1、第 2 章 長期增長 II ：內生增長理論正如我們在第 1 章中所指出的，在索洛于 1956 年發(fā)表的經(jīng)典文章之后，增長經(jīng)濟學經(jīng)歷了將近 20 年的繁榮，但卻在上世紀 60 年代末沉寂下來。究其原因，大概可以說是索洛模型的中心結論是讓人失望的：在缺乏連續(xù)技術進步的情況下，人均增長將最終停止。但是，從實踐的角度來看，這并不是一個多世紀以來人們所觀察到的經(jīng)驗事實。因此，增長經(jīng)濟學需要注入新的理論活力才能有后續(xù)的發(fā)展。自上世紀 80年代中期以來，關于經(jīng)濟增長的研究進入了又一次的繁榮。在 Romer(1986) 發(fā)表 20年后的今天，無論是經(jīng)濟增長的理論研究還是經(jīng)驗研究都顯著地改善了其在整個經(jīng)濟學中的

2、地位。現(xiàn)在，經(jīng)濟增長既是整個宏觀經(jīng)濟學領域的研究重點，也是現(xiàn)代宏觀經(jīng)濟學教材中不可或缺的組成部分。這和 60年代末到 80年代中期的狀況形成了鮮明的對比，那時候，經(jīng)濟學家們的研究興趣主要集中于短期的經(jīng)濟波動，無論是在發(fā)表于各種學術期刊的文章中，還是在各種級別的經(jīng)濟學教材中，關于經(jīng)濟增長的內容扮演的都只是次要的角色。Romer(1986) 和 Lucas(1988) 是今天我們稱之為內生增長理論或新增長理論這一領域的兩篇經(jīng)典文章，盡管他們強調的重點有所不同，分別是知識資本和人力資本。在他們的模型中，資本這一生產(chǎn)要素被賦予了新的解釋，從而克服掉了資本邊際報酬遞減這一導致了索洛模型的中心結論的關鍵性

3、假定，進而長期的人均經(jīng)濟增長可以內生地實現(xiàn)。但是，這一類型的內生增長模型并不需要真正的內生技術進步，經(jīng)濟的長期正增長來源于知識在生產(chǎn)者之間的擴散或者人力資本所帶來的外部效應或替代效應。眾所周知，知識的一個重要特征是非競爭性。因此，要想實現(xiàn)知識的連續(xù)進步的話，就必須賦予知識的發(fā)明者一定的壟斷權利作為激勵，即其在知識的使用方面應當具有一定的排他性，這就要求研究增長的經(jīng)濟學家們突破傳統(tǒng)的完全競爭框架來為知識或技術進步在生產(chǎn)中的作用建模，真正地將知識的這種特征引入增長理論的研究始于Romer(1987,1990) 以及 Aghion andHowitt(1992)，這就是今天我們所說的內生技術進步模型

4、。他們在各自的增長模型中都不約而同地引入了不完全競爭框架，從而有壟斷利潤作為R&D活動的激勵，這就為技術進步的內生化提供了一個合理的解釋。此外，內生增長理論還包括試圖將索洛模型中的另一外生變量人口增長率內生化的研究工作，其中關鍵的想法是將生育選擇分析整合進增長理論的框架， 或者構造一些涉及到遷移或勞動/ 閑暇選擇的模型， 這方面的開創(chuàng)性文獻包括Braun(1993) 以及 Becker 和 Barro(1988,1989)等。第一節(jié)生產(chǎn)性要素的非遞減報酬我們已經(jīng)知道，索洛模型中的條件收斂性質或者正的長期人均增長依賴于連續(xù)的外生技術進步的性質都是源自資本的邊際報酬遞減的假定。構造內生增長理論的途

5、徑之一正是設法消除掉這一可積累要素所經(jīng)歷的報酬遞減的長期趨勢。關于報酬遞減或遞增的討論由來已久。例如，埃德蒙 ?惠特克（ Edmund Whittaker ）在經(jīng)濟思想流派一書中寫到（第 177頁），“ . 業(yè)會隨著生產(chǎn)規(guī)模的擴張而報酬遞減，而工業(yè)制品則在報酬遞增的條件下擴農(nóng)張，是十九世紀絕大部分時期英國正統(tǒng)經(jīng)濟學家的特色，既使在二十世紀也并未完全消失” ；在同一著作中， 埃德蒙 ?惠特克還寫到 （同上書， 第 179頁），“李嘉圖在他的論述中承認，農(nóng)業(yè)和制造業(yè)都受到兩種互相矛盾的力量的影響：（1）由于自然原料，尤其是食物費用的增加而出現(xiàn)的報酬遞減趨勢，以及（ 2）由于生產(chǎn)方法改良而出現(xiàn)的報酬

6、遞增趨勢。 ”這就是說，報酬遞減或遞增取決于我們如何去理解生產(chǎn)過程中所使用的基本要素。如果我們只是在傳統(tǒng)的意義上去理解生產(chǎn)要素的話，則實物資本、勞動以及土地所經(jīng)歷的報酬遞減可以說是合理的。但是，技術進步或知識這一類要素對于生產(chǎn)的貢獻則很難說是報酬遞減的。這是因為，知識并不同于一般的消費品，它的使用在一定的意義上是非競爭性的。例如，一張關于某個在建工廠的藍圖也可以同時用于其他 10個工廠的建設，卻并不帶來設計成本的增加；又如，在現(xiàn)代增長經(jīng)濟學的學習中我們經(jīng)常要用到的龐特里雅金（ Pontryagin ）最大值原理，一位研究者使用的同時并不防礙其他研究者的使用；再比如，微軟公司設計發(fā)行的 Wind

7、ows操作系統(tǒng)，眾多計算機的同時使用并不會降低這一軟件本身的性能。考慮到知識的這一特殊性質，傳統(tǒng)的規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)就會遇到技術上的困難。因為由歐拉定理可知，競爭性要素投入所要求的回報將會把最終產(chǎn)品分配凈盡，從而非競爭性要素投入將無法獲得補償。因此，如果要在生產(chǎn)函數(shù)中引入非競爭性的生產(chǎn)要素話，原有的規(guī)模報酬不變的性質就會被破壞，這就是最初的內生增長理論假定規(guī)模報酬遞增的主要原因。接下來的問題是，具有非競爭性的知識是如何產(chǎn)生，又是由誰來提供的呢？一種簡單的辦法是將知識處理為公共物品， 例如第 1章中介紹的索洛模型以及本節(jié)要介紹的內生增長模型都是采取的這一辦法。但是，這兩類模型在關于知識的假定

