:1,2,3,4,5,6基本事件總數:

36X

1

只包含X

k

包含的兩顆 都出現k點

1一顆出現k點,另一顆小于k點C1

1C12

k

1X的分布律為X123456p1/361/125/367/361/411/36例已知運載火箭在飛行中,進入它的儀器艙的宇宙粒子數服從參數為λ的泊松分布.而進入儀器艙的每個粒子落到儀器的重要部位的概率等于p,試求恰有k個粒子落到儀器重要部位的概率.分解：析：從粒第子一落個到試儀驗器入重手要，部劃位分的樣試本驗空是間。由相關聯的兩設個試X表驗示所宇組宙成粒：子第進一入個儀試器驗艙是的宇個宙數粒。子由進題入設儀器X艙~，P(再λ)是即進入儀器艙m的這些粒子落到儀器艙重要部位，這類問題可P用X

全

m概率

公e式