1、7/7函數的基本性質知識總結大全沛縣第二中學數學組 張馳1.單調性函數的單調性是研究函數在定義域內某一范圍的圖象整體上升或下降的變化趨勢，是研究函數圖象在定義域內的局部變化性質。函數單調性的定義 一般地，設函數的定義域為，區間如果對于區間內的_兩個值，當時，都有_，那么在區間上是單調增函數，稱為的單調_區間. 如果對于區間內的_兩個值，當時，都有_，那么在區間上是單調減函數，稱為的單調_區間.如果函數在區間上是單調增函數或單調減函數，那么函數在區間上具有_.點評 單調性的等價定義：在區間上是增函數當時，有；在區間上是減函數當時，有；函數單調性的判定方法定義法；圖像法；復合函數法；導數法；特值法

2、（用于小題），結論法等.注意：定義法（取值作差變形定號結論）：設且，那么在區間上是增函數；在區間上是減函數。導數法（選修）：在區間內處處可導，若總有（），則在區間內為增（減）函數；反之，在區間內為增（減）函數，且處處可導，則（）。請注意兩者之間的區別，可以“數形結合法”研究。點評 判定函數的單調性一般要將式子進行因式分解、配方、通分、分子（分母）有理化處理，以利于判斷符號；證明函數的單調性主要用定義法和導數法。提醒 求單調區間時，不忘定義域；多個單調性相同的區間不一定能用符號“”連接；單調區間應該用區間表示，不能用集合或不等式表示。判定函數不具有單調性時，可舉反例。及函數單調性有關的一些結論若

3、及同增（減），則為增（減）函數，為增函數；若增，為減，則為增函數，為減函數，為減函數；若函數在某一范圍內恒為正值或恒為負值，則及在相同的單調區間上的單調性相反；函數及函數具有相同的單調性和單調區間；函數及函數具有相同的單調性和單調區間，函數及函數具有相同單調區間上的單調性相反。2.奇偶性函數的奇偶性是研究函數在定義域內的圖象是否關于原點中心對稱，還是關于軸成軸對稱，是研究函數圖象的結構特點；函數奇偶性的定義 一般地，設函數的定義域為如果對于_的，都有_，那么函數是偶函數. 一般地，設函數的定義域為如果對于_的，都有_，那么函數是奇函數. 如果函數是奇函數或偶函數，那么函數具有_.注意 具有奇偶

4、性的函數的定義域一定關于原點對稱，因此，確定函數奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱。圖象特征函數為奇（偶）函數函數的圖象關于原點（軸）成中心（軸）對稱圖形。注意 定義域含的偶函數圖象不一定過原點；定義域含的奇函數圖象一定過原點；利用函數的奇偶性可以把研究整個函數問題轉化到一半區間上，簡化問題。點評 函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件.是奇函數.是偶函數.奇函數在原點有定義，則.在關于原點對稱的單調區間內：（）奇函數有相同的單調性，偶函數有相反的單調性；（）奇函數有相反的最值（極值），偶函數有相同的最值（極值）。是偶函數.奇偶性的判定方法若所給函數的解析式較為復雜，應

5、先考慮其定義域并等價變形化簡后，再判斷其奇偶性. 如判斷函數的奇偶性。判定函數奇偶性方法如下：定義（等價定義）法；圖像法；結論法等.點評 定義法判定函數的奇偶性先求定義域，看其是否關于原點對稱，若對稱，再求，接著考察及的關系，最后得結論.判斷函數不具有奇偶性時，可用反例。及函數的奇偶性有關的一些結論若及同奇（偶），則為奇（偶）函數，和為偶函數，為奇（偶）函數；若及一奇一偶，則和為奇函數，為偶函數；定義域關于原點對稱的函數可以表示為一個奇函數及一個偶函數和的形式。函數按奇偶性分類奇函數非偶函數，偶函數非奇函數，既是奇函數又是偶函數，非奇非偶函數。點評既奇又偶的函數有無數個。如定義域關于原點對稱即