8、上又有重要的區(qū)別，索洛模型直接假定知識是外生給定的，并同時具有公共物品的性質，而本節(jié)的模型則是通過假定資本的投資具有一定的正外部性，即知識是在投資的過程中逐漸獲得的，并且一經(jīng)獲得就具有了公共物品的性質。另一種辦法則是在保證知識使用的非競爭性的同時，賦予知識的使用以一定的排他性，從而知識的發(fā)明者可以通過他所享有的這種對于知識的壟斷權而獲得一定的壟斷利潤，以此作為對于知識的創(chuàng)造者的激勵。這就意味著，如果要想將知識資本引入增長模型，就必須突破傳統(tǒng)的完全競爭框架，這在一定程度上增加了理論的難度，這是下一節(jié)中要介紹的內生技術進步模型的主要思想。Romer(1986) 和 Lucas(1988)模 型 是

9、 內 生 增 長 理 論 的 開 端 標 志 。Romer(1986)模型秉承的是 Young(1928) 中的報酬遞增和Arrow(1962) 中的將知識處理為公共物品的思想，通過假設知識的創(chuàng)造是投資的一個副產(chǎn)品來消除掉報酬遞減的趨勢。因此，這一模型仍然容許完全競爭的框架，并沒有真正地刻畫出知識本身的特征，而只是通過經(jīng)濟的外部性來間接地捕捉知識資本的效應， 當然其最終的結果將不再是帕累托最優(yōu)的。 Lucas(1988) 模型也是將知識處理為公共物品， 但是和 Romer(1986) 模型不同的是， 盧卡斯模型秉承的是 Uzawa（ 1965）中的思想， 強調的是人力資本， 并且假定人力資本的

10、積累具有外部性。下面我們將要具體討論這兩種類型的增長模型，而在此之前，首先介紹一個最簡單的內生增長模型AK模型。一、最簡單的內生增長模型：AK模型在所有試圖消除資本報酬遞減趨勢的內生增長模型中，AK模型是最早的也是最簡單的一個。在索洛模型中，假定生產(chǎn)函數(shù)具有如下的AK形式：YAK其中 A 是大于零的常數(shù)，這意味著資本的報酬并不隨著自身的積累而遞減，而是保持為一個恒定的水平 A 。我們繼續(xù)沿用索洛模型中關于各種參數(shù)的假定，于是，人均資本存量的增長率為：ksAn由于yAk以及c1s y ，從而此模型中的所有人均變量y 、 k、c 都以速度k 增長。若sAn，則k0 ，從而經(jīng)濟的長期人均正增長得以實

11、現(xiàn)，并且更重要的是，這一正增長率是依賴于模型中的各種行為參數(shù)的，這將為各種經(jīng)濟政策的使用提供一個理論基礎。AK模型的一個重要缺陷是缺乏收斂的性質，即在AK模型中，增長率不依賴于模型的狀態(tài)變量k ，具有不同初始水平的經(jīng)濟都將以相同的速度增長，這是和大量關于經(jīng)濟增長的經(jīng)驗研究的文獻所支持的條件收斂結論相悖的。為得到具有轉移動態(tài)的內生增長模型， Jones and Manuelli(1990) 提出了如下修正形式的 AK型生產(chǎn)函數(shù)：YAKBKL1這是一個 AK型生產(chǎn)函數(shù)和一個新古典型生產(chǎn)函數(shù)的組合。在這樣的生產(chǎn)函數(shù)假定下，資本的報酬率在漸近的意義上是非遞減的，從而此模型可以在實現(xiàn)內生增長的同時又預測

12、出條收斂的性質。客觀地說， AK模型及其變種（有時亦將這一類模型稱為凸性增長模型）通過假定的方式來消除掉資本的報酬遞減趨勢的這一方式過于簡單，至今為止，對此種假定的唯一流行的解釋是： K 表示的是廣義的資本概念，從而可以避免積累過程中的長期遞減趨勢。但是，無論是從經(jīng)驗研究的角度來看，還是從理論建模的觀點出發(fā)，這種假定都失于簡單。我們不妨自問一下，模型中的這種報酬非減的資本概念到底應該和現(xiàn)實生產(chǎn)過程中的哪些具體資本形式聯(lián)系在一起呢？或者說，我們到底應該組合現(xiàn)實生產(chǎn)中多少形式的資本后才能認為這種復合資本的報酬率是非減的呢？這在經(jīng)驗上是一個難以回答的問題。另一方面，從理論上講，如果我們已經(jīng)將增長模型

13、中的唯一可積累要素的報酬假設為非遞減的，那么此模型最終表現(xiàn)出穩(wěn)態(tài)的內生增長就不應該是太讓人驚訝的結論，畢竟我們一般來說是以模型的假設前提與最終結論之間的距離遠近來評價一個模型的理論價值大小的。AK二、邊干邊學（Learning by Doing）模型AK模型中產(chǎn)生內生增長的關鍵在于不存在可積累要素的遞減報酬。在八十 年 代 重 新 激 活 了 增 長 理 論 領 域 的 經(jīng) 典文 章 中 ， Romer(1986) 借 用 了 Arrow(1962) 的框架，通過假設知識的創(chuàng)造是投資的一個副產(chǎn)品來消除掉報酬遞減的趨勢。也就是說，一個增加了其物資資本的企業(yè)同時也學會了如何更有效地生產(chǎn)。 經(jīng)驗對于

14、生產(chǎn)率的這一正向影響被稱為邊干邊學或干中學。 在 j 介紹 Romer(1986) 中的模型之前，我們利用一種簡單的方式來闡明邊干邊學的思想。 1假定代表性企業(yè)i 的生產(chǎn)函數(shù)為：YiF K i , KLi其中Yi 、 K i 、 Li 分別表示企業(yè)的產(chǎn)出、資本投入、勞動投入。K 表示經(jīng)濟的總資本存量：KK i。注意，這里的新古典生產(chǎn)函數(shù)F和我們在前兩i章討論過的新古典生產(chǎn)函數(shù)的一個重要區(qū)別在于，之前的生產(chǎn)函數(shù)中代表技術水平的參數(shù)現(xiàn)在由經(jīng)濟的總資本存量來表示。這就意味著，在每一個廠商增加自己的資本投入的同時， 也增加了自己的生產(chǎn)效率。 但是，我們要假定，對于單個企業(yè)來說，它是意識不到投資的這種正

15、外部經(jīng)濟的，在其進行決策時，唯一關注的仍是要素投入的私人邊際產(chǎn)品。當然，這里的另外一個隱含假定是，每個企業(yè)的知識都是公共品，任何其他企業(yè)都可以無成本地獲得。因此，知識一經(jīng)發(fā)現(xiàn)，就立刻外溢到整個經(jīng)濟范圍內。 2 企業(yè)的利潤最大化問題是：Barro and Sala-i-Martin (1995) Economic Growth, McGrawhill.在最初的討論邊干邊學的模型中，這種關于知識外溢效應的假定是不可或缺的。maxiF Ki , KL irK iwL i其中i 表示企業(yè)的利潤， r 和分別表示資本的利息率和折舊率，w 表示工資率。上述問題的一階條件是：Yi / K ir，Yi / L

