1、10-3 梁橫截面上的切應(yīng)力及梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 1.兩條假設(shè) （1）橫截面上各點(diǎn)處的切應(yīng)力均與側(cè)邊平行。 （2）橫截面上距中性軸等距離各點(diǎn)的切應(yīng)力相等。2.切應(yīng)力公式的推導(dǎo)一、矩形截面梁的切應(yīng)力 從圖所示的梁中取出長(zhǎng)為dx的微段。10-3 梁橫截面上的切應(yīng)力及梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 1.兩條 現(xiàn)假設(shè)用一水平截面將微段梁截開(kāi)，并保留下部脫離體，由于脫離體側(cè)面上存在豎向切應(yīng)力，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，在脫離體的頂面上一定存在切應(yīng)力，且=,如圖所示。 微段梁上的應(yīng)力情況如圖所示。 dxyyzdxFSMFSM+dMdx微段梁上的受力情況如圖所示。 現(xiàn)假設(shè)用一水平截面將微段梁截開(kāi)，并保留下部脫離體，得（a

2、）由 以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側(cè)面、右側(cè)面上法向內(nèi)力的總和，dFS代表水平截面上切應(yīng)力的總和，如圖所示。 dxFN2FN1dFS其中 （b）式中的A1是橫截面上距中性軸為y的橫線以外部分的面積，如圖所示。是A1對(duì)中性軸的靜矩。bhzyA1y得（a）由 以FN1、FN2分別代表作用在脫離體左側(cè)同樣有 （c） 由于微段的長(zhǎng)度很小，脫離體水平截面上的切應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布的，所以有（d）將FN1、FN2、dFS代入式（a），得 經(jīng)整理得 dxFN2FN1dFS同樣有 （c） 由于微段的長(zhǎng)度很小，脫離體水 式（108）即為矩形截面梁橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算公式。式中：FS為橫截面上的剪力

3、；S z*為面積A1對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b為截面的寬度。 對(duì)于矩形截面梁，由圖可知 max(b)bhzyA1(a)y將其代入上式，可得 式（108）即為矩形截面梁橫截面任一點(diǎn)的切應(yīng)力計(jì)算 式中的A=bh是橫截面的面積。由此可見(jiàn)，矩形截面梁橫截面上的最大切應(yīng)力是截面上平均切應(yīng)力的1.5倍。 此式表明矩形截面梁橫截面上切應(yīng)力沿梁高按二次拋物線形規(guī)律分布。在截面上、下邊緣（ ）處，=0，而在中性軸上（y=0）的切應(yīng)力有最大值，如圖所示。即 max(b)bhzyA1(a)y 式中的A=bh是橫截面的面積。由此可見(jiàn)，矩形例題105 一矩形截面的簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知：l=3m，h=

4、160mm，b=100mm，y=40mm，F(xiàn)=3kN，求m m截面上K點(diǎn)的切應(yīng)力。 解：先求出m m截面上的剪力為3kN。面積A*對(duì)中性軸的靜矩則K點(diǎn)的切應(yīng)力Fl/3l/3FAl/3Bl/6mmzbKyhy*A*截面對(duì)中性軸的慣性矩例題105 一矩形截面的簡(jiǎn)支梁如圖所示。已知：l=3m，二、工字形截面梁的切應(yīng)力 1.腹板上的切應(yīng)力 式中：FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到截面邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz為橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；b1為腹板的厚度。 切應(yīng)力沿腹板高度的分布規(guī)律如圖所示，仍是按拋物線規(guī)律分布，最大切應(yīng)力max仍發(fā)生在截面的中性軸上。 二、工字形截面梁的切應(yīng)力 1.腹板上

5、的切應(yīng)力 式中： 翼緣上的切應(yīng)力的情況比較復(fù)雜，既有平行于y軸的切應(yīng)力分量（豎向分量），也有與翼緣長(zhǎng)邊平行的切應(yīng)力分量（水平分量）。當(dāng)翼緣的厚度很小時(shí)，豎向切應(yīng)力很小，一般不予考慮。2.翼緣上的切應(yīng)力 翼緣上的切應(yīng)力的情況比較復(fù)雜，既有平行于y 翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布的，其計(jì)算公式仍與矩形截面的切應(yīng)力的形式相同，即 式中FS為橫截面上的剪力；Sz*為欲求應(yīng)力點(diǎn)到翼緣邊緣間的面積對(duì)中性軸的靜矩；Iz橫截面對(duì)中性軸的慣性矩；為翼緣的厚度。 翼緣上的水平切應(yīng)力可認(rèn)為沿翼緣厚度是均勻分布 水平切應(yīng)力的大小沿水平方向的分布如圖所示。實(shí)踐和理論推導(dǎo)已經(jīng)證明，在整個(gè)工字型截面上切應(yīng)力的

6、方向可用圖c表示。從圖中表示切應(yīng)力方向的許多小箭頭來(lái)看，它們好象是兩股沿截面流動(dòng)的水流，從上（或下）翼緣的兩端開(kāi)始，共同朝向中間流動(dòng)，到腹板處匯合成一股，沿著腹板向下（或上）到下（或上）翼緣處再分為兩股向兩側(cè)流動(dòng)。對(duì)所有的薄壁桿，其橫截面上切應(yīng)力的方向，都有這個(gè)特點(diǎn)。這種現(xiàn)象稱為切應(yīng)力流。掌握了切應(yīng)力流的特性，則不難由剪力的方向確定薄壁桿橫截面上切應(yīng)力的方向。 水平切應(yīng)力的大小沿水平方向的分布如圖所示。實(shí)三、T字型截面梁的切應(yīng)力 T字型截面可以看成是由兩個(gè)矩形組成，下面的狹長(zhǎng)矩形與工字形截面的腹板相似，該部分上的切應(yīng)力仍用下式計(jì)算： 最大切應(yīng)力仍然發(fā)生在截面的中性軸上。 三、T字型截面梁的切應(yīng)

