第十八章不等式選講高考導航考試要求重難點擊命題展望1.理解絕對值的幾何意義，并能用它證明絕對值三角不等式等較簡單的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.能用絕對值的幾何意義解幾類簡單的絕對值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c類型.3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法.4.了解數學歸納法的原理及其使用范圍，會用它證明一些簡單不等式及其他問題.5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2、向量形式|α|·|β|≥|α·β|、一般形式，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用.6.了解排序不等式的推導及意義并能簡單應用.7.會用數學歸納法證明貝努利不等式：本章重點：不等式的基本性質；基本不等式及其應用、絕對值型不等式的解法及其應用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應用.本章難點：三個正數的算術——幾何平均不等式及其應用；絕對值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運用柯西不等式和排序不等式證明不等式.本專題在數學必修5“不等式”的基礎上，進一步學習一些重要的不等式，如絕對值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數學歸納法等，會用絕對值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡單問題.高考中，只考查上述知識和方法，不對恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求.知識網絡

18.1絕對值型不等式典例精析題型一解絕對值不等式【例1】設函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式f(x)＞3；(2)若f(x)＞a對x∈R恒成立，求實數a的取值范圍.【解析】(1)因為f(x)＝|x－1|＋|x－2|＝所以當x＜1時，3－2x＞3，解得x＜0；當1≤x≤2時，f(x)＞3無解；當x＞2時，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f(x)＞3的解集為(－∞，0)∪(3，＋∞).(2)因為f(x)＝所以f(x)min＝1.因為f(x)＞a恒成立，所以a＜1，即實數a的取值范圍是(－∞，1).【變式訓練1】設函數f(x)＝eq\r(|x＋1|＋|x－2|＋a).(1)當a＝－5時，求函數f(x)的定義域；(2)若函數f(x)的定義域為R，試求a的取值范圍.【解析】(1)由題設知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如圖，在同一坐標系中作出函數y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的圖象，知定義域為(－∞，－2]∪[3，＋∞).(2)由題設知，當x∈R時，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由(1)知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.題型二解絕對值三角不等式【例2】已知函數f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)對a≠0，a、b∈R恒成立，求實數x的范圍.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f(x)且a≠0得eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)≥f(x).又因為eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)≥eq\f(|a＋b＋a－b|,|a|)＝2，則有2≥f(x).解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得eq\f(1,2)≤x≤eq\f(5,2).【變式訓練2】(2013深圳模擬)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋eq\f(4,a)對任意的實數x恒成立，則實數a的取值范圍是.【解析】(－∞，0)∪{2}.題型三利用絕對值不等式求參數范圍【例3】(2012遼寧質檢)設函數f(x)＝|x－1|＋|x－a|.(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范圍.【解析】(1)當a＝－1時，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，①當x≤－1時，不等式化為1－x－1－x≥3，即－2x≥3，不等式組的解集為(－∞，－eq\f(3,2)]；②當－1＜x≤1時，不等式化為1－x＋x＋1≥3，不可能成立，不等式組的解集為?；③當x＞1時，不等式化為x－1＋x＋1≥3，即2x≥3，不等式組的解集為[eq\f(3,2)，＋∞).綜上得f(x)≥3的解集為(－∞，－eq\f(3,2)]∪[eq\f(3,2)，＋∞).(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|不滿足題設條件.若a＜1，f(x)＝f(x)的最小值為1－a.由題意有1－a≥2，即a≤－1.若a＞1，f(x)＝f(x)的最小值為a－1，由題意有a－1≥2，故a≥3.綜上可知a的取值范圍為(－∞，－1]∪[3，＋∞).【變式訓練3】關于實數x的不等式|x－eq\f(1,2)(a＋1)2|≤eq\f(1,2)(a－1)2與x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0(a∈R)的解集分別為A，B.求使A?B的a的取值范圍.【解析】由不等式|x－eq\f(1,2)(a＋1)2|≤eq\f(1,2)(a－1)2?－eq\f(1,2)(a－1)2≤x－eq\f(1,2)(a＋1)2≤eq\f(1,2)(a－1)2，解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0?(x－2)[x－(3a＋1)]≤0，①當3a＋1≥2，即a≥eq\f(1,3)時，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，因為A?B，所以必有解得1≤a≤3；②當3a＋1＜2，即a＜eq\f(1,3)時，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，因為A?B，所以解得a＝－1.綜上使A?B的a的取值范圍是a＝－1或1≤a≤3.總結提高1.“絕對值三角不等式”的理解及記憶要結合三角形的形狀，運用時注意等號成立的條件.2.絕對值不等式的解法中，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＜a的解集是(－a，a)；eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x))＞a的解集是(－∞，－a)∪(a，＋∞)，它可以推廣到復合型絕對值不等式eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋b))≤c，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ax＋b))≥c的解法，還可以推廣到右邊含未知數x的不等式，如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3x＋1))≤x－1?1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有兩個絕對值符號的不等式，如eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－b))≥c和eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－a))＋eq