6、可。如函數。3.周期性函數的周期性是研究一些函數圖象在定義域內具有某種一定的周期變化規律； 函數周期性的定義 一般地，對于函數，如果存在一個_的常數，使得定義域內的_值，都滿足，那么函數稱為周期函數，_常數叫做這個函數的周期。如果一個周期函數的所有的周期中存在一個_的_數，那么這個數叫做函數的最小周期正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周期。點評 非零常數是周期函數本身固有的性質，及自變量的取值無關；若非零常數是函數的周期，則非零常數的非零整數倍（，且也是函數的周期；若函數的周期為，則函數（其中，為常數，且，）的周期為；定義中的等式是恒等式；函數的周期是。三角函數的周期 ； ； ；函數

7、周期的判定定義法（試值） 圖像法 公式法（利用（2）中結論）結論法。及周期有關的一些結論或的周期為；是偶函數,其圖像又關于直線對稱的周期為；奇函數,其圖像又關于直線對稱的周期為；關于點,對稱的周期為；的圖象關于直線,對稱函數的周期為；的圖象關于點中心對稱，直線軸對稱周期為4；對時,或的周期為；函數滿足，且為非零常數的周期為4；函數滿足（為非零常數）的周期6。點評 注意對稱性及周期性的關系。4.對稱性函數的對稱性是研究函數圖象的結構特點（即函數圖象關于某一點成中心對稱圖形或關于某一條直線成軸對稱圖形）；函數對稱性的定義 如果函數的圖象關于直線成_對稱或點成_對稱，那么具有對稱性。注意 利用函數的

8、對稱性可以把研究整個函數問題轉化到一半區間上，簡化問題。函數圖象對稱性的證明證明函數圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；及對稱性性有關的一些結論 函數的圖象關于直線成軸對稱。特別地，當時，函數為偶函數。函數的圖象關于點成中心對稱。特別地，當且時，函數為奇函數。點評 函數奇偶性是函數對稱性的特殊情況。若對時,恒成立,則圖像關于直線對稱；函數的圖象關于點中心對稱。5.有界性函數的有界性是研究函數圖象在平面直角坐標系中的上下界情況，重點是通過研究函數的最大（小）值（值域）來研究有界性問題。函數最大（小）值的定義 一般地，設函數的定義域為如果存在，使得對于_的，都

9、有_，那么稱為的最大值，記為_；如果存在，使得對于_的，都有_，那么稱為的最小值，記為_.注意 函數最大（小）值應該是某一個函數值；函數最大（小）值應該是所有函數值中最大（小）的，最大（小）值不同于極大（小）值。值域及最值注意函數的最值及函數的值域的區別和聯系，理解值域和最值是考察函數的有界性問題。及函數最值有關的幾個結論若函數在區間上為單調增函數，則，；若函數在區間上為單調減函數，則，；若函數在區間上為單調增函數，在區間上為單調減函數，則；若函數在區間上為單調減函數，在區間上為單調增函數，則。恒成立問題的處理方法 恒成立問題的處理方法：分離參數法(最值法)； 轉化為一元二次方程根的分布問題。

10、如：方程有解(為的值域)；不等式恒成立,不等式恒成立。 6.極值 函數的極值是研究函數在其定義域內的某一局部上的性質。這及函數的最值所研究的問題角度有所不同。 極值的定義 設函數在及其附近有定義，如果的值比附近的所有各點的函數值都大（小），則稱是函數的一個極大（小）值。極大值和極小值統稱為極值。取得極值的點稱為函數的極值點，極值點是自變量的取值，極值是指函數值。 極值的求法 圖像法；導數法。 7.零點及不動點7.1函數的零點定義 一般地，我們把使函數的值為_的實數稱為函數的零點.點評 函數的零點就是方程的實數根。從圖象上看，函數的零點，就是它的圖象及軸交點的橫坐標。利用函數的零點、方程的根、函數的圖象及軸交點的橫坐標這三者之間的聯系，可以解決很多函數及方程的問題。這就是高考的熱點內容函數及方程的思想運用。函數零點的存在性一般地，若函數在區間上的圖象是一條連續不間斷的曲線，且_，則至少存在一個實數，使得，此時實數為函數的零點.點評 若函數在區間上的圖象是一條連續不間斷的單調曲線，且0，則有惟一的實數，使得。7.2不動點 方程的根叫做函數的不動點，也是函數的零點。7.3函數、方程及不等式三者之間的關系一般地，不等式的解集