22**屆高三數學第一輪復習教學案：難點突破：立體圖形的外接球與內切球問題一、基礎知識與概念：．球的截面：用一個平面去截球，截面是圓面；用一個平面去截球面，截面是圓．大圓：截面過球心，半徑等于球半徑（截面圓中最大：截面不過球心．．球心和截面圓心的連線垂直于截面．．球心到截面的距離

與球半徑R

及截面圓半徑r

的關系：

d

．．何體的外接球：幾何體的頂點在球面上；幾何體的內切球：球與幾何體的各個面都相切．二、多面體的外接球（球包體）模型：球包直柱（直錐垂直于底面的側棱（有垂底側邊棱）球包直柱

球包正方體

球包長方體

球包四棱柱

球包三棱柱

球徑公式：

，球包直錐

三棱錐

（r

為底面外接圓半徑）

四棱錐r速算模型點連心”錐：錐的頂點及球心在底面的投影都是底面多邊形外接圓的圓心（兩心一頂連成線）實例：正棱錐球徑計算方程：2h2

h22h（h為錐的高，r為面外接圓半徑）特別地，（1邊長為正面體的外接球半徑：R______________．（2底面邊長為

，高為

的正三棱錐的外接球半徑：R

（3底面邊長為a，為h的四棱錐的外接球半徑：例：1年國卷III第8題）已知圓柱的高為

，它的兩個底面的圓周在直徑為2

的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為A

B．

C．

D．

【解析】模式辨識包”的“垂底側邊棱（母線，，R

，底面半徑為r

，則由

得12

r

，V

3

．2010年全國新課標卷第題設三棱柱的側棱直于底面，所有棱的長都a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為

22A

a

B．

2

C．

2D．5

a

a22【解析“球包體”中的垂底側邊棱類型，22，4312

，

r

，所以該球的表面積

S

2

727a12

2

．答案B年國大綱卷第8題正棱錐的頂點都在同一球面上該棱錐的高為4，底面邊長為，則該球的表面積為A

81

B．

16

C．

9

D．

【解析】模式辨識“球包體”的“頂點連心錐”，h，rh216，28

2

，則所以S

4

，答案A．年國卷I題如有個水平放置的透明無蓋的正方容器，容器高，將一個球放在容器口向器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為，如果不計容器的厚度，則球的體積為

體A

500B．3320483D．cm3

cm

3

1372C．cm3

3

*【解析】設水面與球的接觸點（切點）

，球心為

O

，則

PO

垂直于正方體的上表面意P

到正方體上表面的距離為正方體上表面相交圓的半徑r

，有：2

，r2R4

4500，所以球的體積VR3

．三、定心大法：球心在過截面圓的圓心且垂直于截面圓所在平面的直線上．兩圓定心法：如下圖，過兩個截面圓的圓心分別作相應截面圓的垂線，由兩垂線的交點確定圓心．例21．已知邊長為2的形中60

，現沿對角線

折起，使得二面角

為1時，B在同一個球面上，則該球的表面積為（）A

20

B．

24

C．

D．

．在矩形

ABCD

中，

，

，沿

將矩形折成一個直二面角BAC

，則四面體

ABCD

的外接球的體積___________．在邊長為的形ABCD中

，沿對角線將菱形折成直二面角

，則三棱錐

的外接球的表面積為_____________．四、正多面體的內切球（體中球）

錐體的內切球：

圓錐的內切球：

邊長為

的正方體：

等邊圓柱（母線

邊長

的正八面體

．

．

五、正多面體的切邊球（所有的棱都相切的球）正四面體邊長為

，球半徑

正方體邊長為

，球半徑

正四面體邊長為

，球半徑例3．一個球的外切正方體的全面為6，則球的體積為．．某圓錐的截面為邊長為

的正三角形，則該圓錐的內切球的表面積______年全國卷III第10題在封閉的直棱柱

AB11

內有一個體積為

的球，若BC，AB，BC，AA，的大值是1A

B．

C．

D．

【解析】考查直三棱柱中截面的切圓為球的大圓的情景，有R

AA31，故當球徑時球的體積最大為24V3練習：

．答案B2015年全國卷II第9題已知A

，B

是球

O

的球面上兩點，

AOB

，

為該球面上的動點，若三棱錐

O

體積的最大值為36，則球

O

的表面積為A

B．

C．

144

D．

年福建漳州市月質檢三棱錐

ABC

中，SB

平面

ABC

，

5

，是邊長為3的三角形，則三棱錐ABC的外接球的表面積為（

）A

B．

5

C．

9D．

122014年南卷）一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示，將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于（）A1

B．

C．

D．年遼寧卷理10已知三棱柱

ABC的個頂都在球的球面上，1若

，

，

，

1

，則球

O

的半徑為（）A

17

B．

2

C．

D．

3102012年國新課標卷第11題已知棱錐

的所有頂點都在球

O

的球面上，ABC是長1為

的正三角形，為球O直徑，且C則此棱錐的體積A

B．

C．

D．

．在正三棱錐P，PBPC為60三棱錐外接球的體積（）

3側棱PA與面所成的角A

B．

C．

D．

4

．已知底面邊長1

，側棱長為

的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為（）A

B．

C．

D．

4年建省質檢間邊形ABCD的個頂點都在同一球面上E分別是、的點，且AB,CD，ABCD4的半徑等于

，則該球A

B．

C．

D．

65．三棱錐P的長的棱PA外接球的體積是_．

，且各面均為直角三角形，則此三棱錐的10年高考浙江卷理球

O

的面上四點A

B

C

D

平面

，BC，DABC3，球O的積____________．2016年東北三省三校聯考三棱柱

AB11

各頂點都在一個球面上側與底面垂直，

ACB

，

CACB3

，

AA41

，則這個球的表面積為____________．12在三棱柱

A1

中，側棱

AA

1

垂直底面，

，

，BC

，且三棱柱

A的積為3，則三棱柱1

AB11

的外接球表面積為．13在正三棱錐

中，M，

分別是棱

、

BC

的中點，且

AMMN

，若側棱

SA

，則正三棱錐SABC外球的表面積___________．14在三棱錐

A

中，

ABCD

，

5

，

ACBD

7

，則三棱錐B