16、iw從人均資本存量的角度來看，我們可將上述條件改寫為：yi / kif1 ki , KrYi / Lif ki , Kki f 1 ki , Kw其中 f1 ki , K 表示資本的私人邊際產(chǎn)品， 這里并未考慮ki 通過經(jīng)濟的總資本存量 K （即生產(chǎn)率參數(shù)）對于產(chǎn)出所作出的正向貢獻。由于經(jīng)濟中的所有企業(yè)都是對稱的，從而在經(jīng)濟均衡時每個企業(yè)都將選擇相同的資本投入， 這意味著代表性企業(yè)的人均資本存量ki 等于整個經(jīng)濟的人均資本存量 k 。于是，資本的平均產(chǎn)品為：f ki , K / kif 1, K / kif L而資本的私人邊際產(chǎn)品為：f1 ki , Kf LL f L需要注意的是，這里我們所得

17、到的資本的平均產(chǎn)品和邊際產(chǎn)品的表達式都不依賴于資本存量本身，換句話說，在前一章中所遇到的資本的報酬隨著資本存量的增加而遞減的趨勢不存在了。如果我們假定經(jīng)濟的總人口是不變的，則資本的平均產(chǎn)品和邊際產(chǎn)品就都是不變的量，這和我們在上一節(jié)中介紹的AK模型是一致的。在這樣的生產(chǎn)函數(shù)的假定之下，如果我們繼續(xù)沿用上一章中介紹拉姆齊模型時的記號，易知人均消費增長率的表達式為：cucucf LL f Lc與 AK模型一樣，上述增長率是不變的。在一定的參數(shù)假定之下，我們可以得到正的人均增長率。31986年，保羅 ?羅默在著名的 “政治經(jīng)濟學雜志”上發(fā)表的文章 “遞增報酬與長期增長”重新激活了關于增長經(jīng)濟學的研究。

18、在這篇文章中，羅默假定知識是一種具有遞增邊際產(chǎn)品的資本品，并且當其他的投入要素給定時，消費品的生產(chǎn)是知識存量的函數(shù)。確切地說，如果某一企業(yè)犧牲I 數(shù)量的當前消費而投入于研究部門，并且該企業(yè)的當前知識資本存量為k 的話，則該企業(yè)的知識資本的積累規(guī)律為：kG I , k函數(shù) G 被假定為是一次齊次且凹的。因此，k / kg I / k其中 g I / kG I / k,1 。進一步假定函數(shù)g 是上有界的，并且g 00 。消費品的生產(chǎn)函數(shù)假定為：yF k, K , X其中 k 表示代表性廠商所特有的知識資本，k t 表示總的知識資本存量，而 X表示除去知識資本之外的物資資本、勞動等生產(chǎn)要素。 關于函

19、數(shù) F 的假定主要有兩個： 一、對于 K 的任意給定值，F(xiàn) 關于 k 和 X 是凹且一次齊次的；二、對于 X 的任意給定值，如果KNk （這里 N 表示經(jīng)濟中企業(yè)的數(shù)目）的話，則 F 關于 k 是凸的。第一個假定捕捉的是私人知識資本的競爭性特征，第二個假定強調的是從整個社會的角度來看，知識的邊際生產(chǎn)力是遞增的，即生產(chǎn)函數(shù)F 表現(xiàn)出規(guī)模報酬遞增的性質。這一特征同時也是Romer(1986)中的生產(chǎn)函數(shù)和Arrow(1962) 中的生產(chǎn)函數(shù)的不同之處。為簡單起見，假定只有知識資本存量是可以增加的，而以X 表示的其他生產(chǎn)要素的供給則是固定不變的，于是可以將生產(chǎn)函數(shù)簡記為f k, K。在上述這些假定條

20、件下，羅默構造出下述形式的無限期界增長模型：maxu c t et dt0s.t.k tgf k t , K tc tk tk tk 0 給定3 比如，我們可取CIES 的效用函數(shù)，并假定：/f LL f L1fLLf L需要注意的是， 上述模型忽略掉了人口增長、折舊以及其他的生產(chǎn)要素，而只專注于由遞增報酬導致的長期增長。利用庫恩 - 塔克定理， 羅默證明了在一定條件下，上述優(yōu)化問題存在一個具有外部性的競爭均衡，在這樣的均衡狀態(tài)下，人均消費和人均知識資存量可以無限地增長。特別地，由于羅默構造的是一個單部門的增長模型，并且模型中只有一個狀態(tài)變量和一個控制變量，因而可以利用標準的二元微分系統(tǒng)的相圖

21、分析來得到經(jīng)濟從初始狀態(tài)向穩(wěn)態(tài)過渡的直觀表示。在 Romer (1986)中，他首先選取了 Cobb-Douglas 形式的生產(chǎn)函數(shù)，然后針對兩種特殊的效用函數(shù)分析了經(jīng)濟的轉移動態(tài)行為。4三、人力資本模型在模型中引入人力資本是產(chǎn)生內生經(jīng)濟增長的另一條途徑。但是，人力資本概念引致的內生增長機制與上一小節(jié)中介紹的邊干邊學思想不盡相同。從本質上來說，人力資本概念更像是我們將在下一節(jié)中介紹的技術進步的一種替代。為更好地闡述具有人力資本的增長理論，我們首先介紹一個單部門的人力資本模型，然后再簡要介紹盧卡斯在1988年發(fā)表的著名模型。假定生產(chǎn)函數(shù)是 Cobb-Douglas 型的：YAKH 1， 01其中

22、 H 表示生產(chǎn)中的人力資本投入。經(jīng)濟的產(chǎn)出有三種用途：消費C 、物資資本的投資 I K ，以及人力資本的投資 I H 。于是，經(jīng)濟所面臨的資源約束為：YAKH 1CI KI H我們假定物資資本和人力資本以相同的速度0 折舊。于是，這兩種資本的積累規(guī)律為：KI KK ， HI HH假定家庭具有通常的跨期可分形式的效用函數(shù)，在中央集權經(jīng)濟制度的規(guī)定下，最優(yōu)化問題的 Hamilton 函數(shù)為：Lu c etI KKI HHw AKH 1CI KI H利用最大值原理，我們得到優(yōu)化問題的一階必要條件：4 具體內容可參閱Romer(1986)。L/C0,L/IK0,L/IH0KIKK,HIHHL/K,L/

23、H這些必要條件再加上對應于不同邊界條件的橫截性條件，我們就可以確定出最優(yōu)的消費路徑、物資資本積累路徑和人力資本積累路徑。同時，我們也可以利用這些必要條件計算出模型的穩(wěn)態(tài)增長率。為了得到具體形式的解，我們取效用函數(shù)為 CIES的形式：u CC 11/1，0則由上述一階條件可得：C1 AK / H1AK / H1A 1K / H于是K / H/ 1因此，rA11這意味著物質資本和人力資本的凈報酬率在K / H 保持不變時是一個常數(shù)，也就是說當 K 和 H 以相同的速度增長時，遞減報酬不再使用。于是，我們得到了穩(wěn)態(tài)的增長率：1A11在上述表達式中，如果各種參數(shù)選擇適當，就可以得到一個正的增長率。關于