7、力 T字型截面可四、圓形及環(huán)形截面梁的切應(yīng)力 圓形及薄壁環(huán)形截面其最大豎向切應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，并沿中性軸均勻分布，計(jì)算公式分別為FS為橫截面上的剪力，A為圓形截面的面積。 FS為橫截面上的剪力，A為薄壁環(huán)型截面的面積。圓形截面薄壁環(huán)形截面四、圓形及環(huán)形截面梁的切應(yīng)力 圓形及薄壁環(huán)形截五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 對(duì)于等截面梁來(lái)說(shuō)，最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在剪力最大的橫截面的中性軸上。即 為了保證梁的安全工作，梁在荷載作用下產(chǎn)生的最大切應(yīng)力不能超過(guò)材料的許用切應(yīng)力，即此式即為切應(yīng)力的強(qiáng)度條件。 五、梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件 對(duì)于等截面梁來(lái)說(shuō)，最大 在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度條件和切應(yīng)力強(qiáng)度條

8、件。一般情況下，梁的強(qiáng)度計(jì)算由正應(yīng)力強(qiáng)度條件控制。因此，按正應(yīng)力強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)的截面常可使切應(yīng)力遠(yuǎn)小于許用切應(yīng)力。所以一般情況下，總是根據(jù)梁橫截面上的最大正應(yīng)力來(lái)設(shè)計(jì)截面，然后再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。但在少數(shù)情況下，梁的切應(yīng)力強(qiáng)度條件也可能起到控制作用。例如梁的跨度較短，或在支座附近作用有較大的荷載，因而使梁中出現(xiàn)的彎矩較小而剪力很大時(shí)；在鉚接或焊接的組合截面鋼梁中，其橫截面的腹板厚度與高度之比小于一般型鋼截面的相應(yīng)比值時(shí)。 在進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須同時(shí)滿足正應(yīng)力強(qiáng)度解：（1）畫出剪力圖和彎矩圖 最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大彎矩的截面上。查型鋼表可知 例題106 一外伸工字型鋼梁如圖a所示。工字

9、鋼的型號(hào)為22a，已知：l=6m，F(xiàn)=30kN，q=6kN/m，材料的許用應(yīng)力=170MPa，=100MPa，試校核梁的強(qiáng)度。 (a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b) FS圖12kN.m39kN.m(c) M圖（2）校核最大正應(yīng)力 最大正應(yīng)力 解：（1）畫出剪力圖和彎矩圖 最大正應(yīng)力應(yīng)發(fā)(a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN(b) FS圖（3）校核最大切應(yīng)力 最大切應(yīng)力應(yīng)發(fā)生在最大剪力的截面上。最大切應(yīng)力 所以此梁滿足強(qiáng)度要求。 查型鋼表可知 (a)BDCl/3qAFl/2l/212kN17kN13kN例1、矩形(bh=0.12m0.18m）截

10、面木梁如圖，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，試求最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力之比，并校核梁的強(qiáng)度。5400N5400NFS圖4050NmM圖解：（1）畫出剪力圖和彎矩圖 例1、矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如圖，（2）求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度（3）應(yīng)力之比（2）求最大應(yīng)力并校核強(qiáng)度（3）應(yīng)力之比例2、矩形截面梁如圖，已知=30 M Pa，=2 M Pa，q20kN/m，l4m，試根據(jù)正應(yīng)力條件選擇截面（假設(shè)b:h=2:3），并校核梁的切應(yīng)力強(qiáng)度。lAB解：（1）畫出剪力圖和彎矩圖 40kNm40kN40kNFS圖M圖例2、矩形截面梁如圖，已知=30 M Pa，=2(2) 根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度

11、選擇截面尺寸由得取取(2) 根據(jù)正應(yīng)力強(qiáng)度選擇截面尺寸由得取取（2）校核切應(yīng)力強(qiáng)度滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。取（2）校核切應(yīng)力強(qiáng)度滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。取（2）梁能承受的最大彎矩為例3、矩形截面梁寬度b=140mm，高度h210mm，梁上跨中作用集中力，已知=10 M Pa，=1M Pa，l4m，試求該梁能承受的最大荷載。Pl/2l/2ABCPl/4P/2FS圖M圖P/2而所以解：（1）畫出剪力圖和彎矩圖 （2）梁能承受的最大彎矩為例3、矩形截面梁寬度b=140mmP/2FS圖P/2（3）此時(shí)梁能承受的最大剪力為滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件。P/2FS圖P/2（3）此時(shí)梁能承受的最大剪力為滿足切應(yīng)力強(qiáng)例題107 圖a所示為一起重設(shè)備簡(jiǎn)圖。已知起重量（包含電葫蘆自重）F=30KN，跨長(zhǎng)l=5m。AB梁是由20a號(hào)的工字鋼組成，其許用應(yīng)力=170MPa，=100MPa。試校核梁的強(qiáng)度。 lABF(a)ABF(b)37.5kN.m(c)解：（1）校核最大正應(yīng)力 在荷載處于最不利位置（跨中）時(shí)，如圖b。梁的彎矩圖如圖c。查得20