24、原始的 Lucas(1988) 模型，我們可簡單介紹如下：maxet1c t 11N t dt1s.t.N t c tK t1AK t u t h t N tha th t h tG 1u t其中0 ，即生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)出報酬遞增的性質，而且人力資本通過教育部門的生產(chǎn)是密集于人力資本的。利用最大值原理，盧卡斯得出了此模型豐富的動態(tài)特征，并證明了在一定條件下可得到內生增長。 5其中的關鍵性結論是， 物質資本和人力資本之間的不平衡對于增長率的影響是不對稱的：如果人力資本相對豐富，則產(chǎn)出和消費的增長率會隨著人力和物質資本之間的不平衡程度的加大而上升；如果人力資本相對稀缺，則它們就會隨著不平衡程度的加大而

25、下降。這一結論和具有物質和人力資本的單部門內生增長模型的結論是不同的，在那里，物質和人力資本的不平衡對于增長率的影響是對稱的。產(chǎn)生上述性質的原因是關于人力資本生產(chǎn)技術的特殊假定，即人力資本的生產(chǎn)是密集于人力資本的。例如，當人力資本相對稀缺時，則在物資資本的生產(chǎn)過程中，人力資本的邊際產(chǎn)品就要相對地高，因而可以預期經(jīng)濟增長的發(fā)生主要是由于人力資本的高增長率； 但是，宇澤 - 盧卡斯模型中的人力資本相對稀缺也意味著一個較高的工資率水平，這就使得人力資本生產(chǎn)部門的經(jīng)營成本較高，這一較高的成本刺激人們把人力資本更多投入于物資資本的生產(chǎn)，而不是原本就相對稀缺的人力資本的生產(chǎn)，這種效應最終會延緩經(jīng)濟的增長率

26、。需要指出的是， Romer(1986) 模型和 Lucas(1988) 模型產(chǎn)生內生增長的機制是不一樣的。在羅默模型中，由于知識的積累存在外溢效應，這使得知識資本的平均產(chǎn)品不再遞減，從而克服了資本的報酬遞減趨勢，長期的人均正增長得以實現(xiàn)； 而宇澤 - 盧卡斯模型是一般的具有人力資本的內生增長模型的一種特殊形式，一般來說，在具有人力資本的模型中產(chǎn)生內生增長的主要原因是，資本的報酬率依賴于物資資本存量和人力資本存量的比例，而當這兩種資本以相同的速度增長時，遞減報酬就不再適用，從而穩(wěn)態(tài)的正增長得以實現(xiàn)。在宇澤 - 盧卡斯模型中， 物資資本和人力資本由不同的技術所生產(chǎn)， 并且人力資本的生產(chǎn)是密集于人

27、力資本的，對于生產(chǎn)結構的這一修正會使得此模型表現(xiàn)出比一般的人力資本模型更豐富的動態(tài)特征，具體來說，物資資本和人力資本的不平衡在宇澤 - 盧卡斯模型中對于增長率的影響是不對稱的。第二節(jié)內生技術進步我們已經(jīng)看到，既使在缺乏技術進步的情況下，只要能夠消除掉模型中的資本報酬遞減趨勢，就可以得到內生的正增長。因此，上一節(jié)中的內生增長是由外部經(jīng)濟或物質資本存量和人力資本存量之間比例的變化產(chǎn)生的，并不需要真正地將技術進步引入增長模型，盡管這些模型也常常被稱為是實現(xiàn)了技術進步的內生化。真正地將內生技術進步引入增長模型的奠基性工作是 Romer(1987,1990) ， Aghion and Howitt(19

28、92) 以 及 Grossman and5 模型的具體推導可參閱Lucas(1988).Helpman(1991) ，在他們的模型中， 技術進步是有目的的科學研究活動的結果，并且由于賦予了知識這種物品既不同于普通物品也不同于公共物品的特殊特征，其報酬將不符合完全競爭經(jīng)濟中作為價格接受者的廠商的行為假定，而是具有了一定的壟斷權力，由此獲得的壟斷利潤可以作為對科研活動的激勵。Romer(1990)主要討論的是產(chǎn)品種類的增加對于增長的影響。在他的模型中，新產(chǎn)品的開發(fā)類似于基礎創(chuàng)新的活動，其中所需的知識是一類特殊的物品，既不同于普通的物品，也不同于公共物品。一般來說，普通物品是競爭性的 （ Rival

29、ry ），并且也是排他性的 （ Excludability ）；公共物品一般是非競爭性的， 并且也是非排他性的。 而 Romer(1990) 認為，對于經(jīng)濟增長最有意義的情形，也是最能體現(xiàn)技術進步特征的知識物品卻一般是非競爭性，并同時具有一定排他性的。如果我們將羅默模型所描述的產(chǎn)品種類增加型的技術進步稱為水平方向的創(chuàng)新（ Horizontal Innovation）的話，則 Aghion-Howitt模型所定義的技術進步類型則可稱為垂直方向的創(chuàng)新 (Vertical Innovation) ，這種類型的技術進步描述的不是新產(chǎn)品的開發(fā)，而是已有產(chǎn)品的質量的不斷改進。基于熊彼特提出的“破壞性創(chuàng)新”

30、的思想，Aghion and Howitt(1992)構造了一個內生增長模型，其中的增長源泉正是垂直方向的創(chuàng)新，而這種創(chuàng)新是由競爭性的研究部門提供的。在任一時期當中，研究活動的數(shù)量取決于下一時期當中研究活動的期望數(shù)量，這是因為下一次創(chuàng)新會導致當前壟斷利潤的完全喪失，而下一次創(chuàng)新的成功概率的大小取決于研究活動的多少，因此，期望的將來的研究活動越多，從事當前的研究活動的積極性就越低。在 Aghion-Howitt 模型中，經(jīng)濟的產(chǎn)出取決于整個經(jīng)濟范圍內研究活動的數(shù)量，具體的說， GNP服從一具有漂移項的隨機游走。而作為一隨機變量的增長率本身，其均值和方差都是關于創(chuàng)新規(guī)模、技術型勞動的規(guī)模以及研究活

31、動的生產(chǎn)率的遞增函數(shù)；都是關于代表性個體的時間偏好率的遞減函數(shù)。一、產(chǎn)品種類增加型的技術進步（1） 一個簡單形式 6假定人口的數(shù)量 L 固定，每一個體都是無限生存的，并且擁有一單位的可用于制造業(yè)的勞動。為簡單起見，我們假定沒有對于閑暇的需求，從而每一個人都無彈性地提供她所擁有的一單位勞動 （無論工資率如何） 。個體每一期的效用只依賴于消費，效用函數(shù)取等彈性的形式：u cc11 / 1本節(jié)內容主要參考 Aghion and Howitt (2009) . Economics of Growth. MIT Press.個體使用不變的時間偏好率來貼現(xiàn)效用。正如我們在第1 章中看到的，這意味著穩(wěn)態(tài)的增

32、長率和利息率遵循如下歐拉方程：1gr最終產(chǎn)品的生產(chǎn)環(huán)境是完全競爭的，使用勞動以及一系列指標為的中間品投入，其中Mt 是產(chǎn)品種類的度量。在每一時刻t ，最終產(chǎn)品的生產(chǎn)函數(shù)為：YtM txi diL10其中 Yt表示產(chǎn)出， xi 表示中間品 i 投入的數(shù)量。勞動投入始終是不變的數(shù)量L。系數(shù)位于 0 和 1 之間。每一種中間產(chǎn)品都需要最終產(chǎn)品作為投入且一比一地生產(chǎn)出來。也就是說，生產(chǎn)一單位的中間產(chǎn)品 i需要一單位的最終產(chǎn)品作為投入。產(chǎn)品的種類數(shù)可以提高經(jīng)濟整體的生產(chǎn)率。為了說明這一機制，記用于中間品生產(chǎn)的最終產(chǎn)品的數(shù)量為X 。按照前面提到的一比一的技術，X必定tt等于所有的中間品數(shù)量：tX txi

33、di0現(xiàn)在假定每一種中間品都生產(chǎn)相同的數(shù)量 x（稍后將看到，在均衡時確實如此），則 x=Xt /Mt 。將這一表達式代入生產(chǎn)函數(shù)可得：Yt L1M tX t / M t di M t1 L1 X t0在給定 L 和 Xt 的條件下，上式關于Mt 是遞增的：Yt / M t1Yt / M t0最終產(chǎn)品可用于消費和投資（生產(chǎn)各種設計）。除此之外，其唯一的用途就是生產(chǎn)中間品。因此，經(jīng)濟的國內生產(chǎn)總值（GDP）就是最終產(chǎn)品 Yt 減去其用于生產(chǎn)中間品的數(shù)量：GDP YtX t每一種中間產(chǎn)品都由其發(fā)明者壟斷地進行生產(chǎn)。在每一期中，此壟斷者最大化以最終產(chǎn)品度量的如下利潤流：ipi xixi其中 pi 是以

34、最終產(chǎn)品為單位的價格。也就是說，在給定一比一技術的條件下，壟斷者的收益就是價格乘以數(shù)量，而成本就等于產(chǎn)出。在完全競爭的經(jīng)濟中，一單位投入的價格等于其邊際產(chǎn)品的價值，于是我們有：piYt /xiL1xi 1因此，壟斷者的利潤依賴于其產(chǎn)出：iL1xixi壟斷者選擇xi 來最大化上述表達式，其一階條件為：i /xi2 L1xi 110由此得到，每一部門i 的均衡數(shù)量都是一樣的：2xL1進而每一部門的均衡利潤流也是一樣的：12L1將 Xt =Mtx 代入生產(chǎn)函數(shù)，然后再由 GDP的定義式可知，最終產(chǎn)品的產(chǎn)出以及經(jīng)濟的 GDP都是和產(chǎn)品種類數(shù)成比例的：YtM t L1xGDPtM t L1xx于是， G

35、DP的增長率和如下產(chǎn)品種類數(shù)的增長率也是成比例的：1dM tgM tdt產(chǎn)品種類數(shù)的增長率依賴于投入到科研中的最終產(chǎn)品數(shù)量。也就是說，科研活動的每一時刻的產(chǎn)出就是新設計的數(shù)量，而每一個新的設計都可以開發(fā)出一種新產(chǎn)品。因此，我們有：dM t / dtRt其中是表示研究部門生產(chǎn)率的一個（正的）參數(shù)。假定經(jīng)濟的研究部門是完全競爭的，允許自由進入，則研究部門的利潤流必定等于零。對于發(fā)明者而言，每一新設計的價值為 ，即利潤流 在市場利率為 r 時的貼現(xiàn)值。于是，從事科研的利潤流為：/ rRtRt即收益流 （產(chǎn)出 Rt 乘以價格）減去成本。 為使得這一利潤流為零，利率必須滿足如下的“科研套利”方程：r也就

36、是說，利率必須等于企業(yè)家每一單位的科研投入所獲得的利潤流。將科研套利方程代入增長率的表達式，我們得到：g用表達式（ 3.7 ）替換上式中的，我們就可將均衡增長率表示成模型的基本參數(shù)的函數(shù)：12L1g由此可知，經(jīng)濟增長率隨著參數(shù)表示的科研生產(chǎn)率的增加而增加，隨著勞動供給 L 表示的經(jīng)濟規(guī)模的增加而增加，隨著時間偏好率的增加而下降。g 關于 L 遞增的這一預測曾經(jīng)被認為是上述模型的優(yōu)點，它表明，規(guī)模越大的國家或自由貿(mào)易區(qū)，增長得越快。但是， C. Jones(1995b) 指出，這一預測是不符合事實的， 因為自 1950 年以來，美國的研究人員數(shù)量顯著地增加了，而這一時期的增長率卻保持在 2%左右

37、。（2） Romer(1990)的模型 *假定經(jīng)濟中具有四種基本的要素投入：物資資本、勞動、人力資本和表示當前技術水平的一種指標 （我們可稱之為技術方案集） ；經(jīng)濟由三個部門組成：研究部門、中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門和最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門。研究部門利用人力資本以及現(xiàn)有的知識水平來生產(chǎn) （發(fā)明） 出新的知識 （技術方案）；中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門利用研究部門發(fā)明的技術方案以及最終的產(chǎn)出作為投入，以生產(chǎn)出更多的中間物品；最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門則利用勞動、人力資本以及相應的中間物品來生產(chǎn)出最終的產(chǎn)品。假定最終的產(chǎn)品既可以消費掉，也可以作為資本來積累。首先，羅默假定 Cobb-Douglas 型的生產(chǎn)函數(shù)：A1diY H

38、 Y , L, x H Y L x i0其中 H Y , L, x 分別表示生產(chǎn)過程中所需的人力資本，勞動以及資本品（中間產(chǎn)品）； A 是可以使用的中間產(chǎn)品的種類，用來表示當前的技術水平。注意，這里關于資本品的假定和我們前面使用過的略有不同。如果我們使用總資本來表示資本投入的話，則意味著所有不同類型的資本品之間是完全替代的；而上述關于資本投入的加性可分形式則意味著某一資本品的邊際產(chǎn)品是獨立于其他資本品的使用量的，因而一種新型資本品的引入既不是對舊品種的直接替代，也不是直接互補。由生產(chǎn)函數(shù)關于要素投入的一次齊次性可知，我們仍然可以在完全競爭的框架內來討論最終產(chǎn)品的生產(chǎn)者的行為，也就是說，我們仍然

39、可以將整個最終產(chǎn)品的生產(chǎn)行業(yè)想象為一個代表性的作為價格接受者的廠商。這一特點是和中間產(chǎn)品的生產(chǎn)廠商的行為很不一樣的，由于不同的中間產(chǎn)品是由不同的廠商來承擔的，因此不存在一個可以代表整個行業(yè)的中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者。對于擁有了新的中間產(chǎn)品的設計方案的企業(yè)來說， 假定需要投入 單位的最終產(chǎn)品才能生產(chǎn)出一個單位的中間產(chǎn)品；而對于設計方案的發(fā)明者來說，假定其擁有對發(fā)明的永久專利。因此，當設計方案的發(fā)明者同時也是相應的中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者的話（對于發(fā)明者和生產(chǎn)者之間的關系也存在一些其他的制度安排， 但是不影響此模型的均衡的存在性） ，則對于已經(jīng)投入了發(fā)明成本的發(fā)明者來說，它所獲得的補償就是租售中間產(chǎn)品所獲得的凈收

40、益流的貼現(xiàn)值。按照通常的單部門模型以及國民收入核算的傳統(tǒng)，總資本 K 的積累滿足：K tY tC t其中 C t 表示總消費。 我們已經(jīng)假定為獲得一單位任何類型的中間產(chǎn)品，必須放棄單位的當前消費，從而KAdi Axx i 10其中 x 表示某一公共使用水平，這是因為每一中間產(chǎn)品都是對稱進入生產(chǎn)過程的，從而對于每一中間產(chǎn)品的可獲得量來說，應該是相等的。于是，生產(chǎn)函數(shù)可改寫成：Y H Y , L, x1A HYL K1此外，假定知識的積累（技術進步）具有如下形式：A HAA其中0 。上式表明，人力資本的投入 H A 越高，則研究與發(fā)展活動的成功機會也就越大， 并且這里的假定和宇澤 - 盧卡斯模型中

41、假定類似， 即知識的生產(chǎn)是人力資本密集的；同時，由于知識的非競爭性，每一個研究者都可以利用當前的知識水平，從而當前的知識水平 A 越高，技術進步的成功率也就越大。需要指出的是，至此模型所刻畫的知識類型恰好符合了前面所要求的部分排他性，即知識在研究部門當中是一種公共品，而在中間產(chǎn)品的生產(chǎn)部門當中則是一種壟斷品。最后，假定人力資本的供給H 是固定的，滿足：HHAHY下面我們考慮中間產(chǎn)品的生產(chǎn)者的壟斷定價行為。對于最終產(chǎn)品的生產(chǎn)者來說，其面臨的優(yōu)化問題如下：maxH Y L x i 1p i x i dix0其中 p i 表示中間產(chǎn)品 i 的價格。由此可得如下的逆需求函數(shù)：p i1H Y L x i

42、這就是中間產(chǎn)品的壟斷供給廠商所必須面臨的市場需求。在這樣的需求函數(shù)下，中間產(chǎn)品的供給者面臨的優(yōu)化問題是：max p x xrxx=max 1H Y L x1r xx這里 r 表示的是利息率。由此可得中間產(chǎn)品的壟斷價格：pr/ 1相應的壟斷利潤流為：px其中x 滿足：p1H Y L x假定新設計方案的價格為pA ，則由中間產(chǎn)品的壟斷競爭市場的自由進入條件可知：e tr s dspAtd如果 pA 是常數(shù)的話，則有：tr te tr s dstd 0于是，tr t p A上式表明，中間產(chǎn)品的壟斷廠商的超額利潤將正好彌補發(fā)明成本的利息損失。利用pA 的表達式：pA/ rpx / r1H Y L x1

43、/ r以及人力資本應該在研究部門和最終產(chǎn)品的生產(chǎn)部門當中獲得相同的工資率這一性質，即下式：wHp A AH Y L Ax1我們得到：H Y1r1考慮到 YH Y LAx 1， K Ax，以及C/Y 1 K/Y 1 K/K K/Y我們得到：g C / C Y / Y K / K A / A H AHr1如果在此模型中加入代表性消費者的優(yōu)化行為：maxC 1e t dt01則對于給定的利率水平r ，我們也可得到人均消費的增長率為：c / cr/最后我們得到市場均衡的增長率表達式：gH/1其中/ 1。可以說，羅默模型的重要結論基本上都包含在增長率的表達式中。具體說來有以下幾點：1）利息率越高，則增長

44、率越低，這是因為較高的利息率會導致作為研究部門的補償?shù)膬羰找娴馁N現(xiàn)值降低；2）人力資本具有加速增長的規(guī)模效應；3）如果初始的人力資本太低的話，有可能導致增長行為從未發(fā)生；4）更低的和的值，即更大的儲蓄意愿，導致更快的增長；5）研究部門的效率越高（的值越大），則增長越快。二、 產(chǎn)品質量改進型的技術進步（1） 一個簡單形式 7假設時間是離散的，在每一個時間點上的個體數(shù)量為L ，并且每一個個體都無彈性地供給一個單位的技術型勞動。假定每一個體只生存一個時期，因此，個體的目標是最大化其在期末的消費。在每一時期中，一個單位的最終產(chǎn)品由如下的科布- 道格拉斯技術生產(chǎn)出來：yAx其中 x 表示中間產(chǎn)品的投入數(shù)

45、量， A 是生產(chǎn)率參數(shù)，表明中間產(chǎn)品的當前質量。中間產(chǎn)品的生產(chǎn)完全依賴于勞動，一個單位的勞動投入就可以生產(chǎn)出一個單位的中間產(chǎn)品。因此， x 同時也表示了當前用于制造業(yè)的勞動數(shù)量。當然，除此之外，勞動也可以用于技術創(chuàng)新。每一次的技術創(chuàng)新都將中間產(chǎn)品的質量由A 提高到A ，這里1表示創(chuàng)新的規(guī)模。創(chuàng)新的成功來源于研究的投入，我們假定，如果用于研究與開發(fā)的勞動投入為z 單位，則創(chuàng)新成功的概率為z 。作為給與創(chuàng)新者的補償，他將享有生產(chǎn)中間產(chǎn)品的壟斷權力，但是這里的壟斷權力并不排除其他的生產(chǎn)者可以1單位的勞動生產(chǎn)出一單位同樣的中間產(chǎn)品。因此，如果1/，則這樣的潛在競爭者的存在對于創(chuàng)新者是有約束力的，這也意

46、味著創(chuàng)新者能夠確定的最高價位為wt 。此時，創(chuàng)新者的利潤為：t1 wt xt本節(jié)內容參考 Aghion and Durlauf(2006), Handbook of economic growth. Elsevier Noeth-Holland.這里的 wt xt 表示工資。對于這一壟斷租金，我們假定只能夠存在一個時期，在那之后，其他的模仿者就可以同樣生產(chǎn)出這一質量的中間產(chǎn)品。下面我們給出模型的兩個關鍵的方程：1 勞動力市場出清方程： Lxtnt ，其中 xt 和 nt 分別表示用于制造業(yè)和研究部門的勞動投入數(shù)量。2 科研市場的套利方程： wtt 。這一方程表明，在任一時刻，均衡的科研投入數(shù)量

47、必定使得一單位科研型勞動的邊際收益等于邊際成本。如果我們關心的是增長的穩(wěn)態(tài)情形，則可以暫時忽略上述方程中的時間下標，利用上述兩個方程以及壟斷利潤的表達式可得：11 Ln這意味著用于研究與開發(fā)的勞動投入的穩(wěn)態(tài)數(shù)量為：nL1(1)于是，在穩(wěn)態(tài)中，生產(chǎn)率的期望增長率的均衡值為：gn1這是一個依賴于各種經(jīng)濟參數(shù)的增長率的表達式，我們可以進一步分析各種經(jīng)濟參數(shù)對于增長率的影響。但是，重要的是，這里通過一種最簡單的引入質量階梯的方式得到了一個可能為正的增長率的表達式，這正是內生增長理論的重要特征。（2） Aghion and Howitt(1992)的模型 *假定經(jīng)濟中存在三種可交易的物品：勞動、消費品和

48、中間產(chǎn)品；其次，勞動投入可分為三種類型：只能用于生產(chǎn)消費品的原始勞動(UnskilledLabor) 、既可用于生產(chǎn)中間產(chǎn)品，也可用來從事研究活動的技術型勞動(Skilled Labor)、以及只能用來從事研究活動的專門化勞動(SpecializedLabor) 。我們分別用M , N , R 來表示經(jīng)濟中上述三種類型的勞動的數(shù)量。假定消費品的生產(chǎn)需要投入中間產(chǎn)品以及固定數(shù)量的原始勞動，從而生產(chǎn)函數(shù)可寫為：yAF x這里 F0, F0 ， y 表示消費品，x 表示投入于消費品生產(chǎn)的中間品數(shù)量，而 A 表示中間投入的生產(chǎn)率參數(shù)。注意，由于原始勞動的使用量并不取決于消費品生產(chǎn)的多少，從而不顯式地出

49、現(xiàn)在生產(chǎn)函數(shù)中。假定中間產(chǎn)品的生產(chǎn)只需投入技術型勞動，并且生產(chǎn)技術是線性的，即xL其中 L 表示中間產(chǎn)品部門的技術型勞動的使用量。研究活動的投入可以產(chǎn)生一隨機的創(chuàng)新發(fā)生序列，假定在任一時刻創(chuàng)新的發(fā)生服從 Poisson 過程，此過程的到達率(Arrive Rate)，即單位時間內創(chuàng)新發(fā)生的概率，為n, R ，其中 n 是用于研究活動的技術型勞動的數(shù)量，是一給定常數(shù)，是一規(guī)模報酬不變且凹的生產(chǎn)函數(shù)，并滿足：0, R0 ，這意味著如果沒有技術型勞動投入的話，創(chuàng)新的發(fā)生概率為零。我們知道， 關于創(chuàng)新發(fā)生的這種Poisson 過程假定意味著， 在每一次創(chuàng)新發(fā)生前所需等待的時間間隔服從參數(shù)為n, R 的

50、指數(shù)分布， 即每一次創(chuàng)新所帶來的壟斷利潤的持續(xù)時間是一指數(shù)型隨機變量。每一次創(chuàng)新都會帶來一種新的中間產(chǎn)品，而這種中間產(chǎn)品的投入可以使得消費品的生產(chǎn)更有效率。我們簡單地假定，新的中間產(chǎn)品的投入通過一常數(shù)因子1 來提高生產(chǎn)率參數(shù)A ，則：AtA0t其中 A0 是給定的初始生產(chǎn)率水平， 下標 t 表示從第 t 次創(chuàng)新開始，至第 t1 次創(chuàng)新發(fā)生之前的時間間隔。一個成功的創(chuàng)新者可以通過申請專利來壟斷中間產(chǎn)品的生產(chǎn)，當然，這種壟斷地位只能持續(xù)到下一次創(chuàng)新發(fā)生之前。對于中間產(chǎn)品的壟斷廠商而言，他的目標就是最大化壟斷時期利潤的期望現(xiàn)值，這里唯一的不確定性因素是壟斷的持續(xù)時間。首先，考慮消費品的生產(chǎn)商，其最優(yōu)

51、地選擇要素投入來最大化利潤。具體地說，第t 期的廠商選擇產(chǎn)量 xt 來最大化利潤流：At Fxtwt xt其中 wt 是技術型勞動的工資率。注意，按照邊際收益等于邊際成本的定價法則， t 期的中間產(chǎn)品的價格滿足：ptAt Fxt 。這一優(yōu)化問題的一階條件是：t xt其中 twt/ At， xFx xF x 。由此可得最優(yōu)產(chǎn)量：xttx 1。相應的壟斷利潤為：其中 xtAtt這里2Fx。x其次，假定對研究活動而言，不存在當期的溢出效應，則壟斷廠商的目標就是選擇適當?shù)募夹g型勞動投入 z 和專門化勞動投入 s 來最大化如下的期望利潤流：z, s Vt 1wt zwts s這里 Vt 1 表示第 t1

52、 次創(chuàng)新的價值， wts 表示專門化勞動的工資率。利用Kuhn-Tucker 條件，并考慮到均衡時專門化勞動的使用數(shù)量必定等于R ，則上述優(yōu)化問題的一階條件為：wtnt Vt 1 ， nt0 ， wtnt Vt 1 nt0其中 ntnt , R 。對于第 t 期時在位的壟斷者來說，其從事研究活動的收益為Vt 1Vt ；而對于外來者， 其從事研究活動的收益是下一期創(chuàng)新的價值，即 Vt 1 。因此，創(chuàng)新總是由外來者做出的。而對于一個外來者來說，創(chuàng)新的價值Vt 1 即壟斷利潤流的貼現(xiàn)值：Vt 1t 1nt 1r其中 r0 是代表性經(jīng)濟個體的時間偏好率。在任何時點上，對于整個社會來說的決策問題是，如何

53、在制造業(yè)和研究活動之間配置技術型勞動。利用上面我們推導的一些表達式以及關于技術型勞動的均衡條件Nntxt ，整理可得： Nnt Nnt1，ntrnt 1nt0 ，N nt Nnt 1nt0ntrnt1上述條件決定了第 t 期的研究活動數(shù)量，它是第 t 1 期的研究活動數(shù)量的函數(shù)：ntnt 1這里是一正值的嚴格遞減函數(shù)。引入如下定義：c nt Nnt， b nt 1 N nt1ntrnt 1則 c nt表示的是“研究活動的邊際成本”，而b nt 1表示的是“研究活動的邊際收益”。 如果c 0b 0，則我們可得到唯一的穩(wěn)定平衡點n?，滿足：N? N?nn?r?nn最后，我們討論產(chǎn)出的穩(wěn)態(tài)增長率。由

54、ytA F N nt? 可知：yt 1yt這意味著實際產(chǎn)出的對數(shù)ln y t 是一隨機的階躍函數(shù)，每一次階躍的幅度是ln，但每一次階躍的到來時刻是服從參數(shù)為n? 的指數(shù)分布的隨機變量。如果我們用表示實際的時間點，則有：ln y1ln y其中是時刻和1 之間的創(chuàng)新次數(shù)與ln的乘積。我們知道，/ ln是服從參數(shù)為n? 的 Poisson 分布的隨機變量序列，從而ln y1ln y?en ln其中en ln，是均值為零，方差為n? ln的隨機變?2量。由此可知，產(chǎn)出的平均穩(wěn)態(tài)增長率為n ln，而此增長率的方差?2為 n? ln 。這就是說，產(chǎn)出的增長率是技術型勞動的投入、每一次創(chuàng)新的規(guī)模以及創(chuàng)新發(fā)生

55、的概率的遞增函數(shù)，這是一個相當容易解釋的結論。第三節(jié)內生的勞動供給或人口在前兩節(jié)的內容中，總是假定勞動力供給或人口的變化是外生給定的，這是對現(xiàn)實生活的一種簡化。實際的情況是，一個國家或一個地區(qū)的人口或實際的勞動力供給數(shù)量的確定既使在統(tǒng)計手段相對發(fā)達的今天，仍然是一個困難的課題。一般來說，勞動力會受工資率的地區(qū)差異的驅使而在不同地區(qū)之間流動，這也是造成流動人口數(shù)量很難統(tǒng)計的原因之一；而人口的自然增長也會由于經(jīng)濟福利的提高或自然災害的發(fā)生所導致的死亡率的下降或人們偏好的變化所導致的出生率波動而經(jīng)常地發(fā)生變化。如何將這些因素整合進增長模型是近些年來經(jīng)濟學家才才開始關注的論題，本節(jié)將要介紹的兩個主要模

56、型， 即Braun模型和 Barro-Becker 模型，試圖討論的正是不同地區(qū)之間的勞動力遷移和人們的生育選擇對于經(jīng)濟增長的影響。一、勞動力的遷移盡管不同的國家或地區(qū)之間的人口流動實際上是一個受到很多因素影響的復雜現(xiàn)象，但是我們這里所要討論的 Braun 模型假定存在一個完全的信貸市場，各個經(jīng)濟所面臨的是不變的世界利率，從而工資的差異是造成勞動力流動的唯一原因。下面我們來具體地描述這個模型。假定一面臨著給定的不變世界利率的小國經(jīng)濟，其生產(chǎn)函數(shù)是 Cobb-Douglas 的：1YAK?R / LL?xtLe 表示有效的勞動投入， x 0 是外生給定的勞動其中 K 表示資本， L增進型技術進步

57、率；R 表示本國居民可以自由取得但其供給量固定的自然資源； 01。我們注意到， 對于給定的 R ，上述生產(chǎn)函數(shù)呈現(xiàn)出關于 K 和 L 的報酬遞減。Braun 模型之所以做出這樣的假定是因為，在外生給定的技術水平下，若人口的遷移有成本而資本的流動是自由的話，勞動力將不可能在不同的經(jīng)濟之間流動，從而也就不可能構造出其中人口變化內生的增長模型。關于這種報酬遞減的一種解釋是：一個經(jīng)濟的人口增加必定會造成某些自然資源（例如土地等） 使用上的擁擠， 如果這種資源具有生產(chǎn)價值并且供給量固定的話，則從整個社會的角度來看，必定呈現(xiàn)出對于資本和勞動的規(guī)模報酬遞減。但是，對于一個競爭性的廠商來說，L 表示的是總人口

58、，因此 R/ L 可視為是給定的，從而上述生產(chǎn)函數(shù)仍然可以看作是規(guī)模報酬不變的，利用Euler 定理，要素價格應當?shù)扔谙鄳乃饺诉呺H產(chǎn)品，即：w?R / L ext1Akr? 1R / LAk?r 表示世界利率， 對于我其中 k K /L ，表示每單位有效勞動的資本數(shù)量；們這里所考慮的小型國內經(jīng)濟而言可視為不變的，并假定r x ； 是折舊率。由此可得國內工資率的表達式：1A1/1/1/1/ 1wR / Lextr假定世界經(jīng)濟具有單一的工資率w world ，則在時刻 t 由世界其他地區(qū)向本國經(jīng)濟的一次永久性遷移的收益為：B tw vwworld e r v t dvt為簡單起見，我們假定t 時

59、刻國內經(jīng)濟的自然人口增長率為零，而由世界轉向國內經(jīng)濟的移民流為M t ，則國內的實際人口變化率為：LL t / L tM t / L t另外，假定遷移的成本為：M t / L t w world這里0 ，0 ，且0 0 。也就是說，遷移的成本隨著移民數(shù)目的增加而加速上升。最后，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)要求在每一時期當中，遷移的成本必須等于遷移的收益，即：B tM t / L twworld經(jīng)過一些簡單的整理可知，上述模型的動態(tài)由下面的關于變量?L和B的二元微分系統(tǒng)描述：?w twr?B tx B t?world?LB t/ wworld其中?xtw tw t ext?wext，我們假定世界B t B t e

60、， wworldworld?經(jīng)濟處于穩(wěn)態(tài)當中，則?可視為常數(shù)；函數(shù)是函數(shù)的逆函數(shù)。由此w world?微分系統(tǒng)確定的穩(wěn)態(tài)L , B是一鞍點。至于產(chǎn)出的增長，利用生產(chǎn)函數(shù)的表達式可得：?A1/ 1/ 1/ 1R / Lyr/ 1?其中 y?Y / L 。從而y?/ 1L在穩(wěn)態(tài)中，L0 ，從而y?0 ，也就是說，總產(chǎn)出的增長率為：YxL上述表達式和索洛模型中相應表達式的重要區(qū)別是，這里的人口增長率L 是由模型內生決定的，取決于遷移所帶來的收益和世界的工資水平之比。二、人口的內生決定（ 1） 馬爾薩斯模型考慮時間離散的 OLG模型， t=0,1,2, 。經(jīng)濟中存在兩種要素：土地和勞動。土地的數(shù)量是固